概率论第四章课后习题解答

概率论第四章习题解答
1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y
（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。

解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为
所以 151115
()23498
8884
E X =⨯+⨯
+⨯+⨯=。

（2）因为Y 的取值为2,3，4，9
当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故
1
21{2}3015
C P Y ==
=； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故
135151
{3}30302
C P Y ==
== 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故
1442{4}303015
C P Y ==
== 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 993{9}303010
P Y ====
112314673
()234915215103015
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯==。

（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；
若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。

由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。

1(1)(2)(3)(4)(5)6
P X P X P X P X P X ==========
(7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 111
=⨯= 61217
11215759
()63663612i i E X i i ===+=+=∑∑
2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。

以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。

（设诸产品是否为次品是相互独立的。

）
解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率
因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y ，则
(10,0.1)Y
B ，于是有 1010
{}(0.1)(0.9)k
k k P Y k C -== （2）一次检验中不需要调整设备的概率
{1}{0}{1}P Y P Y P Y ≤==+=101
191010(0.1)(0.9)
(0.1)(0.9)k k k C C -=+ 109
(0.9)(0.9)34860.38740.7361=+=+= 则需要调整设备的概率 {1}1{}10.7P Y P Y >=-≤=-=
（3）求一天中调整设备的次数X 的分布律
由于X 取值为0，1，2，3，4。

0.2369p =，则(4,0.2369)X
B
于是 004
4{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===
13
4{1}(0.2639)(0.7361)40.26390.39890.4211P X C ===⨯⨯= 222
4{2}(0.2639)(0.7361)60.06960.54180.2263P X C ===⨯⨯=
33
4{3}(0.2639)(0.7361)40.01840.73610.0542P X C ===⨯⨯= 44
4{4}(0.2639)0.0049P X C ===
（4）求数学期望 ()0
0.293610.421120.2
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1.0556=。

3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。

将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。

）试求()E X 。

解 （1）求X 的分布律
由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3
464= 种放法。

其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而 1
{4}64
P X ==； 又{3}X = “3X
=”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只
能放在第3、4号两个盒子中，共有3
28=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X
=这一要求，需要除去，故有
3217{3}6464
P X -===
“2X
=”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、
4号三个盒子中，共有3
327=种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有3
28=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X
=这一要求，需要除去，故有
333219
{2}6464
P X -===
171937
{1}1{1}164646464
P X P X ==-≠=-
--= 即
（2）求()E X
37
197110025
()12341.5625646464
646416
E X =⨯+⨯+⨯
+⨯===。

4（1）设随机变量X 的分布律为1
32
{(1)
}3
j j j P X j +=-=，（1,23j =），说明X 的数
学期望不存在。

（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。

试说明要游戏结束的摸球次数X 的数学期望不存在。

解 （1）因为级数
1
111
13332(1)
{(1)}(1)3j j j j j j j j j P j j j ∞
∞+++==--=-⋅∑∑11
(1)2j j j +∞
=-=∑， 这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。

所以其数学期望不存在。

（2）以k A 记事件“第k 次摸到黑球”，以k A 记事件“第k 次摸到白球”，以k C 表示事件“游戏在k 次摸球时结束”，1,2,3,
k =。

按题意，12
1k k k C A A A A -=，由乘法公式得
1211122211()(|)(|)(|)()k k k k k P C P A A A A P A A A A P A A P A ---=
而 11
{1}()2
P X P A ===
2211111
{2}()(|)()32
P X P A A P A A P A ====⨯ 21221112111
(|)(|)()43243
P A A A P A A P A =⨯⨯=⨯，
一般地，若当X k =时，盒中共有1k +只球，其中只有一只白球，故
12
11
2111222
1
()(
)(|)(|)(
|
)
k k k k k k P X k P A A A A P A A A
A P A A A A P A A P A
----===
112121
1
1
11432k k k k k k k
--=
⨯⨯⨯⨯=⨯+-+ 若()E X 存在，则根据数学期望的定义，就有
111
111()()11k k k E X kP X k k k k k ∞∞
∞======⨯=++∑∑∑，
而调和级数
1
1
1k k ∞
=+∑却是发散的，此即表明数学期望()E X 不存在。

5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X （以min 计）是一
个随机变量，其概率密度为
2
2
1,01500,15001
()(3000),15003000,1500
0,x x f x x x ⎧
≤≤⎪⎪-⎪=-<≤⎨⎪⎪
⎪⎩
其它 求()E X
解 按连续型随机变量的数学期望的定义有
01500
()()()()E X xf x dx xf x dx xf x dx ∞-∞
-∞
==+⎰⎰⎰
3000
1500
3000
()()xf x dx xf x dx ∞
++⎰
⎰
20
1500
2
01500x dx dx -∞
=
⋅+⎰
⎰
30002
2150030001(3000)01500x x dx dx ∞-+-+⋅⎰⎰
3
15000
231500x =
⨯3230001500
2
1(1500)15003
x x -+-
6 设随机变量X 的分布律为
求()E X ，2
()E X ，2
(35)E X +
（2）设()X
πλ，求11E X ⎛⎫
⎪+⎝⎭
解 ()20.400.320.302E X =-⨯+⨯+⨯=-； 2
2
22()(2)0.4(0)0.3
(2)0.32.8
E X
=-⨯+
⨯+
⨯= 或 因为
所以 2
()00.340.7 2.8E X =⨯+⨯=。

