初中数学人教版 八年级上册 变量与函数16 人教版八年级上册

问题四
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S
表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_____r_²__．利
用这个关系式,试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、 3.2 cm时圆的面积,并将结果填入下表:(≈3.14)
3.14 7.07 12.57 21.24 32.17 …
关系式．
（2） 列表法
（3） 图象法
巩固训练
1.下表是某市2010年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少 吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加? (3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量? 哪个是因变量?
解: (1) 14岁的男学生的平均身高是146.1cm． (2)约从11岁开始身高迅速增加. (3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之 间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
都有意义
（3）中，x≠－2时，原式有意义．
（4）中x≥2时，原式有意义．
巩固训练
1.求下列函数中自变量x的取值范围
（1）y=
5x 7 2
；（2）y=x2-x-2；
（3）y=
3 4x 8
；（4）y= x 3
答案：（1）（2）x为任意实数；
（3）x≠-2; (4)x≥-3
例2 在上面试一试的问题（3）中，当MA＝1 cm
距离s（米）由下式给出：s=10t+2t2.假如滑到坡底的
时间为8秒，试问坡长为多少？
3、如图，直线是过正方形ABCD两对角线AC与BD交点O 的一条动直线从直线AC延顺时针方向绕点O向直线BD位 置旋转（不与直线AC、BD重合）交边AB、CD于点
E、F，设AE＝xcm，直线在正方形ABCD中扫过的面积 为ycm2，正方形边长为AB＝2cm。 (1)写出y与x的函数关系式与自变量x的取值范围.
时，重叠部分的面积是多少?
解 ：设重叠部分面积为
y cm2，MA长为x cm
y与x之间的函数关系式为
y=
1 2
x
当x＝1时，y=
2
1 12

1
2
2
1 答:MA＝1cm时，重叠部分的面积是 2 cm2
1.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取 值范围： (1).某市民用电费标准为每度0.50元，求电费

(2)若BE＝1.75cm，求y的值。
A HE B
O
DF
C
说一说
•这节课我的收获是……
1、用一个变量表示另一个变量。 2、变量、常量和函数的概念。 3、自变量的取值范围和函数值。
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
19.1.1 变量与函数
情境引入
(1) 你坐过摩天轮吗？ 你坐在摩天轮上时,随 着时间t的变化,你离）
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
y＝10－x
对于问题1中的函数，当自变量x=3时，对应的函数y 的值y=10-3=7 ，则把7做这个函数当x=3时的函数值
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3） y=
x
1
；
2
（4） y＝ x 2 ．
解：
（1）（2）中x取任意实数，3x－1, 2x2 7
（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格 子涂黑，看看你能发现什么?
y
y10x
x
如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵 向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．
（2）试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度 数x之间的函数关系式．
y1802x
y
x
等腰三角形两底角相等
（3）如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的 边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M 点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写 出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
y 1 x2 2
1. 在上面“试一试”中所出现的各个 函数中，自变量的取值有限制吗？如果有， 写出它的取值范围。
y10x (x取1到9的自然数)
y1802x(0x90) y 1 x 2 (0x10)
2
2.在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3 时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向 的加数是多少？
问题探究一
问题一
如图是某地一天内的气温变化图．
看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？ 任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时 段的气温在逐渐降低？
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地 气温T(℃)也随之变化．
2.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:
(1)圆的周长C与半径r的关系式; (2)火车以90千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和 所用时间t(时)的关系式; (3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
解: (1)C=2r, 2、 是常量，r和C是变量.
(2) s=90t, 90是常量，t和s是变量. (3)S=(n－2) ×180°, 2和180°是常量， n和S是变量.
题四中的 。
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互 相依赖，密切相关．
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，
例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与 之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时 也称y是x的函数．
300000
（1） 解析法 如问题3中的f = ，
问题4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的
随着存期x的增长，相应的年利率y也随着长．
在以上变化过程中存在着两个变量存期x和年利率y, 对于存期x每取一个值,年利率 y都有唯一的值与之对应. 我们就说存期x是自变量, 年利率 y是因变量. 也称年利率y是存期x的函数.
问题三
收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹 (kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
y（元）关于用电度数x的函数关系式； (2).已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x （cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；
(3).在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r （cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S （cm2），求S关于r的函数关系式.
2.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的
在这个变化过程中存在着两个变量时间t和温度T,对 于时间t每取一个值,温度T都有唯一的值与之对应.
我们就说时间t是自变量,温度T是因变量.也称T是t的函数.
问题二 下表是2006年8月中国人民银行公布的 “整存整取”年利率.
1.80 2.25 2.52 3.06 3.69 4.14 观察上表，说说随着存期x的增长，相应的 年利率y是如何变化的？
在这个变化过程中存在着两个变量半径r和面积S,对于半 径r每取一个值, 面积S都有唯一的值与之对应. 我们就说半径r是自变量, 面积S是因变量.也称面积S是半 径r的函数.
变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变
量(variable)．
常量：在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终 保持不变，我们称之为常量 。如问题三中的300 000，问
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点 的高度h（米）之间的关系。
根据上 图填表
3
11 37 45 37 11
刻画摩天轮转动过程的量是时间t和高度h,高 度h随着时间t的变化而变化,它们都会取不同
的数值．
像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的 量,叫做变量.
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。

观察上表回答：
(1)波长 和频率f数值之间有什么关系?
f 300000
f 300000

(2)波长 越大，频率f
就_越__小_____．
在这个变化过程中存在着两个变量波长和频率f,对于 波长每取一个值,频率f都有唯一的值与之对应.
我们就说波长是自变量,频率f是因变量. 也称频率f是波 长的函数.