平面 向量基本定理

小结
1.平面向量的基本定理
2.基本定理的应用
作业 见课本
人教A版高中数学必修4
2.3.1平面向量基本定理
主:
⑴向量共线定理
若向量 a( 0)与b 共线则 有且只有一个实数，使得b a.
当 0 时， b 与 a 同向， 且 | b |是| a | 的 倍;
当 0 时， b 与 a 反向， 且 | b |是| a | 的| | 倍; 当 0 时， b 0 ，且 | b | 0 。
作法: 1.如图，任取一点O , 作OA 2.5e1 , OB 3e2 .
2.作
OACB.
则， OC就是所求的向量
C
3e2
B
e1
e2
A
-2.5e1
O
例2 : 如图，
ABCD的两条对角线相交于点M , 且
AB a， AD b ，用a、 b表示MA 、 MB、 MC和MD.
解：在 ABCD中， AC AB AD a b DB AB AD a b
a b .(用a、 b来表示) 2 a b , 2
D
C
A
B
2.如图，已知向量e1、，求作下列向量: e2 (1). 3e1 2e2 ; (2). 4e1 e2 ;
e1
e2
3.如果e1、 e2是平面内所有向量的一组基底， 那么（D ）
A.对平面中的任一向量 a，使 a 1 e1 2 e2 的实数1、2 有无数对 B.对实数1、2，1 e1 2 e2不一定在平面内 C .空间任一向量 a可以表示为a 1 e1 2 e2， 这里1、2是实数 D.若实数1、2 使1 e1 2 e2 0,则1 2 0
⑵向量的加法：
b a
O B
C
ab
b a
A
平行四边形法则 B
ab
b
O
A a 三角形法则
思考：一个平面内的两个不共线的向量 e1、 e2 与该平面 内的任一向量 a 之间的关系.
M C
e1
a
e2
A
如图 OC OM ON
O
N
B
OM 1OA 1 e1
ON 2 OB 2 e2
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
原因：平面中不共线的向量非常多
（2）若 1与2中只有一个为零，情况会是怎样？
a与e1或e2共线
即
1
（3）对于给定的基底，向量的表示形式唯一吗？
唯一
与 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量
例1：已知向量e1, e （如图），求作向量-2.5 e1 3e2 . 2
OC 1 e1 2 e2
即 a 1 e1 +2 e2
N
A
B C
e1
e2
a
O
如图 OC OM ON
M
OM 1OA 1 e1
ON 2 OB 2 e2
OC 1 e1 2 e2
即 a 1 e1 +2 e2
a 1 e1 +2 e2
这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成1 e1 +2 e2的形式
新知识
※平面向量基本定理：
如果e1、是同一平面内的两个 e2 不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对 实数1、2，可使 a 1 e1 +2 e2
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.
思考:如图， OA、 OB不共线， AP t AB(t R), 用OA、 OB表示OP.
解:
AP t AB
OP OA AP OA t AB
P B O A
OA t (OB OA) OA tOB tOA
(1 t )OA tOB
思考
设a , b 是不共线的两个向量， 已知AB 2a kb , CB a 3b , CD 2a b , 若A, B, D三点共线，求 k的值。
D
b
M
C
A 1 ab a b MA AC 2 2 2 2 1 a b a b MB DB 2 2 2 2 1 a b MC AC MA 2 2 2 1 a b MD DB MB 2 2 2
a
B
练习:
1.在 AD ABCD中，设 AC a, BD b,则 AB