四川省绵阳市三台县观桥中学高三数学文期末试题含解析

四川省绵阳市三台县观桥中学高三数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量,,,则“”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
2. 如图，正方体AC1中，，点P为平面EFGH内的一动点，且满足
，则点P的轨迹是
A、抛物线
B、圆
C、椭圆
D、双曲线
参考答案：
C
3. 已知实数x，y满足记该不等式组所表示的平面区域为，且，，
，现有如下说法：
①，；②，；③，.
则上述说法正确的有（）个.
A.0
B.1
C.2
D.3 参考答案：
C
由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
依题意，
所以①②是正确的，故选C.
4. 在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A． B．C．
D．
参考答案：
A
过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设
，则由题意知,所以有，即。

三角形，所以四面体的体积为
，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.
5. 关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根．
其中假命题的个数
是
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B．
本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决
问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根．故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；故选B．
6. 下列说法中正确的是（）
A．“”是“”成立的充分不必要条件
B．命题，则
C．为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40
D．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为. 参考答案：
D
对于A，取，时，不能推出，故错误；对于B，命题的否定为，故错误；对于C，为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为，故错误；对于D，因为回归直线的斜率的估计值为1.23，所以回归直线方程可写成，根据回归直线方程过样本点的中心，则，所以回归直线方程为，故正确.
故选D.
7. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为，若空间有一条直线l与
直线CC1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
8. 已知等比数列{am}的前m项和为Sm，若S=4（a1+a3+a5+…+a2m-1）,a1a2a3=27,则a6=
（）
A.27
B.81
C.
243 D.729
参考答案：
C
略
9. 已知点M在平面ABC内，且对空间任意一点O， =x（x＞0，y＞0），则的最小值为（）
A．B．C． D．
参考答案：
D
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据四个面可得x+y=3，代入，利用基本不等式得出最小值．
【解答】解：∵A，B，C，M四点共面，
∴x+y﹣2=1，即x+y=3．
∴=+=++，
又x＞0，y＞0，
∴+≥2=．当且仅当x2=3y2时取等号．
∴≥+=．
故选：D．
10. 已知点在第三象限，则角的终边在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参考答案：
B
略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
参考答案：
2
12. 已知数列{a n}的前n项和S n，若，则_________．
参考答案：
420
解：由a n+1+(?1)n a n=n可得：
当n=2k时,有a2k+1+a2k=2k，①
当n=2k?1时有a2k?a2k?1=2k?1，②
当n=2k+1时,有a2k+2?a2k+1=2k+1，③
①?②得：a2k+1+a2k?1=1，
①+③得：a2k+2+a2k=4k+1，
∴a2k?1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2.
∴S40=4×(1+3+…+19)+20=420.
13. 设直线与圆相交于两点，且，则_________. 参考答案：
０
14. 向平面区域内随机投入一点，则该点落在区域内的概率等
于
.
参考答案：
略
15. 已知，则▲ ，函数的零点的个数为▲．
参考答案：
14；1．
16. 设都是定义在R 上的函数，且
在数列
中，任取前k 项相加，则前k 项和大于
的概率为 。

参考答案：
略
17. 已知
若
，则
___________
参考答案：
-1或3
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本题满分l2分) 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
参考答案：
∵sin α＝－3cos α.
又sin 2
α＋cos 2
α＝1，得(－3cos α)2
＋cos 2
α＝1，
即10cos 2α＝1.∴cos α＝±.
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴α在第二、四象限．
①当α是第二象限角时，sin α＝，cos α＝－.
②当α是第四象限角时，sin α＝－，cos α＝.
19. 某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于
公里和
公里之间，将统计结果分成组：，
，
，
，
，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）求续驶里程在的车辆数；
（Ⅲ）若从续驶里程在
的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为
的概率.
参考答案：
解: （Ⅰ）由直方图可得：
∴
.
------------------3分 （Ⅱ）由题意可知，续驶里程在
的车辆数为：
------------------5分
（Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在
的车辆数为，分别记为，
续驶里程在
的车辆数为，分别记为
，
设事件
“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”----------------------7分
从该辆汽车中随机抽取辆，所有的可能如下：
共
种情况，----------------10
分
事件
包含的可能有
共种情况，
则. ------------------12分
（未列举事件，只写对概率结果给2分）
略
20. （本小题满分12分）
如图，在五面体中，平面,，，为的中点，
(I)求异面直线与所成的角的大小；
(II)证明平面平面；
（III）求二面角的余弦值。

参考答案：
方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。

设P为AD的中点，连结EP，PC。

因为FE AP，所以FA EP，同理AB PC。

又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。

而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，
EP⊥AD。

由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故
∠CED=60°。

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
（II）证明：因为
（III）由（I）可得，
方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，
点为坐标原点。

设依题意得
（I）
所以异面直线与所成的角的大小为.
（II）证明：，
（III）
又由题设，平面的一个法向量为
21. 已知抛物线：的焦点F，直线与轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且.
（1）求的值；
（2）已知点为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线T M和直线T N的斜率
之和为，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.
参考答案：
（1）设，由抛物线定义，
又，即，解得
将点代入抛物线方程，解得.
（2）由（1）知的方程为，所以点坐标为
设直线的方程为，点
由得，责任，
所以
，解得
所以直线方程为，恒过点.
22. （本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是正方形，
，，，.（Ⅰ）求证：面面；
（Ⅱ）求证：面.
参考答案：
证明：（Ⅰ）四边形为正方形, ,
…………………………………2分
………………………………4分
，面
又面，面面………………………………6分
（Ⅱ）取的中点，连结，，
，，
四边形为平行四边形
面，面
面……………………8分
，，
四边形为平行四边形，且
又是正方形，，且
为平行四边形，,面，面
面………………………………………………………………………10分，面面
面，面………………………………………………12分。