高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性练习 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学

1.3.2 奇偶性
一、A组
1.函数f(x)=-x的图象关于()
A.坐标原点对称
B.x轴对称
C.y轴对称
D.直线y=x对称
解析:因为函数f(x)的定义域关于原点对称,
又f(-x)=+x=-=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
故其图象关于坐标原点对称.
答案:A
2.若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx()
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
解析:∵f(-x)=f(x),
∴a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c对x∈R恒成立.
∴b=0.
∴g(x)=ax3+cx.
易知g(-x)=-g(x).
故g(x)是奇函数.
答案:A
3.已知f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x<0时,有()
A.f(x)≤2
B.f(x)≥2
C.f(x)≤-2
D.f(x)∈R
解析:可画出满足题意的一个f(x)的大致图象如图所示,由图易知当x<0时,有f(x)≥2.故选B.
答案:B
4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-1)+g(1)=2,即-f(1)+g(1)=2.①
f(1)+g(-1)=4,即f(1)+g(1)=4.②
由①+②得,g(1)=3,故选B.
答案:B
5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+|x|-1,则当x<0时,f(x)的解析式为f(x)=()
A.x2-|x|+1
B.-x2+|x|+1
C.-x2-|x|-1
D.-x2-|x|+1
解析:若x<0,则-x>0,f(-x)=x2+|x|-1,
∵f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=x2+|x|-1,f(x)=-x2-|x|+1.
答案:D
6.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,若f(x)在[0,+∞)上是减函数,则f与f的大小关系是()
A.f>f
B.f<f
C.f≥f
D.f≤f
解析:因为a2+2a+=(a+1)2+,
又f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,
所以f=f≥f.
答案:C
7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.
解析:令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.
因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
所以h(-2)=f(-2)+8=18.
h(2)=-h(-2)=-18,
所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
答案:-26
8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)=.
解析:∵f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(0+2)=-f(0).
又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-0)=-f(0).
∴f(0)=0.∴f(6)=0.
答案:0
9.已知函数f(x)=(a,b,c∈Z)是奇函数,且f(1)=2,f(2)<3,求a,b,c的值.解:∵函数f(x)=是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
因此,有=-,
∴c=-c,即c=0.
又f(1)=2,∴a+1=2b.
由f(2)<3,得<3,即<0,
解得-1<a<2.
∵a,b,c∈Z,∴a=0或a=1.
当a=0时,b=∉Z(舍去).
当a=1时,b=1.
综上可知,a=1,b=1,c=0.
10f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
解:∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,
且f(x)是奇函数,
∴当x>0时,-x<0,
则f(-x)=x2-3x+2.
故当x>0时,f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.
∴当x∈时,f(x)是增函数;
当x∈时,f(x)是减函数.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f,f(x)min=f(3)=-2.
∴m=,n=-2,从而m-n=.
二、B组
1.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()
A.f(6)>f(7)
B.f(6)>f(9)
C.f(7)>f(9)
D.f(7)>f(10)
解析:由题意知y=f(x+8)为偶函数,则f(-x+8)=f(x+8),则f(x)的图象的对称轴为x=8.
不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图),
则有f(6)<f(7),f(6)=f(10)<f(9),f(7)=f(9)>f(10).故选D.
答案:D
2.(2016·某某诸城高一期末)设f(x)是奇函数,对任意的实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,则f(x)在区间[a,b]上()
A.有最大值f(a)
B.有最小值f(a)
C.有最大值f
D.有最小值f
解析:任取x1<x2,则x2-x1>0.
∵当x>0时,f(x)<0,
∴f(x2-x1)<0,即f(x2)+f(-x1)<0.
∵f(x)是奇函数,∴有f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在R上是减函数.
∴f(x)在区间[a,b]上有最大值f(a),最小值f(b).故选A.
答案:A
3.导学号29900053若函数f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则<0的解集为()
A.(-3,3)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
解析:因为函数f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(3)=0,所以f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(-3)=f(3)=0,且<0等价于<0,结合函数f(x)的大致图象(图略)可得不等式的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
答案:C
4.已知f(x)=(k-2)x2+(k-3)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间为.
解析:由偶函数的定义知k=3,f(x)=x2+3,其图象开口向上,所以f(x)的递减区间是(-∞,0].
答案:(-∞,0]
5.若函数f(x)=为奇函数,则a=.
解析:由f(-x)=-f(x),
得,
即(x-1)(x-a)=(x+1)(x+a)(x≠0),
所以a=-1.
答案:-1
6.(2016·某某某某一中高一期中)定义在[-1,1]上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a-1)+f(4a-5)>0,某某数a的取值X围.
解:由f(a-1)+f(4a-5)>0,得f(a-1)>-f(4a-5),
因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(a-1)>f(5-4a).
又函数y=f(x)在[-1,1]上是增函数,有
解得
故实数a的取值X围是.
7f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)试求出f(x)的表达式;
(2)求出f(x)的值域.
解:(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),∴0=-2+b,即b=2.
∴当x≤-1时,f(x)=x+2.
∵f(x)为偶函数,
∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.
当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),则1=a·(-1)2+2,∴a=-1.
∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.
综上,f(x)=
(2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];
当-1<x<1时,f(x)=-x2+2∈(1,2];
当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].
综上所述,f(x)∈(-∞,2].。