2
2
2
(31)(3)(5)3(
)532.8113.
E X E
X E E X +
=+
=+=⨯+=
（2）因为
!
k k e p k λ
λ-=
，0,1,2,
k
=
所以 001111!(1)!
k k k k e E e X k k k λλ
λλ-∞∞
-==⎛⎫=⋅= ⎪+++⎝⎭∑∑ 10
1
1
(1)(1)!!k k
k k e
e e k k λ
λ
λλλλλ+∞
∞
--=====-+∑∑
1
1
(1)(1)e e e λλλλ
λ
-=
-=
-
（注 在公式0
()k k k E X x p ∞
==∑中现在的1
1k x k =+，!k k e p k λλ-=，0!k k e k λλ∞==∑） 7 （1）设随机变量X 的概率密度为
,0
()0,0
x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩
求（ⅰ）2Y X =，（ⅱ）2X
Y e
-=的数学期望；
（2）设随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布
（ⅰ）求12max{,,,}n U X X X =的数学期望， （ⅱ）求12min{,,,}n V X X X =的数学期望。

解 （1）0
()(2)2()2x E Y E X xf x dx xe dx ∞
∞
--∞
==
=⎰
⎰
02()x x xe
e dx ∞
-∞-=-+⎰022x
e -∞=-=
2220
()()()X
x x x E Y E e e f x dx e e dx ∞∞
-----∞
===⎰⎰
330
1
13
3
x x
e dx e ∞
--∞=
=-=⎰。

（2）因为（ⅰ）因为随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，其概率密度为
1,01
()0,i X x f x <⎧=⎨⎩
＜其它
其分布函数为
0,0(),011,1i X x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
1,2,
,i n =
而 12max{,,,}n U X X X =的分布函数为
即max 0,0(),011,0n
z F z z z z <⎧⎪=≤<⎨⎪>⎩
，
于是1max ,01
()0,
n nz z f z -⎧≤<=⎨⎩其它
1
11max 00
()()11
n n n n
E Z zf z dz nz dz z n n ∞
+-∞
=
==
=++⎰
⎰。

（ⅱ）12min{,,,}n V X X X =
12min ()1(1())(1())
(1())1(1())n n X X X F z F z F z F z F z =----=--
11min min
()()(1())()(1())()n n z z z z f z F z n F z F z n F z f z --''==-=- 1(1),01
0,.n n z z -⎧-≤<=⎨⎩
其它
1
10
()()(1)n z E Z zf z dz n z z dz ∞
--∞
==-⎰⎰
1
1(1)n n
u u d u -=--⎰
（令
1u z =-） 1
1
0()n n n u
u du -=-⎰
110
()n n n u u du -=-⎰
11
10
11
1
n n n
u
u n n +
=-
=-
++。

8 设随机变量(,)X Y 的分布律为
（1）求()E X ，()E Y ；
（2）设Y
Z X
=
，求()E Z ； （3）设2
()Z X Y =-，求()E Z 。

解 （1）由已知分布律知其边缘分布为
()10.420.230.42E X =⨯+⨯+⨯=； ()10.300.410.30E Y =-⨯+⨯+⨯=。

（2）由已知的分布律有
111
()(
){1,1}{2,1}{3,1}123
Y E Z E P X Y P X Y P X Y X ---====-+==-+==-
000
{1,0}{2,0}{3,0}123P X Y P X Y P X Y +
==+==+== 111
{1,1}{2,1}{3,1}123
P X Y P X Y P X Y +==+==+==
0.11
0.20.050.10.05315
=--+++=-。

（3） 33
2
2
11
()[()]()
i
j
ij j i E Z E X Y x y p ===-=
-∑∑
2222
20.230.14010.1=⨯+⨯+⨯+⨯
22222
2030.300.110.120.15+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

或 先求出2
()X Y -的分布律，再求对应的数学期望
2{0}{()0}{1,1}0.1P Z P X Y P X Y ==-=====,
2{1}{()1}{1,0}{2,1}0.2P Z P X Y P X Y P X Y ==-====+===
2{4}{()4}{1,1}{2,0}{3,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ==-====-+==+===2{9}{()9}{2,1}{3,0}{3,1}0.4P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ==-====-+==+===
即
所以 ()00.110.240.390.45E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=。

9（1）随机变量(,)X Y 的概率密度为
212,01,
(,)0,.y y x f x y ⎧≤<≤=⎨⎩
其它
求()E X ，()E Y ，()E XY ，2
2
()E X Y +；
（2）随机变量(,)X Y 的概率密度为
()1,0,0(,)0,.x
y y
e x y
f x y y -+⎧>>⎪
=⎨⎪⎩
其它
求()E X ，()E Y ，()E XY 解 （1）()(,)E X xf x y dxdy ∞∞
-∞-∞
=⎰⎰
120
12x
xdx y dy =⎰⎰
145
10
04445
5
x dx x ==
=
⎰
()(,)E Y yf x y dxdy ∞
∞
-∞-∞=
⎰⎰1
1
345100003312355
x
dx y dy y dx y ===
=⎰⎰⎰ 1300()(,)12x E XY xyf x y dxdy xdx y dy ∞∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰15
610011322
x dx x ===⎰
122
22
2220
()()(,)12()x
E X Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞
∞
-∞-∞
+=+=+⎰
⎰
⎰⎰
1
23500
12(4)5
y x
y x y y dx ===
+
⎰ 15
566
1
01221221216(4)5330
33015
x x dx x x =+=+=
+=⎰。

