2020年2月高中数学导学案全国版人教版精品课件必修2-3第二章第7课时离散型随机变量的综合应用

能力素养
求离散型随机变量的期望和方差时要综合计数 培养数学
原理、排列、组合、古典概型、几何概型、事 运算的素
件的互斥与独立、重要概率分布等,因此在学习 养
时首先要注意掌握相关的基础知识.学习本部分 提升逻辑
时要结合典型的例题,认真分析所给的模型,求 推理和数
出对应的概率,从而得到分布列、期望和方差. 学建模的
结合教材和导学案上提供的习题强化练习,提升 素养
分析问题、解决问题的能力
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重点:期望与方差的求解. 难点:期望与方差的综合应用.
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学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的决赛. 若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数 X,Y 的分布列分别为
X 90 100 110 P 0.1 0.8 0.1 Y 95 100 105 P 0.3 0.4 0.3 那么最好选择哪名同学呢?
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预学 1:离散型随机变量的均值与方差 设离散型随机变量 X 的分布列 P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n),则其性质: ①0≤pi≤1;②p1+p2+…+pi+…+pn=1. 想一想:如何应用分布列的性质? 【解析】求出随机变量的分布列后,可利用分布列的两个性质对求得概率的正确性进 行简单验证.
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练一练:利用 E(aX+b)=aE(X)+b 的结论证明 D(aX+b)=a2D(X).
������
【解析】∵D(X)= ∑ (xi-E(X))2·pi,
������=1 n
∴D(aX+b)= ∑ [(axi+b)-E(aX+b)]2·pi
i=1 ������
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1.已知 X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则 n,p 的值分别为( D ).
A.100,0.8 C.10,0.2
B.20,0.4 D.10,0.8
【解析】由条件知
������ ������
(=1-8,)=1.6,解得
������ = 10, = 0.8.
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预学 3:Y=aX+b 的期望
一般地,如果离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 那么如何推导公式 E(aX+b)=aE(X)+b 呢?
设 Y=aX+b,则 Y 也是随机变量.因为 P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,…,n,所以 Y 的分布列为
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1
p2 … pi … pn
则 E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn
=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.
方差为 D(X)=(������1-E(X))2·p1+(������2-E(X))2·p2+…+(������������ -E(X))2·pi+…+(������������ -E(X))2·pn= ∑ (xi-
i=1
E(X))2·pi.
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想一想:回答《问题情境》中的问题. 【解析】E(X)=90×0.1+100×0.8+110×0.1=100, E(Y)=95×0.3+100×0.4+105×0.3=100. 甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数的期望值相等,需进一步考查哪名同学发挥比较稳 定,即比较甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数的方差. 由方差的定义,得 D(X)=(90-100)2×0.1+(100-100)2×0.8+(110-100)2×0.1=20, D(Y)=(95-100)2×0.3+(100-100)2×0.4+(105-100)2×0.3=15. ∵D(X)>D(Y),∴乙同学的发挥比甲同学稳定, 因此最好选择乙同学.
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2.节假日时,人们发短信问候亲友已成为一种时尚,若小李的 40 名亲友中每人在节假日
给小李发祝福短信的概率都为 0.8,则小李在节假日收到短信条数的均0
C.32
D.8
【解析】短信条数 X~B(40,0.8),所以 E(X)=40×0.8=32.
2020
导学案教学用课件
选修2-3
第二章 随机变量及其分布
第7课时 离散型随机变量的综合应用
1 课前预学
目
2 课堂导学
录
3 课上固学
4 课后思学
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序号
知识目标
掌握期望和方差的 1
计算性质
会求较复杂的随机 2
变量的期望和方差
能用期望和方差解 3
决一些实际问题
学法建议
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3.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中有放回地任取 3 件,若ξ表示取到次品
的个数,则ξ的标准差为
.
【解析】由题意知,次品率 p=146=14,则 ξ~B
3, 1
= ∑ (axi-aE(X))2·pi
������=1 ������
=a2 ∑ (xi-E(X))2·pi=a2D(X).
������=1
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预学 4:利用随机变量的分布列解决实际应用问题 常用方法:(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已 知随机变量 X 的期望、方差,求 X 的线性函数 Y=aX+b 的期望、方差和标准差,可直接用 X 的期 望、方差的性质求解;(3)若能分析得出所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布 等),则可直接利用它们的期望、方差公式求解.
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预学 2:利用方差判断随机变量的离散程度的标准 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为 P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n),
������
则 X 的均值(或数学期望)为 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn= ∑ xipi.
������ =1 n