一种基于动力学模型的弹性模量理论估算误差分析
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Ｑ（ｋ） ３３
Ｑ（ｋ） ４４
Ｑ（ｋ） ５５
Ｑ（ｋ） １１
＝Ｑ２（２ｋ）
＝Ｑ３（３ｋ）
＝１Ｅ－（ｋｖ）（ｋ）
Ｑ（ｋ） １２
＝Ｑ１（３ｋ）
＝Ｑ２（３ｋ）
＝１Ｅ（－ｋ）ｖｖ（（ｋｋ））
Ｑ（ｋ） ４４
＝Ｑ５（５ｋ）
＝Ｑ６（６ｋ）
＝２（１Ｅ＋（ｋｖ）（ｋ））
Ｑ６（６ｋ）
（１１）
内部虚功为
∑∫ Ｎ
荷与板的中心线重合且加载载荷时必须分布均匀。
图 ５ 厚长比、不同载荷对弹性模量估算的影响
表 ３ 不同载荷下纯铝与功能梯度材料的弹性模量相对误差
％
材料
ＣＬ
ＥＬ
ＴＬ
ＬＬ１０
Ａｌ
２８．７７
２５．０２
４５．９８
３９．８３
ＡｌＺｒＯ２－１ ２９．６７
２４．６１
４５．９８
３９．６４
３ 结束语
本文通过建立数学模型以及有限元计算，对施 加在板上表面的线载荷发生不同偏差时对弹性模量 的计算进行理论误差分析。数值结果表明，在材料 相同的情况下，载荷类型对弹性模量的估算影响最 大，尤其是梯形载荷和中心斜率为 １０的斜线载荷。 同一载荷类型下，相对误差随着长厚比的增加而增 加，材料对相对误差的影响不大。本文的结果为弹 性模量测量过程给予了有益的借鉴。
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｆｏｒｔｈｅｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｐｒｅｃｉｓｉｏｎｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ．Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓｂｙ ｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｅｐｅｎｄｓｏｎｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍｉｔｙｏｆｔｈｅｌｏａｄｓａｐｐｌｉｅｄｔｏ ｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ａｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｖｉｒｔｕａｌｗｏｒｋ， ｔｈｅｂｅｎｄｉｎｇｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｌａｔｅｗａｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｅｃａｓｅｏｆｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｏｆ ａｐｐｌｉｅｄｌｏａｄｏｎｔｈｅｐｌａｔｅ，ａｎｄｔｈｅｅｒｒｏｒｃａｕｓｅｄｂｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｌｏａｄｓ（ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄｌｏａｄｓ，ｌｉｎｅａｒｅｃｃｅｎｔｒｉｃ ｌｏａｄｓ，ｌｉｎｅａｒｌｏａｄｓｗｉｔｈｉｎｆｉｎｉｔｅｓｌｏｐｅｌｏａｄｓ，ｌｉｎｅａｒｌｏａｄｓｗｉｔｈｓｌｏｐｅｋ，ａｎｄｔｒａｐｅｚｏｉｄａｌｌｏａｄｓ） ｏｎｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓｆｒｏｍ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙｗａｓａｎａｌｙｚｅｄ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒ ｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｈａｎｇｅａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ．
一种基于动力学模型的弹性模量理论估算误差分析
蒋鹏程，王爱文
（北京信息科技大学 理学院，北京 １００１９２）
摘 要：弹性模量的准确性对结构力学性能的预测以及精密仪器的设计至关重要。通 过测量结构变形挠度的变化估算弹性模量的过程，依赖于施加在结构表面的载荷的一致均匀性。 基于虚功原理建立数学模型，对板在施加发生偏差作用载荷下的弯曲挠度进行有限元计算，从数 学理论上分析集中载荷、无限斜率线载荷、斜率为 ｋ的直线载荷、偏心载荷、梯型载荷等不同载荷 对弹性模量的估算带来的误差，为测量挠度变化以计算弹性模量提供参考。
７０ ２００
０．３ ０．３
无量纲中心挠度 ｗｃ ＝１２１（０１０－ＷｃｖＥ２）１ｈＦ３０ａ４，其中
( ) Ｗｃ ＝ｗ ２ａ，２ｂ，０
采用有限元方法对方程（１４）进行求解。令ｑｅ＝
Ｇθｅ，Ｇ是线 性 元 和 非 协 调 元 插 值 函 数 矩 阵。 未 知
向量 θｅＴ ＝｛θ１ｅ，θ２ｅ，θ３ｅ，θ４ｅ｝，为
（１３） （１４）
以功能梯度材料板为例，进行数值模拟，各种材
料参数、载荷参数如下：
ａ＝ｂ＝１ｍ；ｈ＝０．２ｍ；Ｎ ＝１０；
Ｒｃ ＝０．１ｍ；Δｘ＝０．０５ｍ；ｋ＝１０。 Ａ１和 ＺｒＯ２－１的弹性模量 Ｅ１、Ｅ２ 和泊松比 ｖ１、 ｖ２如表 １所示。
表 １ 材料参数
材料
弹性模量 ／Ｇｐａ
泊松比
Ａｌ ＺｒＯ２－１
( ) Ｖ２ ＝
１
＋
ｚ
θ
θ≥
０
２ｈ
（１） （２）
式中：θ为 体 积 分 数 指 数；Ｐ１ 和 Ｐ２ 分 别 为 Ａｌ和 ＺｒＯ２ －１的 材 料 参 数，比 如 弹 性 模 量、密 度 等。 为 了 计算方便，沿厚度方向将板分为 Ｎ层，每层的材料
参数均根据式（１）、（２）计算。
令（ｕ１，ｕ２，ｕ３）为板任意一点处在 ｘ、ｙ、ｚ方向上 的位移，根据经典板理论位移场为
化之后通过计算获得。比如，Ｖｉｋａｓｈ等［５］用激光测 量由温度改变引起的板中心弯曲挠度，估算与温度 相关的板的弹性模量。Ａｙｈａｎ等［６］使用试验机测量 单板层积材在载荷下的挠度，计算单板层积材的弹 性模量。
上述实验结果依赖板中心的弯曲挠度。通常的 弯曲挠度测量过程如下：在两侧简单支撑的板中心 表面放置一个矩形条，改变施加在它上面的载荷量， 测量板中心的弯曲挠度。弹性模量的计算是基于板
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ；ｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌ；ｖａｒｉｏｕｓｌｏａｄｓ；ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ
０ 引言
弹性模量是工程材料重要的性能参数，是衡量 物体抵抗弹性变形能力大小的物理量。弹性模量的 准确测量对复杂环境下结构力学性能的预测和精密 仪器的设计有着非常重要的意义。