（2）()0
()(,)x
y y x E X xf x y dxdy dy e dx y
-+∞∞
∞∞
-∞-∞
=
=⎰⎰⎰⎰
0()x y y
x
e dy xe d y
-∞∞
-=
-⎰
⎰
()x
x y
y y
e xe
e dx dy -
-
∞
∞
-∞=-
-⎰
⎰
00
x
y
x y y x e ye
dy ye dy -
∞
∞
-=∞-==
⋅=⎰
⎰
1y y y
ye
e dy e ∞
-∞
--∞=-+==⎰
()
()(,)x y y
E Y yf x y dxdy dy e
dx -+∞
∞
∞∞
-∞-∞
==⎰
⎰⎰⎰
00()x
y y
x
ye dy e d y
-
∞
∞
-=--⎰⎰
1x
y
x y y
y y
y x ye e
dy ye dy ye e dy e -
∞
∞
∞
-=∞--∞--∞==-==-+==⎰⎰⎰
()
()(,)x y y
E XY xyf x y dxdy dy xe
dx -+∞
∞
∞
∞
-∞-∞
==⎰
⎰
⎰⎰
000()x x y
y
y y
x
e dy xe dx e dy xe d y
-
-
∞
∞
∞
∞
--=
=--⎰
⎰⎰⎰
00
()x
x y x y y
x ye xe
e dx dy --
∞
∞
-=∞==--⎰⎰
20
x
y
x y y x ye ye
dy y e dy -
∞
∞
-=∞-==⋅=⎰⎰
200
2y y y e
ye dy ∞
-∞
-=-+⎰
00
22()y
y y ye dy ye e dy ∞
∞
--∞
-==-+⎰
⎰
222y y
e dy e ∞
--∞===⎰。

注：可以利用
20
(3)2y y e dy ∞
-=Γ=⎰
10 （1）设随机变量(0,1)X
N ，(0,1)Y N ，且X 和Y 相互独立。

求(
)2
22
X
E X Y +；
（2）一飞机进行空投作业，设目标点为原点(0,0)o ，物资着陆点为(,)X Y ，X 和Y 相互独立，
且设2(0,)X N σ，2(0,)Y
N σ，求原点到点(,)X Y 间的距离的数学期望。

解 （1）根据对称性，
22
2222
()()X Y E E X Y X Y =++， 而X 和Y 相互独立且
22
222
2
22
2222()()()(1)1
X Y X Y E E E E X Y X Y
X Y X Y
+=+==++
++ 所以 2222()1X E X Y =+，即2221
()2X E X Y =+。

或 因为X 和Y 相互独立，2
22
1(,)2x
y f x y e π
+-=，x -∞<<∞，y -∞<<∞。

22
2
2
2
22221
(
)2x y G
X x
E e dxdy X Y x y π
+-
=
++⎰⎰ 222
22
2
02
cos r r d r
e dr r π
θ
θπ
∞
-
=
⎰
⎰
22
22
2
cos r d re
dr π
θθπ
∞-
=
⎰
⎰22
2
02
2
cos ()2
r r d e
d πθθπ
∞
-=-
-⎰⎰
22
02
2
cos r r r e
d π
θθπ
-
=∞==-
⋅⎰
20
2
1cos 22
d π
θ
θπ
+=
⎰
2
1
1
(sin 2)
2
π
θθπ=+12
=。

（2）设原点到(,)X Y 的距离为R
，则R =(,)X Y 的概率密度为
222
22
1(,)2x y f x y e σπσ
+-
=
，x -∞<<∞，y -∞<<∞。

2
222
22
2
cos r r d r e dr
r πθθπ∞
-=
⎰
⎰
222
2(,),
x y G
G
E x y dxdy dxdy
σ+-
==
22
22
22
12r d r e
dr π
σθπσ-
∞
=
⎰
⎰
22
2
22022,
r r
e dr σππσ-
∞
=⎰
22
222
1
r r e
dr σσ
-∞
=
⎰
2222
2
2
2220
()r r r rd e
re
e
dr σσσ--
-
∞
∞∞=-=-+⎰⎰
2
2
2222122
r r e dr dr σσ--∞∞
-∞==
⎰⎰
＝=。

11 一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
4
1,0
()40,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
工厂规定：出售的设备若在一年之内损坏可予调换，若工厂售出的一台设备赢利
100元，调换一台设备厂方需花费300元。

试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

解 因为设备的寿命为随机变量X ，则一台设备在一年内调换的概率
1
1
14
44
01{1}()1
4
x x
p P X f x dx e dx e
e ∞
---
-∞
=<===-=-⎰
⎰ 设工厂售出一台设备的净赢利值为
：则的分布律为
故有 1114
4
4
()100200(1)300200E Y e
e e ---=--=-
3000.778820033.64=⨯-=（元）
12、 某车间生产的圆盘直径在区间(,)a b 内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

解 设圆盘的直径为X ，则X 的概率密度为
1
,()0,
.a x b f x b a ⎧<<⎪
=-⎨⎪⎩其它
记圆盘的面积为Y ，则24
Y X π
=，于是圆盘面积的数学期望为 22()(
)()4
4
E Y E X E X π
π
==
2
4b
a
x dx b a
π
=
-⎰322()43()12
b
a
x b ab a b a ππ
=
=
++-
13设电压（以V 计）(0,9)X N ，将电压施加于一检波器，其输出的电压为2
5Y X =，
求输出电压Y 的平均值。

