高中数学 4.1 微积分基本定理基础巩固 北师大版选修22

【成才之路】2014-2015学年高中数学 4.1 微积分基本定理基础巩
固 北师大版选修2-2
一、选择题
1．(2014·山东师大附中模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛0
1sin x d x ，下列关系式成立的是
( )
A ．a >b B.a ＋b <1 C ．a <b D.a ＋b ＝1
[答案] A
[解析] a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x |1
0＝sin1，b ＝⎠⎛0
1sin x d x ＝(－cos x ) |1
0＝1－cos1，∴a ＝
sin1>sin π6＝12，又cos1>cos π3＝12，∴－cos1<－12，b ＝1－cos1<1－12＝1
2
，∴a >b ，选A.
2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝2t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间所走的路程为( )
A.1
3 B.1
2 C ．1 D ．2
[答案] C
[解析] 所走的路程为⎠⎛012t d t ，由定积分的几何意义作图求得⎠⎛0
12t d t ＝1.
3．由曲线y ＝e x
和x ＝0，y ＝2围成图形的面积S 表示为( ) A ．∫ln20e x
d x B.2ln2－∫ln20
e x
d x
C ．∫ln20(2＋e x
)d x D.以上都不对
[答案] B
[解析] 如图所示，可先求得由x 轴，x ＝0，x ＝ln2和y ＝e x
围成的曲边梯形的面积Ⅰ即为∫ln20e x
d x ，再由矩形面积2ln2减去该曲边梯形面积可得所求面积S .
二、填空题
4．根据定积分的几何意义写出下列定积分． (1)⎠⎛－1
1 x d x ＝________；(2)∫2π
0cos x d x ＝________.
[答案] (1)0 (2)0
[解析] (1)如答图①所示，⎠
⎛1－1x d x ＝－S ＋S ＝0.
(2)如答图②所示，∫2π
0cos x d x ＝S 1－S 2＋S 3＝0.
5．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列各式： (1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2
d x ；
(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛1
2x d x ； (3)⎠⎛0
24－x 2
d x ________⎠⎛0
22d x .
[答案] (1)> (2)< (3)<
[解析] 将定积分大小的比较转化为平面图形面积大小的比较． 三、解答题
6．求定积分⎠⎛－2
22d x 的大小．
[解析]
由几何意义知，⎠⎛－2
22d x 表示由直线y ＝2，x ＝－2，x ＝2，y ＝0所围成的矩形ABCD 的
面积．
如图所示．
则⎠⎛－2
22d x ＝4×2＝8.
一、选择题
1．已知⎠⎛0
4f (x )d x ＝4，则( )
A ．2⎠⎛0
1f (x )d x ＝1
B.⎠⎛02f (x )d x ＋⎠⎛2
4f (x )d x ＝4
C.⎠⎛0
2f (x )d x ＝1
D.⎠⎛0
1f (x )d x ＝1
[答案] B
[解析] 利用定积分的性质解决．
⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x ＋⎠⎛2
4
f (x )d x ＝4. 2.⎠⎛1
4x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )
[答案] B
[解析] 由定积分的几何意义可得．
3．(2014·黄冈检测)如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2
－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A ．|⎠⎛0
2(x 2
－1)d x |
B.⎠⎛02(x 2
－1)d x
C.⎠⎛0
2|x 2
－1|d x
D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(x 2
－1)d x
[答案] C
[解析] 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2
)d x ＋⎠⎛12(x 2
－1)d x ＝⎠⎛0
2|x 2
－1|d x ，故选C.
4．某汽车作变速直线运动，在时刻t (单位：h)时的速度为v (t )＝t 2
＋2t (单位：km/h)，那么它在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s (单位：km)可表示为( )
A.⎠⎛3
4(t 2
＋2t )dt
B.⎠⎛341dt
C ．t 3＋2t 2
D.⎠⎛4
3(t 2
＋2t )dt
[答案] A [分析]
物体在某段时间内行驶的路程可以用积分表示，其中被积函数是速度关于时间的函数． [解析] 如图所示，阴影部分的面积表示汽车在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s ，则
s ＝⎠⎛34v (t )dt ＝⎠⎛3
4(t 2＋2t )dt .故选A.