弹性模量 可 以 通 过 测 量 最 大 最 小 频 率［１］和 多 阶固有频率［２］间接获得；另外，许多学者［３－４］通过改 变结构表面的施加载荷，测量其中心弯曲挠度的变
关 键 词：弹性模量；动力学模型；不同载荷；有限元 中图分类号：ＴＢ１２３ 文献标志码：Ａ
Ａｎｅｒｒｏｒａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌ
ＪＩＡＮＧＰｅｎｇｃｈｅｎｇ，ＷＡＮＧＡｉｗｅｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉｊｉｎｇＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００１９２，Ｃｈｉｎａ）
１ 模型建立
本文采用了经典板理论，基于虚功原理，建立板
的动力学模型，并采用有限元方法求解板在不同载
荷下的弹性模量，如图 １所示。比如围绕板的中心
( ) ２ａ，２ｂ，２ｈ ，半径为 ＣＲ 的圆形区域受均匀载荷的
集中载荷（ＣＬ）、载荷对中线偏移 Δｘ的线性偏心载
荷（ＥＣ）、穿 过 中 心 且 斜 率 为 无 穷 大 的 直 线 载 荷
（ＬＬ∞）、斜率为 ｋ的线性斜线载荷（ＬＬｋ）和载荷在 中线上梯形分布的梯形载荷（ＴＬ）。
本文以长为 ａ、宽为 ｂ、厚为 ｈ的功能梯度板为
研究 对 象，如 图 ２、图 ３所 示。 其 等 效 材 料 参 数
Ｐ（ｚ）以体积分数幂率的方式在厚度方向梯度分布：
Ｐ（ｚ） ＝Ｐ１ ＋（Ｐ２ －Ｐ１）Ｖ２（ｚ）
θｅＴ ＝｛ｕｉ，ｘ，ｕｉ，ｙ，ｖｉ，ｘ，ｖｉ，ｙ，ｗｉ，ｘ，ｗｉ，ｙ，ｗｉ，ｘｘ，ｗｉ，ｘｙ，
ｗｉ，ｙｙ｝ｅ
（１５）
代入（１４），可得单元上的离散矩阵为
δθｅＴ ＧＴ（ＨＴＤＨＧθｅ －ｐ）ｄｘｄｙ＝０ （１６） Ａ
合成得到整体刚度矩阵和载荷向量，便可以求得板 的挠度。
边界条件为简支边界： ｖ＝ｗ ＝ｗ，ｙ ＝０ ｙ＝０，ａ ｕ＝ｗ ＝ｗ，ｘ ＝０ ｘ＝０，ａ ２．１ 结果验证对比 为了验证本文理论的正确性，在不同的体积分 数 θ下，采用有限元方法计算的结果和文献［７］中 Ａｌ和 ＺｒＯ２－１功 能 梯 度 板 的 结 果 一 致，如 表 ２所 示。表明了基于有限元方法的模型和数值计算过程 的正确性和有效性。
参考文献：
图 ４ 体积指数、载荷类型对弹性模量估算的影响
固定体积分数指数为 θ＝０．５，图 ５给出了厚长 比对误差的影响。弹性模量的估算误差随着板的厚 长比提升而升高，因为经典板理论适用于薄板，因此 越厚的板，误差也会越大，但载荷类型对误差的影响 更大。
表 ３给出了纯铝板基于不同载荷下弹性模量 的估算的相对误差，并 与 功 能 梯 度 材 料 的 计 算 结 果进行 对 比，结 果 表 明 材 料 类 型 对 误 差 的 影 响 不大。
γｘｙ ＝ｕ１，ｙ ＋ｕ２，ｘ
γｘｚ ＝ｕ１，ｚ ＋ｕ３，ｘ γｙｚ ＝ｕ２，ｚ ＋ｕ３，ｙ
（４）
式中“，”表示对下标求导。
图 １ 载荷类型
图 ２ 功能梯度板示意图
假设 ε和 ｑ有如下的向量形式： εＴ ＝（εｘｘ，εｙｙ，εｚｚ，γｘｙ，γｘｚ，γｙｚ） ｑＴ ＝（ｕ，ｘ，ｕ，ｙ，ｖ，ｘ，ｖ，ｙ，ｗ，ｘｘ，ｗ，ｘｙ，ｗ，ｙｙ）
Ｈ
＝
０
０
０
０
０
０
０
０ １ １ ０ ０ ２ ０
０
０
０
０
０
０
０
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
（９）
第 ｋ层的应力 σ（ｋ）与应变 ε之间的本构关系为
σ（ｋ） ＝Ｑ（ｋ）ε