解 因为(0,9)X
N ，所以()0E X =，()9D X =
由2
2
()()(())D X E X E X =+得
22
()()(())E X D X E X =-
又 222
(5)5()5[()(())]E X E X D X E X ==- 故 2
(5)5[90]45E X =-=（V ）
或
因为2
18()x f x -=
()(5)5()E Y E X E X ==
22
22
18
1818
5
]x x x dx xe e
dx -
-
-
∞
∞∞
-∞
-∞
==
-+⎰⎰
22
234545x e dx -∞
⨯-∞
==⎰
（V ）
15、将n 只球（1
n ）号随机地放进n 个盒子（1n ）中去，一个例子中装一只球。

若一
只球装入与球同号的例子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求()E X 解 设1,i X ⎧=⎨
⎩第i 号球配成对
0，第i 号球不配对
，1,2,
,i n =，则i X 服从（0－1）分布，故
1{1}i P X n
==，1{0}i n P X n -==
，111
()10i n E X n n n
-=⨯+⨯= 又
1n
i i X X ==∑，所以
1
()()n
i i E X E X ==∑1
11
1n
i n n n
===⨯=∑。

16、若n 有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把打开门上的锁，用它们去试开门上
的锁，设取到每只钥匙是等可能的。

若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求开锁的次数X 的数学期望。

（1）写出X 的分布律， （2）不写出X 的分布律。

解 （1）写出分布律
开锁的次数X 的取值为1,2，…，n 。

则 1{1}P X n ==
，111
{2}1n P X n n n -==
⨯=-， 1211
{3}12n n P X n n n n --==⨯⨯=--，…，一般地
12111
{}11n n n i P X i n n n i n i n
---+==⨯⨯⨯⨯=---+，1,2,
,i n =
（备注：这实质上是一个抽签问题，由条件概率知每把钥匙把门打开的概率是相等
的，均为
1n
）
所以 11
111(1)1
()22n
n i i n n n E X i i n n n ==++=⨯==⨯=∑∑
（2）不写出分布律
不妨设第j 抒钥匙能打开门上的锁，把第一次抽取看作是第一轮，则第一次抽取后，
剩下的有1n -把钥匙，依此类推。

1,0,i X ⎧=⎨
⎩第i 轮抽到第j 把钥匙
第i 轮没抽到第j 把钥匙
则 111{1}n i i C n i P X n n -+-+=== （11
{0}1i n i i P X n n
-+-==-=
） 故 11
11(1)1
()1(1)(1)22n
n i i n i n n E X n i n n n ==-+++=⨯=+-=+-=∑∑ 17、设X 为随机变量，C 为常数，证明2
()[()]D X E X c <-，对于()c E X ≠。

（由于
2()[()]D X E X C =-，上式表明2[()]E X C -当()C E X =时取到最小值。

）
证明 因为 2
[()]()E X c D X --
22(2)()E X cX c D X =-+-
2
2
2
2
()2()(()())E X cE X c E X E X =-+-+ 2
2
()2()E X cE X c =-+ 2
(())E X c =-
当 ()c E X ≠时，2
[()]()E X c D X --2
(())0E X c =->。

即 2
()[()]D X E X c <-
当 ()c E X =时 2
[()]()0E X c D X --=，
即 2()[()
]
D X
E X c =-
18、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为
22(2)
2
,0()0,
x x e
x f x σσ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
其中0σ＞是常数，求()E X 和()D X 。

解 2
2
2
22
()()x
x E X x f x dx e dx σσ
∞
∞
--∞==⎰
⎰
2
2
20
()x
xd e σ∞
-=
-⎰
222
2
2200
|x x
xe e dx σσ∞
-∞
-=-+⎰
2
2
20
x
e dx σ∞
-=⎰
22
20
x
dx σ∞
-=
⎰
12== 又 2
2
3
2
2
22
()()x
x E X x f x dx e dx σσ
∞
∞
--∞
=
=⎰
⎰
2
2
220
()x
x d e
σ∞
-=-⎰
222
2
2220
2|2x x
x e xe dx σσ∞
-∞
-=-+⎰
22
20
2
x xe
dx σ∞
-=⎰
2
2
2
22
2x x
e dx σσ
σ
∞
-=⎰
2
2
2
222x x
e dx σσ
σ
∞
--∞
=⎰
（概率密度的性质()1f x dx ∞-∞
=⎰
）
2
2
212σσ=⨯=
所以 2
2
2
22
4()()()22
2
D X
E X E X π
πσσσ-=-=-
=
19、设随机变量X 服从Γ分布，其概率密度为
11,0()()0,0x
x e x f x x αβ
α
βα--⎧>⎪Γ=⎨⎪≤⎩
其中0α>，0β>是常数，求()E X 和()D X 解 10
()()()
x x E X xf x dx x e dx αβ
α
βα∞
∞
---∞
=
=Γ⎰
⎰
01()
x x e dx αβ
α
βα∞-=Γ⎰ 1001(|)()
x x x e x e dx ααββα
ββαβα∞--∞-=-+Γ⎰ 1
()
x x e dx αβα
βα
βα-∞
-=Γ⎰
1()
x x e dx αβαβααββα-∞
--∞==Γ⎰ 又 2
101()()
x E X x e dx αβ
α
βα∞+=-Γ⎰ 1001(|(1))()
x x x e x e dx ααββα
ββαβα∞--+∞=-++Γ⎰ 0(1)()
x x e dx αβ
αβαβα∞-+=
Γ⎰ 100(1)(|)()
x x x e x e dx ααββ
αβαββαβα∞--∞-+=-+Γ⎰
1
22
()
()
x x e dx αβα
βααβα-∞
-=+Γ⎰
12
2
()()
x x e dx αβ
αβααβα-∞
--∞=+Γ⎰22()βαα=+ 故 22()()()D X E X E X =-222
()()βαααβ
αβ
=+-= 20、设随机变量X 服从几何分布，其分布律为 1
{}(1)
k P X k p p -==-，1,2,
k =。

