人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_13

2.1.2演绎推理
学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．
答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．
梳理演绎推理的定义特点
知识点二三段论
思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
答案分为三段．
大前提：所有的金属都能导电．
小前提：铜是金属．
结论：铜导电．
梳理三段论的一般模式
类型一演绎推理与三段论
例1将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．
解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提
∠A＝∠B.结论
(3)在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提
当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，
则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提
通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论
反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练1(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．
(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为
大前提：________________________________________________________________.
小前提：______________________________________________________________.
结论：________________________________________________________________.
答案(1)②
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
类型二三段论的应用
命题角度1用三段论证明几何问题
例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
证明因为同位角相等，两直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式
××××××(大前提)
××××××(小前提)
××××××(结论)
(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路；
②找出每一个结论得出的原因；
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提
点E、F分别是AB、AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提
EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提
所以EF∥平面BCD.结论
命题角度2用三段论证明代数问题
例3设函数f(x)＝e x
x2＋ax＋a
，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．解若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提
因为f(x)的定义域为R，小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立．结论
所以Δ＝a 2－4a <0， 所以0<a <4.
即当0<a <4时，f (x )的定义域为R . 引申探究
若例3的条件不变，求f (x )的单调递增区间． 解 ∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x
(x 2＋ax ＋a )2，
由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a . ∵0<a <4，∴当0<a <2时，2－a >0. ∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)． 当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当2<a <4时，2－a <0，
∴在(－∞，2－a )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．
综上所述，当0<a <2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)； 当a ＝2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当2<a <4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．
跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x ＋x －2
x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．
证明 方法一 (定义法)
任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝2x
a ＋
x 2－2x 2＋1－1x
a －x 1－2x 1＋1
＝2x a －1x
a ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1
＝1x
a (21
x x a -－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)
＝1x
a (21
x x a
-－1)＋
3(x 2－x 1)
(x 2＋1)(x 1＋1)
.
因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21
x x a
->1，
而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，
所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 方法二 (导数法)
f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3
x ＋1.
所以f ′(x )＝a x ln a ＋3
(x ＋1)2
.
因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3
(x ＋1)2>0.
又因为a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.
故f (x )＝a x ＋x －2
x ＋1
在(－1，＋∞)上是增函数．
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠
B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°
B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛
⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 答案 A
解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．
2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13
x 是对数函数(小前提)，所以y ＝
log 13
x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )
A ．大前提错误导致结论错误
B ．小前提错误导致结论错误
C ．推理形式错误导致结论错误
D ．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A
解析 y ＝log a x 是增函数错误．故大前提错误．
3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．③
答案 D
4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”改成三段论，则大前提：________________；小前提：________________________________________________________________________；
结论：________________________________________________________________________. 答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
证明因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，
那么方程有两个相异实根．大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0，小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．
课时作业
一、选择题
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()
A．类比推理B．归纳推理
C．演绎推理D．一次三段论
答案 C
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()
A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
解析 由于函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理
C ．使用了“三段论”，但推理形式错误
D ．使用了“三段论”，但小前提错误 答案 C
解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误． 4．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数( ) A ．(π2，3π2)
B ．(π，2π)
C ．(3π2，5π2)
D ．(2π，3π)
答案 B
解析 y ′＝－x sin x ．当x ∈(π，2π)时，y ′>0， ∴y ＝x cos x －sin x 在(π，2π)上为增函数．
5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能等于0 D ．可正也可负
答案 A
解析 不妨设x 1－2<0，x 2－2>0， 则x 1<2，x 2>2，∴2<x 2<4－x 1， ∴f (x 2)<f (4－x 1)，即－f (x 2)>－f (4－x 1)， 从而－f (x 2)>－f (4－x 1)＝f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)<0.
6．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)
B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积为πr 2
，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的面积为πab
D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2
7．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32
D ．－32<a <1
2
答案 C
解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ， ∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.
即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， ∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32
.
8．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α； ②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β； ③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B
解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B. 二、填空题
9．有一段演绎推理： 大前提：整数是自然数； 小前提：－3是整数； 结论：－3是自然数．
这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 答案 大前提
10．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________． 答案 [0,2]
解析 ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解， 则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R . ∴当a ＝0时，2≥0，显然成立，
当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝4a 2
－8a ≤0， 解得0<a ≤2.
∴a 的取值范围为[0,2]．
11．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 014)
f (2 013)＝________.
答案 2 014 解析 利用三段论．
∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，大前提 令b ＝1，则f (a ＋1)
f (a )＝f (1)＝2，小前提
∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 014)f (2 013)＝2，结论 ∴原式＝2＋2＋…＋21 007
个＝2 014.
三、解答题
12．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，(22 015＋1)是奇数，所以(22 015＋1)不能被2整除； (2)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数； (3)因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形． 解 (1)一切奇数都不能被2整除，大前提 22 015＋1是奇数，小前提 22 015＋1不能被2整除．结论 (2)三角函数都是周期函数，大前提 y ＝tan α是三角函数，小前提 y ＝tan α是周期函数．结论
(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 △ABC 三边的长依次为3,4,5，且32＋42＝52，小前提 △ABC 是直角三角形．结论
13. 如图A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝ 2.等边三角形ADB 以AB 为轴旋转．
(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解(1)取AB的中点E，连接CE，DE.
因为AC＝BC＝2，AB＝2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，
所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知得DE＝
3
2AB＝3，CE＝1.
所以在Rt△CDE中，CD＝DE2＋CE2＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，
所以C，D都在AB的垂直平分线上，
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，
又DE∩CE＝E，
所以AB⊥平面CDE.
又CD⊂平面CDE，
所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
四、探究与拓展
14．设是R的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a b∈A，则称A 对运算封闭．则下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()
A．自然数集B．整数集
C．有理数集D．无理数集
答案 C
解析A错，因为自然数集对减法、除法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
15．已知f(x)＝1
3x＋3
，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解∵f(x)＝1
3x＋3
，
∴f(0)＋f(1)＝1
1＋3＋
1
3＋3
＝
3－1
2＋
3－3
6＝
3
3，
同理可得f(－1)＋f(2)＝
3 3，
f(－2)＋f(3)＝
3 3.
猜想f(x)＋f(1－x)＝
3 3.
证明：设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝
1
3x1＋3
＋
1
3x2＋3
＝3x1＋3x2＋23
3(3x1＋3x2)＋6
＝
3
3.。