（１０）
其中：
Ｑ（ｋ） １１
Ｑ（ｋ） ２１
Ｑ（ｋ）
＝
Ｑ（ｋ） ３１
Ｑ（ｋ） １２
Ｑ（ｋ） ２２
Ｑ（ｋ） ３２
Ｑ（ｋ） １３
Ｑ（ｋ） ２３
Ｅ ＝４ｂａｈ３Δ３Δｐｗ
（１７）
( ) 式中：Δｐ为 载 荷 增 量；Δｗ 为 ｗ ２ａ，２ｂ，０ 挠 度
增量。
图 ４描述了不同体积指数和直线载荷作用下的
弹性模量与 ＣＬ、ＥＬ、ＴＬ、ＬＬ１０等载荷作用下的杨氏模 量估算的相对误差 ＲＥ ＝ＥＥ－ＬＥＬ∞ＬＬ∞ 。可以看出，载荷 类型对弹性模量有显著影响，特别是 ＬＬ１０和 ＴＬ最大 误差可以达到 ４５．９８％，说明测量的时候须保证载
ｕ１（ｘ，ｙ，ｚ） ＝ｕ（ｘ，ｙ）－ｚｗｘ
ｕ２（ｘ，ｙ，ｚ） ＝ｖ（ｘ，ｙ）－ｚｗｙ
ｕ３（ｘ，ｙ，ｚ） ＝ｗ（ｘ，ｙ）
（３）
式中 ｕ（ｘ，ｙ）、ｖ（ｘ，ｙ）、ｗ（ｘ，ｙ）为板的中心层在 ｘ、ｙ、
ｚ方向上的位移。
小应变假设下板的经典应变—位移关系为
εｘｘ ＝ｕ１，ｘ
εｙｙ ＝ｕ２，ｙ
εｚｚ ＝ｕ３，ｚ
第 ３期
蒋鹏程等：一种基于动力学模型的弹性模量理论估算误差分析
４３
表 ２ 在一致载荷下无量ห้องสมุดไป่ตู้中心挠度的对比
方法
θ
０
０．５
１
２
本文
０．１７５２ ０．２３９２ ０．２８３４ ０．３２９６
文献［７］ ０．１７１７ ０．２３１９ ０．２７１６ ０．３１２１
２．２ 载荷类型对弹性模量估计的影响
根据文献［８］，弹性模量可以用式（１７）表示：
收稿日期：２０２１０１１８ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１７７２０６３） 第一作者简介：蒋鹏程，男，硕士研究生；通讯作者：王爱文，女，博士，副教授。
第 ３期
蒋鹏程等：一种基于动力学模型的弹性模量理论估算误差分析
条施加一致载荷的假设。然而，由于结构加工的差 异，板条与结构表面之间的接触是不均匀的，载荷可 能仅施加在几个接触位置。此外，放置中心的板条 位置可能会发生偏斜，这些因素对弹性模量计算准 确性的影响程度直接关系到工程中的应用与设计。
δＰｉｎｔ ＝
ｚｋ＋１δεＴσｄｚｄｘｄｙ＝
ｋ＝１ Ａ ｚｋ
δｑＴＨＴＤＨｑｄｘｄｙ Ａ
∑ ∫ Ｎ
式中，Ｄ ＝
ｚｋ＋１ＺＴＱ（ｋ）Ｚｄｚ。
ｋ＝１ ｚｋ
（１２）
外部虚功为
δＰｅｘｔ ＝ δｑＴｐｄｘｄｙ Ａ
式中 ｐ为作用于板上表面的外力。 运用虚功原理可得
δｑＴ（ＨＴＤＨｑ－ｐ）ｄｘｄｙ＝０ Ａ
２ 数值模拟
第 ３６卷 第 ３期 ２０２１年 ６月
北京信息科技大学学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｅｉｊｉｎｇＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ．３６ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２０２１
文 章 编 号：１６７４－６８６４（２０２１）０３－００４０－０５
ＤＯＩ：１０１６５０８／ｊ．ｃｎｋｉ．１１－５８６６／ｎ．２０２１０３００７
４１
（５） （６）
４２
北京信息科技大学学报
第 ３６卷
图 ３ 功能梯度材料截面
则应变 ε的矩阵形式为
ε＝ＺＨｑ
（７）
其中：
１ ０ ０ －ｚ ０ ０
０ １ ０ ０ －ｚ ０
Ｚ
＝
０
０
０
０
０ ０
０ ０ １ ０ ０ ０
０
０
０
０
０ ０
０ ０ ０ ０ ０ ０
（８）
１ ０ ０ ０ １ ０ ０
０ ０ １ ０ ０ ０ １
Ｑ（ｋ） ４４
