人教版七年级上册数学第二章2.2整式的加减

2.2 整式的加减
第1课时合并同类项
【知识与技能】
理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则.
【过程与方法】
1.经历概念的形成过程和法则的探究过程，培养观察、归纳、概括能力，发展应用意识.
2.渗透分类和类比的思想方法.
【情感态度】
在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，从交流中获益.
【教学重点】
正确合并同类项.
【教学难点】
找出同类项并正确的合并.
一、情境导入,初步认识
我们来看本章引言中的问题（2）.
在西宁到拉萨路段，列车通过冻土地段所需时间是th，那么它通过非冻土地段所需要的时间就是 2.1th，则这段铁路的全长（单位：千米）是100t+120×2.1t，即100t+252t.类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？
【教学说明】教师先引出教材中的问题，让学生思考，并试着写出答案，教师再予以评讲，为下面同类项及合并同类项概念的引入作铺垫.
二、思考探究，获取新知
问题1 为了搞好班会活动，李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔，经过预算，发现这么多奖品不够用，然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：
①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔？
②若设软面抄的单价为每本x 元，水笔的单价为每支y 元，则这次活动他们支出的总金额是多少元？
【教学说明】知识的呈现过程尽量与学生已有的生活实际密切联系，从而能提高学生从事探索活动的投入程度和积极性，激发学生的求知欲.
问题2 观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类.
【教学说明】由学生小组讨论后，按不同标准进行多种分类，教师巡视后把不同的分类方法投影显示.
要求学生观察归为一类的式子，思考它们有什么共同的特征?
请学生说出各自的分类标准，并且肯定每一位学生按不同标准进行的分类，再由教师给出同类项的定义.
试一试
1.下列各式与3a2b3是同类项的是（ ）
A.－3a 2b 3
B.－3a 3b 2
C.－2b 2a 3
D.－a 3b 3
2.若单项式3xm －ny3与单项式3x2nyn 的和是6xm －nyn ，则（ ）
A.m ≠9
B.n ≠3
C.m ＝9，n ≠3
D.m ＝9，n ＝3
3.判断下列各题中的两个项是否是同类项，并说明理由. （1）3a 2b 和－
21a 2b ；（2）31ab 3和－4
3a 3b ； （3）x 3和y 3；（4）21m 2n 3和3n 3m 2； （5）2ab 和2xy ；（6）－3和0.
4.（1）若
32x3y2a 与－5
2x 5by 4是同类项，求a ，b 的值; （2）若－3x 5y2m －3与31x n y 5是同类项，求m 2－2n 的值; （3）若3a m b 5和－7b n+1a 2是同类项，求m 与n 的值.
【答案】1.A
2.D
3.（1）（4）（6）是同类项.
4.（1）a ＝2，b ＝5
3 （2）6 （3）m ＝2，n ＝
4 问题3 探索合并同类项的过程.
学生讨论问题1的解答过程，可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列出代数式，再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来，化简整个多项式，所得的结果都为(21x ＋25y)元.
由此可得：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.(板书：合并同类项.)
三、典例精析，掌握新知
例1 k 取何值时，3x k y 与－x 2
y 是同类项？
解：要使3x k y 与－x 2y 是同类项，这两项中x 的次数必须相等，即k ＝2.所以当k ＝2时，3x k y 与－x 2y 是同类项.
例2 找出多项式3x 2y －4xy 2－3＋5x 2y ＋2xy 2＋5中的同类项，并合并同类项.
【教学说明】根据以上合并同类项的实例，让学生讨论归纳，得出合并同类项的法则：
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保持不变. 例3 下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正.
(1)2x 2＋3x 2=5x 4；(2)3x ＋2y=5xy ；
(3)7x 2－3x 2=4； (4)9a 2b －9ba 2=0.
解：（1）不对，结果应为5x 2；（2）不对，两者不是同类项；（3）不对，结果应为4x2；（4）结果正确.
【教学说明】通过这一组题的训练，进一步熟悉法则.
例4 合并下列多项式中的同类项：
【教学说明】用不同的记号标出各同类项，会减少运算错误，当然熟练后可以不再标出.其中第(3)题应把(x＋y)、(x－y)看作一个整体，特别注意(x－y)2n=(y－x)2n，n为正整数.在讲完这个例题后，教师可让学生做教材第64页例1，进一步体会合并同类项.
例5 求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x=－3.
试一试把x＝－3直接代入例5这个多项式，可以求出它的值吗？与上面的解法比较一下，哪个解法更简便？
【教学说明】通过比较两种方法，使学生认识到，在求多项式的值时，常常先合并同类项，再求值，这样比较简便.在讲完这个例题后，教师可让学生看教材第64页例2，看跟此题有什么类似之处.
四、运用新知，深化理解
1~4.教材第65页练习.
