21-22版：1.1.2 第2课时 正弦定理和余弦定理（步步高）

∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A，
∴2A＝2B 或 2A＋2B＝π，即 A＝B 或 A＋B＝π2，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法二
由a＋a b＝cos
B＋cos cos B
A，得
1＋ba＝1＋ccooss
AB，ba＝ccooss
AB，
b2＋c2－a2 由余弦定理，得ccooss AB＝a2＋2cb2c－b2＝ab·ba22＋＋cc22－－ab22，
课堂小结
1.知识清单： (1)正、余弦定理及其变形. (2)利用正、余弦定理解三角形. (3)三角形中角之间的三角函数关系. 2.方法归纳：转化与化归、统一法. 3.常见误区：在化简和证明题目中，不注意观察和分析，灵活程度 不够，越化越繁.
课时对点练
KESHIDUIDIANLIAN
基础巩固
1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段
反思感悟
在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向 是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方 向是角，走的是三角变换途径.由于高考重点考查的是三角变换，故 解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决 问题，再考虑把角转化成边，但计算量常常较大.
跟踪训练 2 在△ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， a＋b cos B＋cos A
即a2－b2＝accos B－bccos A，
∴a2－c2 b2＝acos
B－bcos c
A .
由正弦定理得ac＝ssiinn CA，bc＝ssiinn CB，
∴a2－c2 b2＝sin
Acos
B－cos sin C
Asin
B＝sinsiAn－CB，故等式成立.
反思感悟
(1)证明三角恒等式，形式上一般有：左⇒右，右⇒左或左⇒中⇐右 三种. (2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是 把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系 转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.
a2－b2 例 3 在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证： c2 ＝ sinA－B
sin C .
证明 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
∴2(a2－b2)＝2accos B－2bccos A，
A＋B＝ 2
sin
C 2
.
2.由大边对大角可得a>b⇔ A>B ⇔ sin A>sin B .
3.由锐角△ABC可得任意两内角之和大于
π 2
，进而可得sin
A
>
cos
B.
思考辨析 判断正误
1.在△ABC中，A→B和B→C 的夹角是B.( × ) 2.在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B.( √ ) 3.在△ABC中，恒有a2＝(b－c)2＋2bc(1－cos A).( √ )
解 由正弦定理，得ssiinn CB＝bc. 因为 2cos Asin B＝sin C，所以 cos A＝2ssiinnCB＝2cb. 因为 cos A＝b2＋2cb2c－a2，所以b2＋2cb2c－a2＝2cb，所以 a＝b. 因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab. 又因为a＝b，所以4b2－c2＝3b2，所以b2＝c2，所以b＝c， 所以△ABC为等边三角形.
在△BCD 中，由正弦定理得sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD， ∴BC＝1s6insin13350°°＝8 2.
[素养提升] 直观想象是数学素养之一，解决本题的关键是构造三 角形，然后在有关三角形中要注意选择正弦定理还是余弦定理，必 要时可列方程(组)求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适， 或是两个定理都用，要抓住能利用某个定理的信息.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
1.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于
A.60°
B.45°或135°
√C.120°
D.30°
解析 ∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac， ∴ac＝－2accos B，cos B＝－12， 又0°<B<180°，∴B＝120°.
12345
延伸探究 本例解答是用边的关系进行判断，那么能否利用角的关系进行判断呢？
解 因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin(A＋B). 因为2cos Asin B＝sin C，所以2cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin(A－B)＝0. 因为0°<A<180°，0°<B<180°， 所以－180°<A－B<180°，所以A－B＝0，即A＝B. 因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＝ab. 因为 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝12，所以 C＝60°，所以△ABC为等边三角形.
知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形
1.正弦定理及常见变形
b
c
(1) a ＝ sin B ＝ sin C ＝2R(其中R是△ABC 外接圆的半径 ).
sin A
(2)a＝bssininBA＝cssininCA＝2Rsin A.
(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
2.余弦定理及常见变形 (1)a2＝ b2＋c2－2bccos A ， b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
方法二
因为右边＝2Rsin 2Rsin
C－2Rsin B－2Rsin
Bcos Ccos
A A
＝ssiinnAA＋＋CB－－ssiinn
Bcos Ccos
AA＝ssiinn
Acos Acos
CB＝ccooss
CB＝左边，所以等式成立.