Ｑ（ｋ） ５５
Ｑ（ｋ） １１
＝Ｑ２（２ｋ）
＝Ｑ３（３ｋ）
＝１Ｅ－（ｋｖ）（ｋ）
Ｑ（ｋ） １２
＝Ｑ１（３ｋ）
＝Ｑ２（３ｋ）
＝１Ｅ（－ｋ）ｖｖ（（ｋｋ））
Ｑ（ｋ） ４４
＝Ｑ５（５ｋ）
＝Ｑ６（６ｋ）
＝２（１Ｅ＋（ｋｖ）（ｋ））
Ｑ６（６ｋ）
（１１）
内部虚功为
∑∫ Ｎ
荷与板的中心线重合且加载载荷时必须分布均匀。
图 ５ 厚长比、不同载荷对弹性模量估算的影响
表 ３ 不同载荷下纯铝与功能梯度材料的弹性模量相对误差
％
材料
ＣＬ
ＥＬ
ＴＬ
ＬＬ１０
Ａｌ
２８．７７
２５．０２
４５．９８
３９．８３
ＡｌＺｒＯ２－１ ２９．６７
２４．６１
４５．９８
３９．６４
３ 结束语
本文通过建立数学模型以及有限元计算，对施 加在板上表面的线载荷发生不同偏差时对弹性模量 的计算进行理论误差分析。数值结果表明，在材料 相同的情况下，载荷类型对弹性模量的估算影响最 大，尤其是梯形载荷和中心斜率为 １０的斜线载荷。 同一载荷类型下，相对误差随着长厚比的增加而增 加，材料对相对误差的影响不大。本文的结果为弹 性模量测量过程给予了有益的借鉴。
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｆｏｒｔｈｅｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｐｒｅｃｉｓｉｏｎｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ．Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓｂｙ ｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｅｐｅｎｄｓｏｎｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍｉｔｙｏｆｔｈｅｌｏａｄｓａｐｐｌｉｅｄｔｏ ｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ａｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｖｉｒｔｕａｌｗｏｒｋ， ｔｈｅｂｅｎｄｉｎｇｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｌａｔｅｗａｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｅｃａｓｅｏｆｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｏｆ ａｐｐｌｉｅｄｌｏａｄｏｎｔｈｅｐｌａｔｅ，ａｎｄｔｈｅｅｒｒｏｒｃａｕｓｅｄｂｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｌｏａｄｓ（ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄｌｏａｄｓ，ｌｉｎｅａｒｅｃｃｅｎｔｒｉｃ ｌｏａｄｓ，ｌｉｎｅａｒｌｏａｄｓｗｉｔｈｉｎｆｉｎｉｔｅｓｌｏｐｅｌｏａｄｓ，ｌｉｎｅａｒｌｏａｄｓｗｉｔｈｓｌｏｐｅｋ，ａｎｄｔｒａｐｅｚｏｉｄａｌｌｏａｄｓ） ｏｎｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓｆｒｏｍ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙｗａｓａｎａｌｙｚｅｄ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒ ｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｃｈａｎｇｅａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ．