其中01p <<是常数，求()E X 和()D X
解 1
1
1
1
()(1)
()
k k k k E X k p p p k q ∞
∞
--===
-=∑∑ 1
()n
k
k p
q
='=∑
11()()1k
k p q p q ∞
=''==-∑ 2
1
()(1)k k p p q q ∞
='==-∑ 1p =
又 2
2
1
2111
()(1)
()k k k k E X k
p p p k q ∞
∞
--===
-=∑∑
2
11()k k p
k
k k q ∞
-==+-∑
1
11
1
(1)k k k k p
k k q
p kq ∞
∞
--===+-∑∑
11
1(1)k k p
k k q p
∞
-==+-
∑ 因为
1
11
1
1
(1)((1))((1))k k
k k k k k k q
k q k q ∞
∞
∞
-+==='''+=+=+∑∑∑
1
()1q
''=-23224
2(1)2(2)(1)()(1)(1)q q q q q q q -+--'==-- 33
22(1)q p =
=- 所以 2
32212()p
E X p p p p
-=⨯
-= 2
2
222211()()()p p
D X
E X E X p p p
--=-=-= 21、设长方形的高（以m 计）(0,2)X U ，已知长方形的周长（以m 计）为20，求
长方形的面积A 的数学期望和方差。

解 因为(0,2)X
U ，所以 20
()12
E X -==，221()123D X =
= 2
2
14
()()()133
E X E X D X =+=+= 而
2(202)
(10)102X A X
X X X X -==-=- 426()108.6667
33
E A =-== 又2
2
()()()D A E A E A =- 而 2
22()(10)()E A x x f x dx ∞
-∞
=
-⎰
234
2
0100202
x x x dx -+=⎰ 3452
11001(5)|235x x x =
-+ 10011448
4(524)96.533515
=-⨯+⨯==
所以 2
2
()()()D A E A E A =-
2
96.53338.666796.533375.111721.4216=-=-=。

22、（1）设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有()i E X i =，()5i D X i =-，
1,2,3,4i =。

设12341
232
Y X X X X =-+-
求()E Y 和()D Y ；
（2）设随机变量X ，Y 相互独立，且2(720,30)X
N ，2(640,25)Y N ，
求12Z X Y =+，2Z X Y =-的分布，并求概率{}P X Y >，{1400}P X Y +>。

解 （1） 12341
()2()()3()()2
E Y E X E X X E X =-+-
1
212334
7
2
=⨯-+⨯-⨯= 12341
()
4()()
9()()
4D Y D X
E X D X D X =+++ 1
4(51)(52)9(53)(54)37.254
=⨯-+-+-+-=
（2）因为2(720,30)X
N ，2(640,25)Y N
所以 222
1112122(2,2)Z X Y N μμσσ=+++
即 221(2720640,43025)Z N ⨯+⨯+ 故 21
(2080,65)Z N
同样，因为()720E X =，()640E Y =，()72064080E X Y -=-= 2
()30D X =，2
()25D Y =
2
2
()()()30251525D X Y D X D Y -=+=+=
所以 2()(80,1525)
Z X
Y N =-
又 {}{0}1{P X Y P X Y P X Y >=->=--<
1
P =-<
1
=-Φ=Φ 80
(
)(2.05)39.05
=Φ=Φ0.9798= 又因为 ()720
64
E X Y +
=+=， 22()()()30251525D X Y D X D Y +=+=+=
所以 ()
(1360,1525)X Y N +
{1400}1
P X Y P +>=-≤
1
=-Φ
40
1(
)39.05
=-Φ1(1.02)=-Φ 10.84610.1539=-=
23、五家商店联营，它们每两周的出售的农产品的数量（以kg 计）分别为
12345,,,,X X X X X 已知1(200,225)X N ，2(240,240)X N ，3
(180,225)X N ，
4
(260,265)X N ，5
(320,270)X N ，且12345,,,,X X X X X 相互独立。

（1）求五家商店的总销售量的均值和方差。

（2）商店每隔两周进一次货，为了使新的供货到达商店前不会脱销的概率达到0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克产品。

解 （1）设五家商店每两周的总销量为X ，则
5
1
()()i i E X E X ==∑2202401802603201200=++++=
5
1
()()
2252402252652701225
i i D X D X ==
=++++=∑
则五家商店的总销量 (1200,1225)X N
（2）设商店仓库需要储存该产品的数量为m(kg)，则在新货到达之前不会脱销的
概率达到0.99，即{}0.99P X m ≤>。

而
{}P X m P ≤=≤
1200
}35m P -=≤
查表得 (2.33)
Φ> 令
1200
2.3335
m -> 解得 1281.551282m >≥
即仓库需要储存至少1282kg 该产品，才能保证其不脱销的概率达到0.99。