核心素养之直观想象 构造三角形
典例 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14， ∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.
解 在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°， 设BD＝x， 由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10xcos 60°，即x2－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin A＋
bsin B<csin C，则△ABC的形状是
A.锐角三角形
B.直角三角形
√C.钝角三角形
D.不确定
解析 根据正弦定理可得a2＋b2<c2. 由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2<0，故 C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.
A.能组成直角三角形 C.能组成钝角三角形
√B.能组成锐角三角形
D.不能组成三角形
解析 设最大角为θ， 则最大边对应的角的余弦值为 cos θ＝522＋×652×－672＝15>0， 所以能组成锐角三角形.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
cos
C＝
2 2.
因为0°<C<180°，所以C＝45°.
反思感悟
已知一个含边和三角函数的关系式时，一般可考虑将正弦值与边 利用正弦定理互化，若出现边与边之间的平方关系式，则常用余 弦定理求解.
跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc. (1)求A的大小；
解 由题意及余弦定理知， cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ac＋2bbcc－ac＝12， ∵A∈(0，π)，∴A＝π3.
2ac ∴ba＝abba22＋ ＋cc22－ －ab22，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
∴a2c2－a4＝b2c2－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
三、利用正、余弦定理进行求值、化简和证明
若 a ＝ cos B ，试判断三角形的形状.
解 方法一 由正弦定理知，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接
圆半径.
∵a＋a b＝cos
B＋cos cos B
A，
∴sin
A＋sin sin A
B＝cos
B＋cos cos B
A，
∴sin Acos B＋sin Bcos B＝sin Acos B＋sin Acos A，
跟踪训练 3 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，求证：
cos cos
CB＝bc－－bcccooss
A A.
证明
方法一
a2＋c2－b2 左边＝a2＋2ba2c－c2＝bcaa22＋＋bc22－－bc22，
2ab
右边＝cb－－bc··bb22＋＋22ccbb22cc－－aa22＝bcaa22＋＋bc22－－bc22， 所以等式成立.
∴sin B＝
1－cos2B＝
15 4.
12345
5.在圆内接四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，则cos A 1
＝ 19 .
解析 连接BD，则BD2＝32＋62－2×3×6cos A＝42＋52－2×4×5cos C. ∵cos C＝－cos A，∴cos A＝119.
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4.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝π ，故△ABC是 2
等腰直角三角形.( × )
题型探究
T I X I N G TA N J I U
一、利用正、余弦定理解三角形
例1 已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝ ( 2a －b)sin B成立，求角C的大小.
解 由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
因为 2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sin B，
所以(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R( 2a－b)sin B，
所以 a2－c2＝( 2a－b)b，即 a2＋b2－c2＝ 2ab.
因为
cos
C＝a2＋2ba2b－c2，所以
12345
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C ＝2c，若a＝b，则sin B等于
15
1
3
3
√A. 4
B.4
C. 4
D. 2
解析 ∵ccos A＋acos C＝2c，
∴由正弦定理可得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin C，
∴sin(A＋C)＝2sin C，∴sin B＝2sin C，∴b＝2c，又a＝b，∴a＝2c. ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝4c2＋2×c22－c24c2＝14，∵B∈(0，π)，
(2)求bsicn B的值.
解 由 b2＝ac，得bc＝ab，
∴bsin c
B＝sin
B·ab＝sin
sin B·sin
AB＝sin
A＝
3 2.
二、利用正、余弦定理判断三角形形状
例2 已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试利用三边的 关系判断此三角形的形状.
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3.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是
√A.锐角三角形
C.钝角三角形
B.直角三角形 D.由增加的长度确定的
解析 设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都 增加x， 则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a ＋b－c)x＋x2＞0， 所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形.
练掌握正弦定理、余弦定理在解各类三角形中的应用. 2.提高对正弦定理、余弦定理应用范围的认识. 3.初步应用正弦定理、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关
的综合问题.
【内容索引】
知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练
知识梳理
ZHISHISHULI
b2＋c2－a2 (2)cos A＝ 2bc ，
a2＋c2－b2 cos B＝ 2ac ，
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab .
知识点二 有关三角形的隐含条件
1.由A＋B＋C＝180°可得
sin(A＋B)＝ sin C ，cos(A＋B)＝－cos C ，
sin
A＋B 2
＝
cos
C 2
， cos