一种基于动力学模型的弹性模量理论估算误差分析
蒋鹏程，王爱文
（北京信息科技大学 理学院，北京 １００１９２）
摘 要：弹性模量的准确性对结构力学性能的预测以及精密仪器的设计至关重要。通 过测量结构变形挠度的变化估算弹性模量的过程，依赖于施加在结构表面的载荷的一致均匀性。 基于虚功原理建立数学模型，对板在施加发生偏差作用载荷下的弯曲挠度进行有限元计算，从数 学理论上分析集中载荷、无限斜率线载荷、斜率为 ｋ的直线载荷、偏心载荷、梯型载荷等不同载荷 对弹性模量的估算带来的误差，为测量挠度变化以计算弹性模量提供参考。
７０ ２００
０．３ ０．３
无量纲中心挠度 ｗｃ ＝１２１（０１０－ＷｃｖＥ２）１ｈＦ３０ａ４，其中
( ) Ｗｃ ＝ｗ ２ａ，２ｂ，０
采用有限元方法对方程（１４）进行求解。令ｑｅ＝
Ｇθｅ，Ｇ是线 性 元 和 非 协 调 元 插 值 函 数 矩 阵。 未 知
向量 θｅＴ ＝｛θ１ｅ，θ２ｅ，θ３ｅ，θ４ｅ｝，为
（１３） （１４）
以功能梯度材料板为例，进行数值模拟，各种材
料参数、载荷参数如下：
ａ＝ｂ＝１ｍ；ｈ＝０．２ｍ；Ｎ ＝１０；
Ｒｃ ＝０．１ｍ；Δｘ＝０．０５ｍ；ｋ＝１０。 Ａ１和 ＺｒＯ２－１的弹性模量 Ｅ１、Ｅ２ 和泊松比 ｖ１、 ｖ２如表 １所示。
表 １ 材料参数
材料
弹性模量 ／Ｇｐａ
泊松比
Ａｌ ＺｒＯ２－１
( ) Ｖ２ ＝
１
＋
ｚ
θ
θ≥
０
２ｈ
（１） （２）
式中：θ为 体 积 分 数 指 数；Ｐ１ 和 Ｐ２ 分 别 为 Ａｌ和 ＺｒＯ２ －１的 材 料 参 数，比 如 弹 性 模 量、密 度 等。 为 了 计算方便，沿厚度方向将板分为 Ｎ层，每层的材料
参数均根据式（１）、（２）计算。
令（ｕ１，ｕ２，ｕ３）为板任意一点处在 ｘ、ｙ、ｚ方向上 的位移，根据经典板理论位移场为
化之后通过计算获得。比如，Ｖｉｋａｓｈ等［５］用激光测 量由温度改变引起的板中心弯曲挠度，估算与温度 相关的板的弹性模量。Ａｙｈａｎ等［６］使用试验机测量 单板层积材在载荷下的挠度，计算单板层积材的弹 性模量。
上述实验结果依赖板中心的弯曲挠度。通常的 弯曲挠度测量过程如下：在两侧简单支撑的板中心 表面放置一个矩形条，改变施加在它上面的载荷量， 测量板中心的弯曲挠度。弹性模量的计算是基于板
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ；ｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌ；ｖａｒｉｏｕｓｌｏａｄｓ；ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ
０ 引言
弹性模量是工程材料重要的性能参数，是衡量 物体抵抗弹性变形能力大小的物理量。弹性模量的 准确测量对复杂环境下结构力学性能的预测和精密 仪器的设计有着非常重要的意义。
弹性模量 可 以 通 过 测 量 最 大 最 小 频 率［１］和 多 阶固有频率［２］间接获得；另外，许多学者［３－４］通过改 变结构表面的施加载荷，测量其中心弯曲挠度的变
