晋安区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

晋安区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：
乙校：
则x ，y A 、12,7 B 、 10,7 C 、 10，8 D 、 11,9
2． 设函数f （x ）在x 0处可导，则等于（ ）
A ．f ′（x 0）
B ．f ′（﹣x 0）
C ．﹣f ′（x 0）
D ．﹣f （﹣x 0）
3． 已知命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为（ ）
A ．∃x ≤0，lnx ≥x
B ．∀x ＞0，lnx ≥x
C ．∃x ≤0，lnx ＜x
D ．∀x ＞0，lnx ＜x
4． 在下面程序框图中，输入44N ，则输出的S 的值是（ ）
A ．251
B ．253
C ．255
D ．260
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 5． 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
6． 复数满足2＋2z
1－i ＝i z ，则z 等于（ ）
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
7． 满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A 的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8． 将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） （A ）
43π （ B ） 83π （C ） 4
π （D ） 8
π
9． 过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量=（m ，n ），向量=（1，
﹣2），则⊥的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．
②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
13．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数的取值范围是 ． 14．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为 ．
15．设()x
x
f x e =
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
16．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．
17．（﹣）0+[（﹣2）3]
= ．
18．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
三、解答题
19．一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆
上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V （单位：m 3），侧面积为S （单位：m 2
）．
（Ⅰ）分别求V 与S 关于θ的函数表达式； （Ⅱ）求侧面积S 的最大值； （Ⅲ）求θ的值，使体积V 最大．
20．已知y=f （x ）是R 上的偶函数，x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x
（1）当x ＜0时，求f （x ）的解析式．
（2）作出函数f （x ）的图象，并指出其单调区间．
21．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22
a S =
=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设221
6log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若1
1
n n n c b b +=
，求证：12314
n c c c c ++++<
．
22．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数()f x 为偶函数且图象经过原点，其导函数()'f x 的图象过点()12，． （1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数()()()'g x f x f x m =+-，其中m 为常数，求函数()g x 的最小值．
23．设函数f （x ）=lnx+a （1﹣x ）． （Ⅰ）讨论：f （x ）的单调性；
（Ⅱ）当f （x ）有最大值，且最大值大于2a ﹣2时，求a 的取值范围．
24．如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为底面圆周上异于A ，B 的任意一点． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1AC ；
（Ⅱ）若D 为AC 的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC ．
晋安区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】 1从甲校抽取110× 1 200
1 200＋1 000
＝60人，
从乙校抽取110× 1 000
1 200＋1 000
＝50人，故x ＝10，y ＝7.
2． 【答案】C
【解析】解：
=﹣
=﹣f ′（x 0），
故选C ．
3． 【答案】B
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为∀x ＞0，lnx ≥x ．
故选：B ．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4． 【答案】B
5． 【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x ×0.1=0.5，所以x 为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12． 故选：C ．
6． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z
1－i ＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－2
1－i ＝－2（1＋i ）
2＝－1－i.
法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），
∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b 2b ＝a ＋b
， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i.
