2017版高考数学一轮总复习第6章数列第一节数列的概念及简单表示法AB卷文新人教A版

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第6章 数列 第一节 数列
的概念及简单表示法AB 卷 文 新人教A 版
1.(2012·大纲全国，6)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )
A.2n －1
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
D.
12
n －1
解析 ∵a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，∴a 2＝1
2.
∴S n －1＝2a n .两式作差则得到
a n ＋1a n ＝3
2
(n ≥2). ∴a n
＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －2，n ≥2.
∴S n ＝1＋12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1
1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.
答案 B
2.(2014·新课标全国Ⅱ，16)数列{a n }满足a n ＋1＝1
1－a n
，a 8＝2，则a 1＝________.
解析 将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝1
1－a n ，可求得a 6
＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝1
1－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期
数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝1
2.
答案 12
1.(2013·辽宁，4)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n
n
}是递增数列；p 4：数列
{a n ＋3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p 1，p 2 B.p 3，p 4 C.p 2，p 3
D.p 1，p 4
解析 如数列－2，－1，0，1，2，…，
则1×a 1＝2×a 2，排除p 2，如数列1，2，3，…，则a n n
＝1，排除p 3，故选D. 答案 D
2.(2014·江西，17)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
－n 2，n ∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *
，使得a 1，a n ，a m 成等比数列. (1)解 由S n ＝3n 2
－n
2，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，
所以数列{a n }的通项公式为：a n ＝3n －2. (2)证明 要使得a 1，a n ，a m 成等比数列， 只需要a 2
n ＝a 1·a m ， 即(3n －2)2＝1·(3m －2)， 即m ＝3n 2－4n ＋2， 而此时m ∈N *，且m ＞n .
所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *
，使得a 1，a n ，a m 成等比数列. 3.(2014·湖南，16)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2
，n ∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n
a n ，求数列{
b n }的前2n 项和.
解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
n 2＋n 2－
（n －1）2＋（n －1）
2
＝n .
故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22)
)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).
记A ＝21
＋22
＋ (22)
，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝2（1－22n
）1－2
＝22n ＋1－2，
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .
故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝2
2n ＋1
＋n －2.
4.(2013·江西，16)正项数列{a n }满足：a 2
n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)令b n ＝1
（n ＋1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)由a 2
n －(2n －1)a n －2n ＝0， 得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.
由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，b n ＝1
（n ＋1）a n ，
则b n ＝12n （n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1，
T n ＝12⎝
⎛⎭
⎪
⎫
1－1
2＋12－1
3＋…＋1
n －1－1n ＋1
n －1n ＋1
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n
2（n ＋1）
. 5.(2012·四川，20)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ＞0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设a 1＞0，λ＝100.当n 为何值时，数列{lg 1
a n
}的前n 项和最大？
解 (1)取n ＝1，得λa 2
1＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S n ＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0， 所以a n ＝0(n ≥1).若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2
λ
＋S n ，
2a n －1＝2
λ
＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，
所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列， 所以a n ＝a 1·2
n －1
＝2
λ
·2
n －1
＝
2
n
λ
.
综上，当a 1＝0时，a n ＝0；当a 1≠0时，a n ＝2
n
λ
.
(2)当a 1＞0且λ＝100时，令b n ＝lg 1
a n
，由(1)有，
b n ＝lg
100
2
n ＝2－n lg 2. 所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg 2).
b 1＞b 2＞…＞b 6＝lg
10026＝lg
100
64
＞lg 1＝0， 当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100
128＜lg 1＝0，
故数列{lg 1
a n
}的前6项的和最大.。