24卡车装运水泥，设每袋水泥重量X （以kg 计）服从2
(50,2.5)N ，问最多装多少袋
水泥使总重量超过2000的概率大于0.05
解 设卡车所装的水泥袋数为m ，则水泥的总问题为
1
m
i i X X ==∑
因为 2(50,2.5)N ，所以 2(50,2.5)X N m m
而所求概率为 {2000}
P X >≤ {2000}1{2000}P X P X >=-≤
10.05P =-≤≤
即
0.95P ≤≥
即
50
)0.95
Φ≥， 查表得 (1.65)Φ≥
1.65=，
80020m -=
208000m +=
1.6540-±
==
1.6525
2.99
40
-±=
取
1.6525
2.99
40
-+= 6.24=，
38.96m =，取整得，39m =。

25、随机变量X ，Y 相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布。

（1）求()E XY ，()E X Y ，(ln )E XY ，()E X Y -
（2）以X ，Y 为边长，作一长方形，以A ，C 分别表示长方形的面积和周长，
求A 和C 的相差系数。

解 因为X ，Y 相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布
1,01,01
(,)()()0,
X Y x y f x y f x f y <<<<⎧==⎨
⎩其它 2
1100111
(,)(,)224R E X Y xyf x y xdx ydy ===⨯=⎰⎰⎰⎰
因为在 2
1
1100011
()(,)ln |2R E X x y f x y dxdy dy xdx y y =
===-∞⎰⎰⎰
⎰， 所以 ()E X Y 不存在。

2
11
(ln())ln (,)ln R E XY xyf x y dxdy dx xydy ==⎰⎰⎰⎰
1
1
1
[ln |]y xy dy dx =
-⎰⎰
10
(ln 1)2x dx =-=-⎰ （注 因为2
00ln 1lim ln lim
lim 011y y y xy y y xy y y
→→→===-，所以1
0ln |ln y xy x = 20
00ln 1lim ln lim
lim 011y y y x x
x x x x
→→→===-10ln |0x x =) 2
(||)||(,)R E Y X y x f x y dxdy -=-⎰⎰
1
11
()()x x
dx x y dy dx x y dy =
-+-⎰
⎰⎰⎰
1
1221
00011()()22
x x xy y dx xy y dx =-+-⎰⎰
2
1
120011()222
x x dx x dx =+-+⎰⎰
21
12001111111
()()22262263
x x dx x dx =+-+=+-+=⎰⎰
(2) 因为
A XY =，所以由（1）知 1
()()4
E A E XY ==
； 2
1
1
2
2
2
2
20
1()9
R E A x y dxdy x dx y dy ===
⎰⎰⎰⎰ 221177
()()()916916144
D A
E A E A =-=-==
⨯， 2()C X Y =+，
()2()E C E X Y =+2(()())E X E Y =+11
2()222
=+=
2
11
2
2
220
()4
()
4(2)R E C x y dxdy dx x xy y dy =+=++⎰⎰⎰⎰
1
2
014()3x x dy =++⎰
11128144()32363
=++
+== 22142
()()()433
D C
E C E C =-=
-= 21
1
220
()2()2()R E AC xy x y dxdy dx x y xy dy =+=+⎰⎰⎰⎰
21
12
()23x x dx =+⎰
112
2()663
=+= 211
0(,)()()()326
C v A C E AC E A E C =-=-= 所以
AC ρ=
=
=
=== 26、（1）设随机变量123,,X X X 相互独立，且有11
(4,)2
X b ，2
1(6,)3
X b
3
1
(6,)3
X b ，求123{2,2,5}P X X X ===，123()E X X X ，
12()E X X -，12(2)E X X -
（2）设X ，Y 是随机变量，且有()3E X =，()1E Y =，()4D X =，()9D Y =， 令515Z X Y =-+，分别在下列三种情况下求()E Z 和()D Z ：
（ⅰ）X 与Y 相互独立；（ⅱ）X ，Y 不相关；（ⅲ）X 与Y 的相关系数为0.25。

解 （1）因为1
1
(4,)2X b ，2
1
(6,)3X b ，3
1(6,)3
X b
所以123123{2,2,5}{2}{2}{5}P X X X P X P X P X =======
2
2222455466111212()()()()()()223333C C C =
4245111612
615623333
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
36612961516623
8
54040
0.0020316333
319683
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==
== 又因为123,,X X X 相互独立，且
11()422E X =⨯=，21()623E X =⨯=，31
()623
E X =⨯=
所以 123123()()()()E X X X E X E X E X =8= 1212()()()0E X X E X E X -=-= 1212(2)()2()2E X X E X E X -=-=-。

（2）当（ⅰ）X 与Y 相互独立
()(515)5()()15E Z E X Y E X E Y =-+=-+5311529=⨯-+= ()(515)25()()D Z D X Y D X D Y =-+=+2549109=⨯+=
当（ⅱ）X ，Y 不相关
因为X ，Y 不相关，即协方差
cov(,)0X Y =，(5,)5(,)0Cov X Y Cov X Y -=-= ()(515)5()E Z E X Y E X E Y =-+=-+= ()(515)(5
)
(
)2D Z D X
Y D
X D Y C o v X
Y
=
-+=+-+= 当（ⅲ）X 与Y 的相关系数为0.25。

因为 (,)230.25 1.5XY Cov X Y =
=⨯⨯=
()(515)5(
)E Z E X
Y E X E Y
=-+=-+=
()(515)(D Z D X Y D X Y
=-+=- 25()()2(5,)D X D Y Cov X Y =++-
254910 1.51091594=⨯+-⨯=-=。