归纳总结：实际生活中许多问题都可以用定积分来解决．若质点的速度为v (t )，则它在a ≤t ≤b 这段时间内行驶的路程s ＝⎠⎛a
b v (t )dt .
5．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成平面图形的面积为( ) A.⎠⎛0
1[(1－y )－y ]d y
B ． [(－x ＋1)－x ]d x
C ．
[(1－y )－y ]d y
D.⎠⎛0
1[x －(－x ＋1)]d x
[答案] C
[解析] 由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形为图中阴影部分，可转化为以
y 为积分变量，由图可知y 的取值范围是[0，1
2
]，再结合定积分的几何意义可知选C 项．
二、填空题
6．由定积分的几何意义，则⎠⎛－a
a a 2
－x 2
d x 的值(a >0)为________．
[答案]
π2
a 2
[分析] 利用定积分的几何意义：当曲边梯形在x 轴上方时，定积分的值取正，为曲边梯形面积．
[解析] 此定积分的值可看成曲线y ＝a 2
－x 2
，x ＝a ，x ＝－a ，y ＝0围成的曲边梯形的面积．
∵y ＝a 2
－x 2
≥0，即x 2
＋y 2
＝a 2
(y ≥0)表示圆心在原点，半径为a 的圆在x 轴上方的半圆．
∴⎠⎛－a
a
a 2－x 2d x ＝π2
a 2.
[点评] 弄清定积分表示什么图形，并求相应图形的面积，即为所求定积分． 7．若a ＝
x d x ，b ＝sin x d x ，c ＝tan x d x ，则三者之间的大小关系为________．
[答案] b <a <c
[解析] x ∈(0，π
4)时，sin x <x <tan x ，所以b <a <c .
三、解答题
8．利用定积分的几何意义比较下列各对积分值的大小． (1)⎠⎛01x 2
d x 与⎠⎛0
1x d x ；
(2)⎠⎛0
110x d x 与⎠⎛0
15x
d x .
[解析] (1)因为在(0,1)上x 2
<x ， 所以⎠⎛01x 2
d x <⎠⎛0
1x d x .
(2)因为在(0,1)上10x >5x
， 所以⎠⎛0110x
d x >⎠⎛0
15x
d x .
9．已知⎠
⎛0
1x 3d x ＝14，⎠⎛1
2x 3d x ＝154，⎠⎛1
2x 2d x ＝73，⎠⎛2
4x 2
d x ＝563，求：
(1)⎠⎛023x 3
d x ；
(2)⎠⎛146x 2
d x ； (3)⎠⎛1
2(3x 2
－2x 3
)x 3
d x . [解析] (1)⎠⎛023x 3
d x ＝3⎠⎛0
2d x
＝3(⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛1
2x 3
d x )
＝3×(14＋15
4)＝12.
(2)⎠⎛146x 2
d x ＝6⎠⎛1
4x 2
d x
＝6(⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛2
4x 2
d x )
＝6×(73＋56
3)＝126.
(3)⎠⎛12(3x 2
－2x 3
)d x
＝3⎠⎛1
2x 2d x －2⎠⎛1
2x 3
d x
＝3×73－2×154＝－12
.
10．利用定积分的性质，用定积分表示出下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2
.
[分析] 用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分变量，确定上、下限，当计算公式S ＝⎠⎛a
b [f (x )－g (x )]d x 中的f (x )或g (x )是
分段函数时，面积要分块计算．
[解析] (1)曲线所围成的区域如图所示．
设此面积为S ，则
S ＝⎠⎛02(x －0)d x ＝⎠⎛0
2x d x .
(2)如图所示，曲线所围成的平面区域的面积S ＝SA 1＋SA 2.
SA 1由曲线y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成； SA 2由曲线y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成．
∴SA 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ＝⎠⎛012x d x ，SA 2＝⎠⎛1
4[x －(x －2)]d x ，
∴S ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x ＝2⎠⎛01x d x ＋⎠⎛1
4(x －x ＋2)d x
[点评] 利用定积分求平面图形面积时，可按以下几个步骤进行：①画图，②确定积分变量，③求交点确定积分上、下限，④求定积分，得面积．。