关 键 词：弹性模量；动力学模型；不同载荷；有限元 中图分类号：ＴＢ１２３ 文献标志码：Ａ
Ａｎｅｒｒｏｒａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌ
ＪＩＡＮＧＰｅｎｇｃｈｅｎｇ，ＷＡＮＧＡｉｗｅｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉｊｉｎｇＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００１９２，Ｃｈｉｎａ）
１ 模型建立
本文采用了经典板理论，基于虚功原理，建立板
的动力学模型，并采用有限元方法求解板在不同载
荷下的弹性模量，如图 １所示。比如围绕板的中心
( ) ２ａ，２ｂ，２ｈ ，半径为 ＣＲ 的圆形区域受均匀载荷的
集中载荷（ＣＬ）、载荷对中线偏移 Δｘ的线性偏心载
荷（ＥＣ）、穿 过 中 心 且 斜 率 为 无 穷 大 的 直 线 载 荷
（ＬＬ∞）、斜率为 ｋ的线性斜线载荷（ＬＬｋ）和载荷在 中线上梯形分布的梯形载荷（ＴＬ）。
本文以长为 ａ、宽为 ｂ、厚为 ｈ的功能梯度板为
研究 对 象，如 图 ２、图 ３所 示。 其 等 效 材 料 参 数
Ｐ（ｚ）以体积分数幂率的方式在厚度方向梯度分布：
Ｐ（ｚ） ＝Ｐ１ ＋（Ｐ２ －Ｐ１）Ｖ２（ｚ）
θｅＴ ＝｛ｕｉ，ｘ，ｕｉ，ｙ，ｖｉ，ｘ，ｖｉ，ｙ，ｗｉ，ｘ，ｗｉ，ｙ，ｗｉ，ｘｘ，ｗｉ，ｘｙ，
ｗｉ，ｙｙ｝ｅ
（１５）
代入（１４），可得单元上的离散矩阵为
δθｅＴ ＧＴ（ＨＴＤＨＧθｅ －ｐ）ｄｘｄｙ＝０ （１６） Ａ
合成得到整体刚度矩阵和载荷向量，便可以求得板 的挠度。
边界条件为简支边界： ｖ＝ｗ ＝ｗ，ｙ ＝０ ｙ＝０，ａ ｕ＝ｗ ＝ｗ，ｘ ＝０ ｘ＝０，ａ ２．１ 结果验证对比 为了验证本文理论的正确性，在不同的体积分 数 θ下，采用有限元方法计算的结果和文献［７］中 Ａｌ和 ＺｒＯ２－１功 能 梯 度 板 的 结 果 一 致，如 表 ２所 示。表明了基于有限元方法的模型和数值计算过程 的正确性和有效性。
参考文献：
图 ４ 体积指数、载荷类型对弹性模量估算的影响
固定体积分数指数为 θ＝０．５，图 ５给出了厚长 比对误差的影响。弹性模量的估算误差随着板的厚 长比提升而升高，因为经典板理论适用于薄板，因此 越厚的板，误差也会越大，但载荷类型对误差的影响 更大。
表 ３给出了纯铝板基于不同载荷下弹性模量 的估算的相对误差，并 与 功 能 梯 度 材 料 的 计 算 结 果进行 对 比，结 果 表 明 材 料 类 型 对 误 差 的 影 响 不大。
γｘｙ ＝ｕ１，ｙ ＋ｕ２，ｘ
γｘｚ ＝ｕ１，ｚ ＋ｕ３，ｘ γｙｚ ＝ｕ２，ｚ ＋ｕ３，ｙ
（４）
式中“，”表示对下标求导。
图 １ 载荷类型
图 ２ 功能梯度板示意图
假设 ε和 ｑ有如下的向量形式： εＴ ＝（εｘｘ，εｙｙ，εｚｚ，γｘｙ，γｘｚ，γｙｚ） ｑＴ ＝（ｕ，ｘ，ｕ，ｙ，ｖ，ｘ，ｖ，ｙ，ｗ，ｘｘ，ｗ，ｘｙ，ｗ，ｙｙ）
Ｈ
＝
０
０
０
０
０
０
０
０ １ １ ０ ０ ２ ０
０
０
０
０
０
０
０
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
（９）
第 ｋ层的应力 σ（ｋ）与应变 ε之间的本构关系为
σ（ｋ） ＝Ｑ（ｋ）ε
（１０）
其中：
Ｑ（ｋ） １１
Ｑ（ｋ） ２１
Ｑ（ｋ）
＝
Ｑ（ｋ） ３１
Ｑ（ｋ） １２
Ｑ（ｋ） ２２
Ｑ（ｋ） ３２
Ｑ（ｋ） １３
Ｑ（ｋ） ２３
Ｅ ＝４ｂａｈ３Δ３Δｐｗ