7． 【答案】D
【解析】解：由{0，1}∪A={0，1}易知： 集合A ⊆{0，1} 而集合{0，1}的子集个数为22
=4
故选D
【点评】本题考查两个集合并集时的包含关系，以及求n 个元素的集合的子集个数为2n
个这个知识点，为基
础题．
8． 【答案】B
【解析】将函数()()sin 20y x ϕϕ=+>的图象沿
x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数
sin 2sin 28
4
[()]()y x x π
π
ϕϕ=+
+=+
+的图象，可得
42
ππ
ϕ+=
，求得ϕ的最小值为 4
π
，故选B ．
9． 【答案】D
【解析】解：抛物线y 2
=4x 焦点（1，0），准线为 l ：x=﹣1， 设AB 的中点为E ，过 A 、E 、B 分别作准线的垂线， 垂足分别为 C 、G 、D ，EF 交纵轴于点H ，如图所示：
则由EG 为直角梯形的中位线知，
EG=
=
=
=5，
∴EH=EG ﹣1=4， 则AB 的中点到y 轴的距离等于4．
故选D ．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．
10．【答案】A
【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有36种可能，
而使⊥的m，n满足m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；
由古典概型公式可得⊥的概率是：；
故选：A．
【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．
11．【答案】
D
【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，
故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，
故目标被击中的概率为1﹣=，
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．
②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．
综上可知：其中正确命题的是①③．
故选：C．
【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】3a ≤- 【解析】
试题分析：函数()f x 图象开口向上，对称轴为1x a =-，函数在区间(,4]-∞上递减，所以14,3a a -≥≤-. 考点：二次函数图象与性质． 14．【答案】 8 ．
【解析】解：∵抛物线y 2
=8x=2px ，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
15．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 16．【答案】 （1，2） ．
【解析】解：∵f （x ）=log a x （其中a 为常数且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3）， ∴0＜a ＜1，x ＞0，
若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）， 则
，
解得：1＜x ＜2， 故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
17．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
18．【答案】3
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）
=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），
梯形ABCD的面积S ABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），
体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；
（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）
=20（cos+1），θ∈（0，），
设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，
∴当sin=，θ∈（0，），
即θ=时，木梁的侧面积s最大．
所以θ=时，木梁的侧面积s最大为40m2．
（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）
令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．
当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．
∴当θ=时，体积V最大．
20．【答案】
【解析】解：（1）设x ＜0，则﹣x ＞0， ∵x ＞0时，f （x ）=x 2
﹣2x ．
∴f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2（﹣x ）=x 2
+2x
∵y=f （x ）是R 上的偶函数
∴f （x ）=f （﹣x ）=x 2
+2x
（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；
单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．
21．【答案】（1）1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）
由于{}n b 为递增数列，所以取1
162n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
，
其前项和为()111
4414
n -
<+.
考点：数列与裂项求和法．1
22．【答案】（1）()2
f x x =；（2）1m -
【解析】（2）
据题意，()()()2
'2g x f x f x m x x m =+-=+-，即()2222{
22
m x x m x g x m
x x m x -+<
=+-≥，，，，
①若12m <-，即2m <-，当2m x <时，()()22
211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，上
单调递减；当2m x ≥时，()()22
211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
()1-+∞，
上单调递增，故()g x 的最小值为()11g m -=--． ②若112m -≤
≤，即22m -≤≤，当2m x <时，()()211g x x m =-+-，故()g x 在2m ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减； 当2m x ≥时，()()211g x x m =+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增，故()g x 的最小值为
2
24m m
g ⎛⎫=
⎪⎝⎭． ③若12m >，即2m >，当2
m x <时，()()22
211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，上单调递
减，在12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增；当2m x ≥时，()()22
211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上
单调递增，故()g x 的最小值为()11g m =-．
综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为2
4
m ；当2m >时，
()g x 的最小值为1m -．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=lnx+a （1﹣x ）的定义域为（0，+∞），
∴f ′（x ）
=﹣
a=
，
若a ≤0，则f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，
若a ＞0，则当x ∈（0
，）时，f ′（x ）＞0，当x ∈
（，+∞）时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（0
，）上单调
递增，在（，+∞）上单调递减，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上无最大值；当a ＞0时，f （x ）在
x=取得最大值，最大值为f
（）=﹣lna+a ﹣1，
∵f
（）＞2a ﹣2， ∴lna+a ﹣1＜0，
令g （a ）=lna+a ﹣1，
∵g （a ）在（0，+∞）单调递增，g （1）=0，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，
当a＞1时，g（a）＞0，
∴a的取值范围为（0，1）．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．
24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点
∴BC⊥AC …
又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O，
∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1…
而AA1∩AC=A
∴BC⊥平面A1AC …
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E，
∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB …
又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且
∴DE∥A1O1，DE=A1O1
∴A1DEO1为平行四边形…
∴A1D∥EO1…
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC
∴A1D∥平面O1BC …
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．。