【教学说明】这4题让学生独立完成，并让学生上台板演.
【答案】略
五、师生互动，课堂小结
1.要牢记同类项的概念，熟练正确的合并同类项，以防止2x2＋3x2=5x4的错误.
2.从实际问题中类比概括得出合并同类项法则，并能运用法则，正确的合并同类项.
1.布置作业：从教材习题
2.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学要重点引导学生抓住理解同类项的定义中的要点：（1）所含字母相同，不能多或少；（2）相同字母指数完全相同；从这个定义可归纳出：几个代数式的系数大小，字母排列顺序，单项式次数等都不是决定是否是同类项的全部因素.
合并同类项是从具体的数字运算发展到代数式运算的一个转折，教学中需要学生通过本课内容的学习，初步了解代数式运算的特点，体会代数式运算与数字运算的异同，初步完成由数字运算到代数式运算的思维转变；同时合并同类项又是今后其他代数式运算及解方程、解不等式的不可或缺的一个环节，因此要特别重视.教学时可充分让学生利用小组交流的方式探索出法则，并在应用时互相纠偏补缺.
第2课时去括号
【知识与技能】
能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简.
【过程与方法】
经过类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力.
【情感态度】
培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度.
【教学重点】
去括号法则，准确应用法则将整式化简.
【教学难点】
括号前面是“-”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误.
一、情境导入,初步认识
利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？
现在我们来看本章引言中的问题（3）：
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要uh，那么它通过非冻土地段的时间为（u－0.5）h，于是，冻土地段的路程为100ukm，非冻土地段的路程为120（u－0.5）km，因此，这段铁路全长（单位：km）是
100u+120（u－0.5）①
冻土地段与非冻土地段相差
100u－120（u－0.5）②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
思路点拨：教师引导、启发学生类比数的运算，利用分配律.学生练习、交流后，教师归纳：
利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：
100u+120（u－0.5）=100u+120u+120×（－0.5）=220u－60；
100u－120（u－0.5）=100u－120u－120×（－0.5）=－20u+60.
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号.
上面两式去括号部分变形分别为：
+120（u－0.5）=+120u－60 ③
－120（u－0.5）=－120u+60 ④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
二、思考探究，获取新知
【教学说明】上一栏目中问题，应鼓励学生通过观察，试用自己的语言叙述去括号法则，然后教师板书（或用屏幕）展示.
【归纳结论】如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
特别地，+（x－3）与－（x－3）可以分别看作1与－1分别乘（x－3）.
利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：
+（x－3）=x－3（括号没了，括号内的每一项都没有变号）
－（x－3）=－x+3（括号没了，括号内的每一项都改变了符号）
去括号规律要准确理解，去括号应对括号内的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要不变，则每一项都不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项.
三、典例精析，掌握新知
例1 化简下列各式：（教材第66页例4）
（1）8a+2b+（5a－b）；
（2）（5a－3b）－3（a2－2b）.
【教学说明】讲解时，先让学生判定是哪种类型的去括号，去括号后，要不要变号，括号内的每一项原来是什么符号？去括号时，要同时去掉括号前的符号.为了防止错误，题（2）中－3（a2－2b），先把3乘到括号内，然后再去括号.解答过程按课本，可由学生口述，教师板书.
例2 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h.（教材第67页例5）（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
【教学说明】教师操作投影仪，展示例2，学生思考、小组交流，寻求解答思路.根据船顺水航行的速度=船在静水中的速度+水流速度，船逆水航行速度=船在静水中的速度－水流速度.因此，甲船速度为（50+a）km/h，乙船速度为（50－a）km/h，2h后，甲船行程为2（50+a）km，乙船行程为2（50－a）km.两船从同一港口同时出发反向而行，所以两船相距等于甲、乙两船行程之和.
去括号时强调：括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，
括号内每一项都要变号.为了防止出错，可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去括号.
四、运用新知，深化理解
1~2.教材第67页练习.
3.一本书第一天看了x 页，第二天看的页数比第一天看的页数的2倍少25页，第三天看的比第一天看的一半多42页，已知三天刚好看完这本书.
（1）用含x 的代数式表示这本书的页数；
（2）当x=100，试计算这本书的页数.
4.有这样一道计算题：计算（2x 3-3x 2y-2xy 2）-（x 3-2xy 2+y 3）+（-x 3+3x 2y-y 3）的值，其中x=2012，y=1.甲同学错把x=2012看成x=-2012，但计算结果仍正确，请你说说这是怎么一回事？
【教学说明】本课时的内容是有关于去括号的问题，教师先让学生独立完成，向学生强调去括号时应注意符号的变化.
【答案】1.（1）12x-6 （2）-5+x （3）-5a+5 （4）5y+1
2.解：顺风飞行4小时的行程为4（a+20）千米；逆风飞行3小时的行程为3（a-20）千米；两个行程相差4（a+20）-3（a-20）=4a+80-3a+60=（a+140）千米.