（１７）
( ) 式中：Δｐ为 载 荷 增 量；Δｗ 为 ｗ ２ａ，２ｂ，０ 挠 度
增量。
图 ４描述了不同体积指数和直线载荷作用下的
弹性模量与 ＣＬ、ＥＬ、ＴＬ、ＬＬ１０等载荷作用下的杨氏模 量估算的相对误差 ＲＥ ＝ＥＥ－ＬＥＬ∞ＬＬ∞ 。可以看出，载荷 类型对弹性模量有显著影响，特别是 ＬＬ１０和 ＴＬ最大 误差可以达到 ４５．９８％，说明测量的时候须保证载
ｕ１（ｘ，ｙ，ｚ） ＝ｕ（ｘ，ｙ）－ｚｗｘ
ｕ２（ｘ，ｙ，ｚ） ＝ｖ（ｘ，ｙ）－ｚｗｙ
ｕ３（ｘ，ｙ，ｚ） ＝ｗ（ｘ，ｙ）
（３）
式中 ｕ（ｘ，ｙ）、ｖ（ｘ，ｙ）、ｗ（ｘ，ｙ）为板的中心层在 ｘ、ｙ、
ｚ方向上的位移。
小应变假设下板的经典应变—位移关系为
εｘｘ ＝ｕ１，ｘ
εｙｙ ＝ｕ２，ｙ
εｚｚ ＝ｕ３，ｚ
第 ３期
蒋鹏程等：一种基于动力学模型的弹性模量理论估算误差分析
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表 ２ 在一致载荷下无量ห้องสมุดไป่ตู้中心挠度的对比
方法
θ
０
０．５
１
２
本文
０．１７５２ ０．２３９２ ０．２８３４ ０．３２９６
文献［７］ ０．１７１７ ０．２３１９ ０．２７１６ ０．３１２１
２．２ 载荷类型对弹性模量估计的影响
根据文献［８］，弹性模量可以用式（１７）表示：
收稿日期：２０２１０１１８ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１７７２０６３） 第一作者简介：蒋鹏程，男，硕士研究生；通讯作者：王爱文，女，博士，副教授。
第 ３期
蒋鹏程等：一种基于动力学模型的弹性模量理论估算误差分析
条施加一致载荷的假设。然而，由于结构加工的差 异，板条与结构表面之间的接触是不均匀的，载荷可 能仅施加在几个接触位置。此外，放置中心的板条 位置可能会发生偏斜，这些因素对弹性模量计算准 确性的影响程度直接关系到工程中的应用与设计。
δＰｉｎｔ ＝
ｚｋ＋１δεＴσｄｚｄｘｄｙ＝
ｋ＝１ Ａ ｚｋ
δｑＴＨＴＤＨｑｄｘｄｙ Ａ
∑ ∫ Ｎ
式中，Ｄ ＝
ｚｋ＋１ＺＴＱ（ｋ）Ｚｄｚ。
ｋ＝１ ｚｋ
（１２）
外部虚功为
δＰｅｘｔ ＝ δｑＴｐｄｘｄｙ Ａ
式中 ｐ为作用于板上表面的外力。 运用虚功原理可得
δｑＴ（ＨＴＤＨｑ－ｐ）ｄｘｄｙ＝０ Ａ
２ 数值模拟
第 ３６卷 第 ３期 ２０２１年 ６月
北京信息科技大学学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｅｉｊｉｎｇＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ．３６ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２０２１
文 章 编 号：１６７４－６８６４（２０２１）０３－００４０－０５
ＤＯＩ：１０１６５０８／ｊ．ｃｎｋｉ．１１－５８６６／ｎ．２０２１０３００７
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（５） （６）
４２
北京信息科技大学学报
第 ３６卷
图 ３ 功能梯度材料截面
则应变 ε的矩阵形式为
ε＝ＺＨｑ
（７）
其中：
１ ０ ０ －ｚ ０ ０
０ １ ０ ０ －ｚ ０
Ｚ
＝
０
０
０
０
０ ０
０ ０ １ ０ ０ ０
０
０
０
０
０ ０
０ ０ ０ ０ ０ ０
（８）
１ ０ ０ ０ １ ０ ０
０ ０ １ ０ ０ ０ １