27、下列各对随机变量X 和Y ，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的。

（1）(0,1)X U ，2Y X =； （2）(1,1)X
U -，2Y X =；
（3）cos X V =，sin Y V =，(0,2)V U π。

若（X ，Y ）的概率密度为 （4）
,01,01
(,)0,x y x y f x y +<<<<⎧=⎨
⎩其它 （5）
2,0
1,0(,)0,
y x y f x y <<<<⎧=⎨
⎩其它 解 (1) 因为(0,1)X U ，其概率密度为
1,01
()0,x f x <<⎧=⎨
⎩其它
， 1
1()()2
E X xf x dx xdx ∞
-∞
=
==
⎰
⎰ 当2
Y X =时 12
2
20
1()()()3
E Y E X x f x dx x dx ∞
-∞
====
⎰
⎰ 1
3
3301()()()4
E XY E X x f x dx x dx ∞
-∞==
==
⎰⎰ 1111
(,)()()()42312
Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯=
因为 1
(,)012
Cov X Y =≠，所以X 和Y 是相关的，即不是不相关的。

事实上，X 和Y 有明显的线性关系：Y X =即X 和Y 不是不相关的，既然有线性关系，当
然也就不独立了。

用反证 可得到这一结论：若X 和Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =，从而(,)0Cov X Y =。

进而0XY ρ=，即X 和Y 是不相关的，矛盾。

所以X 和Y 不相互独立，也不是不相关的。

（2）(1,1)X
U -，2Y X =；
因为 1
1
()()0E X xf x dx xdx ∞
-∞
-===⎰⎰（奇函数在关于原点对称的区间上的积分为0）
1
2
2
21
2()()()3
E Y E X x f x dx x dx ∞
-∞
-====
⎰⎰ 1
331
()()0E XY x f x dx x dx ∞
-∞
-===⎰⎰（奇函数在关于原点对称的区间上的积分为0）
所以 (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-= 故
X 和Y 是不相关的。

虽然X 和Y 是不相关的，即它们之间没有线性关系，但它们之间有平方关系：2Y X = 所以X 和Y 不是相互独立的。

也可以通过计算来说明这一点：对任何01a <<都有事件2
{}{}X a X a ≤⊂≤从而
22{,}{,}{}P X a Y a P X a X a P x a ≤≤=≤≤=≤2{}{}P X a P x a ≠≤≤
故
X 和Y 不是相互独立的。

（3）cos X V =，sin Y V =，(0,2)V
U π。

222000cos 1()()[sin |sin ]22v v E X vf v dv dv v v vdv π
ππ
ππ∞-∞===-⎰⎰
⎰
2011(cos )|2v π
ππ=--=-
222000sin 1()()[cos |s ]22v v E Y vf v dv dv v v co vdv πππ
ππ∞-∞===-+⎰⎰⎰
201(s i n )|0
2v π
π== 2220
00111()cos sin sin 2cos 2|0248E XY v vdv vdv v πππ
πππ
===-=⎰⎰ （ 或
2222
20
sin cos sin (sin )sin |
sin cos v vdv vd v v v vdv π
π
π
π
==-⎰
⎰⎰
移项得
20
s i n c o s 0
v v d v π=⎰
） 所以 1o v (,
)000
C X Y π
=+
⨯= 故X 和Y 是不相关的，但cos sin Y v
X v
=
，因而X 和Y 不相互独立的。

（4）,01,01
(,)0,x y x y f x y +<<<<⎧=⎨
⎩
其它
3
2,0
1()(,)2
0,x
X x x x f x f x y dy -∞
⎧+<<⎪==⎨⎪⎩
⎰
其它 当01x <<时，3
2
0()()2
x
X x f x x y dy x =+=+⎰
3
2,01
()(,)2
0,y
Y y y y f x f x y dy -∞
⎧+<<⎪==⎨⎪⎩
⎰
其它 （由对称性可直接得到 ）
3
1
2450
117
()()2
410
20
x E X x x
d x x x
=
+=+=⎰
31
2
450117
()()241020
y E Y y y dy y y =+=+=⎰
（由对称性可直接得到 ）
1
1
00()()E XY dx xy x y dy =+⎰⎰1
22310011[]23x y x y dx =+⎰12055
618
x dx ==⎰
577
(,)()()()0182020
Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯≠
所以X 和Y 不是是相关的，因而X 和Y 不相互独立的。

（5）2,01,01
(,)0,y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩
其它
（ⅰ）求边缘概率密度
当01x <<时，1
21
00()2|1X f x ydy y ===⎰
1,01
()(,)0,x
X x f x f x y dy -∞<<⎧==⎨
⎩
⎰其它 当01y <<时，1
100
()2
2|2Y f y ydx xy y ===⎰
2,01
()(,)0,y
y Y y y f y f x y dx ydx -∞
<<⎧===⎨
⎩⎰
⎰其它
（ⅱ）由边缘概率密度与联合概率密度的关系知 由此可知
(,)()X Y f x y f x f y =，
故X ，Y 相互独立，从而X ，Y 不相关。