3.（1）x+（2x-25）+（
21x+42）=2
7x+17； （2）将x=100代入原式得27×100+17=367.
因为化简结果与x 的取值无关，所以x=2012与x=-2012对计算结果没有影响，从而结果仍正确.
五、师生互动，课堂小结
学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则，并能根据法则进行去括号运算.法则顺口溜：去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“―”号，全变号.
1.布置作业：从教材习题
2.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变.当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项.本课时教学时教师要通过对这个法则的不断强化，使学生牢牢记住变形时的符号变化.
第3课时整式的加减
【知识与技能】
让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算.
【过程与方法】
培养学生的观察、分析、归纳、总结以及概括能力.
【情感态度】
认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
【教学重点】
整式的加减.
【教学难点】
总结出整式的加减的一般步骤.
一、情境导入,初步认识
做一做某学生合唱团出场时第一排站了ｎ人，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？
(1)学生写出答案：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）
(2)提问：以上答案进一步化简吗？如何化简？我们进行了哪些运算？
练一练化简：
（1）(x+y)—(2x－3y)；
(2)2(a2－2b2)－3(2a2+b2).
提问:以上化简实际上进行了哪些运算?怎样进行整式的加减运算?
【教学说明】从实际问题引入,让学生经历一个实际背景，体会进行整式的加减运算的必要性，再通过复习、练习，为学生概括出整式的加减的一般步骤作必要的准备.
二、思考探究，获取新知
【教学说明】上一栏目中已提出了怎样进行整式的加减运算这个问题，这里教师可先让学生阅读教材67~69页的例题，教师巡视，及时发现问题并进行评讲，再引导学生归纳整式加减的法则.
【归纳结论】不难发现，去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此，整式加减的一般步骤可以总结为：（1）如果有括号，那么先去括号.（2）如果有同类项，再合并同类项.
试一试教材第69页练习.
【教学说明】第2题去括号时注意要变号，第3题为化简求值题，教师提醒学生要变号.
三、典例精析，掌握新知
例1 求下列各整式的和.
【分析】先根据题意列出代数式，然后去括号，合并同类项.
例2化简求值：
【分析】（1）题中的括号前面分别是+2，－3，运算时可以直接把它看成性质符号，利用乘法分配律去乘括号里的每一项.
（2）题中去括号，可由内向外，按顺序先去小括号，再去中括号，最后去大括号，也可由外向内按顺序先去大括号，再去中括号，最后去小括号，合并同类项既可去掉括号后合并，也可边去括号边合并同类项.
例3 若3x2－2x+b与x2+bx－1的和中不存在含x的项，求b的值.写出它们的和，并说明不论x取什么值，它的值总是正数.
【分析】所谓不含x项，是指x项的系数为0，若说明无论x取什么值时两个整式之和总是正数，即说明这个和总大于零.
解：（3x2－2x+b）+（x2+bx－1）
＝4x2+（b－2）x+（b－1）
令b－2＝0，所以b＝2.
当b＝2时，4x2+（b－2）x+（b－1）＝4x2+1.
因为不论x取什么值，总有x2≥0，即4x2≥0，因此总有4x2+1＞0.
四、运用新知，深化理解
1.一个多项式加上5x2+4x－1得6x－8x2+2，求这个多项式.
2.一个整式加上ab－2ac得3ac－ab，求这个整式减去ab－2ac的值.
3.已知（a+2）2+｜a+b+5｜＝0，求3a2b－[2a2b－（2ab－a2b）－4a2]－ab 的值.
4.已知3x5+a y4和－5x3y b+1是同类项，求代数式3b4－6a3b－4b4+2ba3的值.
5.若代数式a2+2kab+b2－6ab+9不含ab项，求k的值.
【教学说明】以上五题都是上一栏目例题的变式题，教师可提醒学生这一点，第1、2题是例1的变式题，都是直接给出多项式进行加减；第3、4题是例2的变式题，都是化简求值的类型；第5题是例3的变式题.第4、5题稍难，教师要向学生强调理解同类项的概念是解决本题的关键.
五、师生互动，课堂小结
1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合.
2.整式的加减的一般步骤：
①如果有括号，那么先算括号.②如果有同类项，则合并同类项.
3.求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便.
4.数学是解决实际问题的重要工具.
1.布置作业：从教材习题
2.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时是在学生掌握了合并同类项、去括号法则的基础上学习的，主要任务是通过探索性练习，引导学生总结归纳出整式加减的一般步骤，并应用其进行整式加减的准确运算，所以可采用以旧带新的方式，由学生在练习中熟悉法则，纠正错误，弥补不足.鼓励学生间互相交流，互相订正问题，充分体现学生自行解决问题的主体作用.。