(完整版)椭圆离心率题型总结,推荐文档

F1F2
，
F1B
成等比数列，故 (a c)(a c) (2c)2 ，即 a2 c2
4c2 ，则 a2
5c2 .故 e
c a
5
.即椭圆的离
5
5
心率为 .
5
2)、根据题设条件构造 a、c 的齐次式方程，解出 e。 ma2 nac pc2 0 m n c p( c )2 0 ma a
【答案】2
4、（06 山东）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线距离为 1，则该椭圆的离心
率为
。
2b2
[解法一]：通径：
2①
b2
根据焦准距有
1②；①式除以②式，得 2b2 A c
2 ，于是 e
2
a
c
a b2 1
2
[解法二]：（老手的方法）
e
椭圆的第二定义
|
AF2
|
2/2
4 3
12
1 3
2
4 3
12
1 3
2
2
2
所以, a 2 . 又由已知, c 1, 所以椭圆 C 的离心率 e c 1 2 a 22
x2 2、（12）设 F1F2 是椭圆 E : a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点， P 为直线 x
3a 2
上一点，
F2PF1 是底
角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（
BF1
BF2
1 2 2 F1F2 ，求椭圆
离心率的取值范围。
解：设 B0,b, F1 c,0, F2 c,0，得 BF1 c,b, BF2 c,b, F1F2 2c,0
BF1 BF2
1 2
F1 F2
2
，
c
2
b2
1 2c2 ， b2
2
a2
c 2 ， a 2
4c 2 , 即 c 2 a2
x2 2ax 2b2 0 的两根，由 (2a)2 4 2b2 0 ， 可得 a2 2b2 ，即 a2 2(c2 a2 ) 所以 e c
2
，
a2
故 e 范围是[ 2 ,1) 2
1 4
e2 1 ，即 1 e 1 ， 0 e 1 ， 0 e 1
4
2
2
2
2）、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立 a, c 不等关系求解
1、（07 湖南）设 F1，F2 分别是椭圆
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 P, 使线段
PF1 的中垂线过点 F2 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
北京）椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的焦点为 F1 ， F2 ，两条准线与 x 轴的交点分别为 M，N
，若
MN
F1F2
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）解析
2a2
由题意得
c
2 2c ∴ e
2
故选 D.
2
x2 2、已知 F1, F2 为椭圆 a 2
y2 b2
1a
b
0的焦点，
B
为椭圆短轴上的端点，
）【解析】选 C
( A) 1 2
(B) 2 3
(C)
(D)
解：
F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形 PF2
F2 F1
2( 3 a c) 2c e c 3
2
a4
x 2 y 2 1(a 0, b 0)
3、（12 辽理）已知点（2，3）在双曲线 C： a 2 b 2
上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 ．
解：
PF1 的中垂线过点
F2
，∴
PF2
2c
，点
P
在右准线上∴
PF2
a2 c
c
即 2c
a2 c
c
∴
c a
3
∴
3
3 e1. 3
3）、利用圆锥曲线相关性质建立 a, c 不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）
x2 1、（08 福建）椭圆 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则椭圆离心率
2
| AD | 1 2
x2 5、（江西）椭圆 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1，F2。若
5 |AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.13. 5 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知： AF1 a c ， F1F2 2c ， F1B a c .又已知 AF1 ，
舍去 e 1 2 因此 e 1 2
[解法二]解： e 离心率的定义椭c圆的定2义c
2c
2c 1 2 1
a 2a
| PF1 | | PF2 | 2 2c 2c 2 1
二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式） 1）、直接根据题意建立 a, c 不等关系求解. W.w.w
.1、（07
椭圆离心率题型：
e c a
1
b2 a2
一）求离心率
1）用定义（求出 a,c 或找到 c/a）求离心率
1、已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0)
的两个焦点分别为
F1
(1,
0),
F2
(1,
0)
,且椭圆
C
经过点
P(
4 3
,
1) 3
.求椭圆
C 的离心率;
【答案】解: 2a PF1 PF2
3
率为_______.【答案】
3
3、（05 国 3）设椭圆的两个焦点分别为 F1.F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若三角形 F1PF2 为等腰直角 三角形，则椭圆的离心率为（ ）
[解法一]解：由于 F1PF2 为等腰直角三角形，故有 F1F2 PF2 ，得 2ac b2 a2 c2 即 e2 2e 1 0 ，解得，
的取值范围为
解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|= 2a ，|PF2| c a 即 2a c a ∴【1/3,2）
2、已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 右顶为
A,点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，且 OP
垂直于
PA，求椭圆的离心率
e 的取值范围。
解：设
5 e3
5
5
4）、运用判别式建立不等关系求解离心率
x2 1、在椭圆 a2
y2 b2
1(a b 0) 上有一点 M， F1, F2 是椭圆的两个焦点，若
MF 1
MF2
2b2 ，求椭圆的离心率.
解析:
由定义可得
MF 1
MF2
2a 又
MF 1 MF2
2b2 ，所以
MF 1 , MF2
是方程
P
点坐标为（
x0
,
y0
）ห้องสมุดไป่ตู้则有
x02 a2
y02 b2
1
消去 y02 得 (a2 b2 )x02 a3x0 a2b2 0
x02 ax0 y02 0
注意到方程的一个根为
a,由根与系数关系知 ax0
a2b2 a2 b2
x0
ab2 a2 b2
由0
x0
a得
2 e1 2
x2 6、椭圆 a2
1、（10 广文）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
4
3
2
1
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
1.．
2、（13 江苏））在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C
的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) ,右焦点为 F
,右准线为
l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d2 ,若 d2 6d1 ,则椭圆 C 的离心
y2 b2
（1 a b 0）和圆 x 2
y2
b 2
c 2 （其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的
离心率的取值范围。 解：要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足
b
b 2
c
a
，即
b b
2c 2a
2c
b b
2 2
4c 2 4a2
8ac 4c 2
c2 a2
5
3a 5c