解法二｜关于（5）的计算： 已经求得
1,01
()(,)0,x
X x f x f x y dy -∞
<<⎧==⎨
⎩
⎰其它 0
2,01
()(,)0,y
y Y y y f y f x y dx ydx -∞
<<⎧===⎨
⎩⎰
⎰其它
所以 1
01()()2
X E X xf x dx xdx ∞
-∞=
==
⎰⎰ 1202
()()23
Y E Y yf y dy y dx ∞-∞===⎰⎰
11
20
()(,)2E XY xyf x y dxdy dx xy dy ∞
∞
-∞-∞
==⎰
⎰
⎰⎰
1
13100011
2|2333x xy dx dx ===⎰⎰
112
(,)0323
Cov X Y =-⨯=
知X ，Y 不相关。

又 30
{,}2a
a
P X a Y a dx ydy a ≤≤=
=⎰
⎰
1
{}2a
P X a ydy dx a ≤==⎰⎰
120
{}2a
P Y a dx ydy a ≤==⎰⎰
3{,}{}{}P X a Y a P X a P Y a a ≤≤=≤≤=
所以X ，Y 相互独立。

（一般可以先证明相互独立，当然也就有了不相关的结论。

） 28、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
22
1,1
(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它
试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的。

证明
111,()(,)0,X dy x f x f x y dy π
∞
--∞
⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩
⎰⎰
其它
2,0,x π
⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它
111,()(,)0,Y dx y f y f x y dx π
∞
--∞
⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩
⎰⎰
其它
2,0,y π
⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它
显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X 和Y 不是相互独立的
但 1
1
1
1
2
()()0X E X xf x xdx π--=
=
=⎰
⎰
，
1
11
1
2
()()0X E Y yf y ydy π--==
=⎰⎰
1
1
1
1
1
()(,)0E XY dx f x y dy xdx ydy π
--==
=⎰⎰
（奇函数在对称区间的积分为0） 所以 (,)0Cov X Y =，故X 和Y 是不相关的。

29、设随机变量(,)X Y 的分布律为
试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的。

解 求边缘分布律
所以
323()1010828E X =-⨯+⨯+⨯=，323
()1010828
E Y =-⨯+⨯+⨯=
X
Y 1
-0
1-0
18
1818
18
1
1
18
1818
18
X
.
i p 1
-1
38
38
28
Y 1
-1
38
38
28
.j
p 0
XY 1
28
28
48
.j
p 1
-
242
()1010888
E XY =-⨯+⨯⨯+⨯=
可见 (,)0Cov X Y =，故X 和Y 是不相关的。

但 1{1,1}8P X Y ===
，33
{1}{1}88
P X P Y ===⨯ 又 {1,1}{1}{1}P X Y P X P Y ==≠==可知X 和Y 不相互独立。

或 边缘分布律和乘积不等于联合分布，故X 和Y 不相互独立。

30、设A 和B 是试验E 的两个事件，且()0P A >，()0P B >，并定义随机变量X ，Y
如下：
1,0,X ⎧=⎨⎩若A 发生,若A 不发生, 1,0,Y ⎧=⎨⎩
若B 发生,
若B 不发生.
证明若0XY ρ=，则X 和Y 必定相互独立。

证明
X
由X {1}{1,1}()P XY P X Y P AB =====
1}1()Y P AB ==-
()()E X P A =，()()E Y P B =，()()E XY P AB =
又由0XY ρ=知(,)0Cov X Y =，从而 ()()()E XY E X E Y =， ()()()P AB P A P B = ， 所以
A 和
B 相互独立，进而知A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的。

{1,1}()
()(){P X
Y P
A B P A P B P X P Y
=======
{1,0}()()(){1}{0}
P X Y P A B P A P B P X P Y ======= {0,0}()()(){0}{0}P X Y P AB P A P B P X P Y ======= {0,1}()()(){0}{1}P X Y P AB P A P B P X P Y =======
所以
X 和Y 相互独立。

31、设随机变量(,)X Y 具有概率密度
1,||,01
(,)0,y x x f x y <<<⎧=⎨
⎩
其它 求()E X ，()E Y ，(,)Cov X Y 解 因为 10
()(,)x x
E X x f x y dxdy xdx dy ∞∞
-∞-∞
-=
=⎰⎰⎰⎰1
20
2
23
x dx ==
⎰ 10
()(,)0x
x
E Y y f x y dxdy dx ydy ∞
∞
-∞-∞
-===⎰
⎰
⎰⎰ （奇函数的积分0x x
ydy -=⎰）
10
()(,)0x x
E XY xyf x y dxdy xdx ydy ∞
∞
-∞-∞
-===⎰
⎰
⎰⎰ （奇函数的积分0x
x
ydy -=⎰）
所以 (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-=。

32、设随机变量(,)X Y 具有概率密度
1
(),02,02
(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它
求()E X ，()E Y ，(,)Cov X Y ，XY ρ，()D X Y +。

解 22001()(,)()8E X x f x y dxdy xdx x y dy ∞
∞
-∞-∞=
=
+⎰⎰⎰⎰2017
(1)46
x x dx =+=⎰ 2222
0001187()(,)()(2)8836E Y y f x y dxdy dx xy y dy x dx ∞∞-∞-∞==+=+=⎰⎰⎰⎰⎰
22222
20001184()(,)()(2)8833
E XY xy f x y dxdy dx x y xy dy x x dx ∞∞-∞-∞==+=+=⎰⎰⎰⎰⎰
4771
(,)()()()36636
Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-
因为()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++
又 2222
3232
000115()()()843E X dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰
22222332000115
()()()843
E Y dx xy y dy y y dx =+=+=⎰⎰⎰。