2018届高三理数周练试题8.15

2018 届高三理数周练试题(8.15)
时量：120 分钟 分值：150 分 一、选择题（每小题仅有一个最佳答案，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知 A  x x 2  2 x  3≤0 ， B  y y  A． 1, 2 



x 2  3 ，则 A  B  （
 
D．  2, 3 

）


B．  2, 3 


C．  3, 3


2．函数 f ( x)  2 x  x 3  2 在区间 (0, 2) 内的零点个数是（ A． 0 B．1 C． 2
） D． 3
3．已知等比数列 an  的前 n 项和为 S n ,满足 a5  2 S4  3, a6  2 S5  3 ,则此数列的公比 为（ ） A． 2
10
B． 3
1  2
C． 4
D． 5
1 1 4．若 a    ， b    ， c  log 1 10 ，则 a, b, c 大小关系为（ 2 5 5
A. a  b  c B. a  c  b C. c  b  a D. b  a  c
）
5．已知曲线 f  x   lnx 在点 2, f  2  处的切线与直线 ax  y  1  0 垂直，则实数 a 的 值为 ( A. ) B. 2 C. 2 D. 


1 2      6．在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 AC   AE   AF , 其
中 ，   R，则  + = （ A. ） C.
1 2
1 3
B. 2
4 3
D. 1
7．在 ABC 中， a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边， cos 2 （ ） A.正三角形
A 1 b   ，则 ABC 形状为 2 2 2c
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形  8． 将函数 f  x   2cos 2 x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g  x  的图象， 若函数 g  x  6 7   a  在区间 0,  和  2a,  上均单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） 6   3 
B.直角三角形
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           3  A．  ,  B．  ,  C．  ,  D．  ,  3 2 6 2 6 3 4 8    3  9． 当 x  时， 函数 f  x   A sin  x    A  0  取得最小值， 则函数 y  f   x 是 （ 4  4   A．奇函数且图象关于直线 x  对称 B．偶函数且图象关于点   ，0  对称 2     C.奇函数且图象关于点  ，0  对称 D．偶函数且图象关于点  ，0  对称 2  2 
）
10．已知命题
“函数 f ( x )  ax 
1 ln x 在区间 2
上单调递减”；命题
“存
在正数 ( )
，使得
成立”，若
为真命题，则 a 的取值范围是
A.
B.
2
C.
D.
11． 已知 f  x   xsinx  cosx  x ， 则不等式 f  lnx   f  ln
 
1 （   2 f 1 的解集为 x
D.  0,   1, e 
）
A.
 e,  
B.
 0, e 
C.  , e 
1 e
 
 
1 e
12．设函数 f  x  
2 lnx ，关于 x 的方程  f  x   mf  x   1  0 有三个不同的实数解，   x
则实数 m 的取值范围是（ A.  , e  
）
 
1 e
B.  e  ,  
 
1 e
 
C.
 0, e 
D. 1, e 
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知函数
则
__________．
14．函数 f ( x )  x 3  4 x 2  4 x 的极小值是_____________. 15 ．若函数 f  x    ________．
1 3 1 2 x  x  ax  1 恰在  1, 2 上单调递增，则实数 a 的值为 3 2
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16． 已知 y  f  x  是奇函数， 当 x   0, 2  时， f  x   alnx  ax  1 ， 当 x   2, 0  时， 函数 f  x  的最小值为 1，则 a  _________． 三、解答题 17.已知公差大于零的等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ，且满足：a3 a4＝117，a2＋a 5＝22. (1)求数列{ a n }的通项公式 a n ； (2)若数列{ bn }是等差数列，且 bn ＝ ，求非零常数 c.
18.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 2b sin(C＋ (1)求角 B 的大小； (2)若点 M 为 BC 中点，且 AM＝AC，求 sin∠BAC.
 )＝a＋c. 6
19.某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面， 若扇形的半径长为 1 m， 求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
20.在等比数列{ a n }中， a n >0 (n∈N*)，公比 q∈(0,1)，且 a1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又 a3 与 a 5 的等比中项为 2. (1)求数列{ a n }的通项公式； (2)设 bn ＝log2 a n ，数列{ bn }的前 n 项和为 S n ，当 ＋ ＋…＋ 最大时，求 n 的值．
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21.已知函数 f(x)＝lnx－ . (1)若 a>0，试判断 f(x)在定义域内的单调性； (2)若 f(x)在[1，e]上的最小值为 ，求实数 a 的值； (3)若 f(x)<x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数 a 的取值范围．
2
2 t 2 22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 { （ t 为参数） ，在极坐标系 2 y  2 t 2 x  1
（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴） 中，圆 C 的方程为   6sin . （1）求直角坐标下圆 C 的标准方程； （2）若点 P 1, 2  ，设圆 C 与直线 l 交于 A, B ，求 PA  PB 的值.
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1．C 13．1
参考答案 2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A 9．C 10．A 11．C 12．B 14． 0 15． a  2 16．2
17.【答案】解 (1)2sinB(sinC· ＋cosC· )＝sinA＋sinC， 即
∴ ∴
sinBsinC＋sinBcosC＝sinA＋sinC＝sinBcosC＋cosBsinC＋sinC， sinBsinC＝cosBsinC＋sinC， sinB＝cosB＋1，
∴2sin(B－ )＝1，得 B＝ .
(2)方法一 取 CM 中点 D，连接 AD，则 AD⊥CM，则 CD＝x，BD＝3x， 由(1)知 B＝ ，∴AD＝3 由正弦定理知， 方法二 ＝ x，∴AC＝2 x. .
，得 sin∠BAC＝
由(1)知 B＝ ，又 M 为 BC 中点，∴BM＝MC＝ .
在△ABM 和△ABC 中，由余弦定理分别得， AM ＝( ) ＋c －2· ·c·cosB＝ ＋c － ， AC2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，
2 2 2 又 AM＝AC，∴ ＋c － ＝a ＋c －ac， 2 2 2 2
∴c＝ ，∴b＝ a，
由正弦定理知， 得 sin∠BAC＝
＝
，
.
18.【答案】(1)an＝4n－3；(2)c＝－ . 【解析】(1) 设等差数列{an}的公差为 d，且 d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又 a3a4＝117， ∴a3，a4 是方程 x －22x＋117＝0 的两个根．
2
又公差 d>0，∴a3<a4，∴a3＝9，a4＝13.
∴
，∴
，∴an＝4n－3.
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(2) 由(1)知，Sn＝n×1＋
∴bn＝ ∴ b1＝
×4＝2n －n， . ，b3＝ .
2
＝ ，b 2 ＝
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3， ∴2c ＋c＝0，∴c＝－ (c＝0 舍去)．
2
经检验，c＝－ 符合题意，∴c＝－ . 19.【答案】如图，连接 OC,
设∠COB＝θ，则 0°＜θ＜45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ， ∴S 矩形 ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ
＝－sin θ＋sinθcosθ＝－ (1－cos 2θ)＋ sin 2θ ＝ (sin 2θ＋cos 2θ)－ ＝ cos(2θ－45°)－ . 当 2θ－45°＝0，即 θ＝22.5°时，Smax＝
∴割出的长方形桌面的最大面积为
2
(m2)． m2.
20.【答案】(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a ＋2a3a5＋a ＝25，
又 an>0，∴a3＋a5＝5.又 a3 与 a5 的等比中项为 2，
∴a3a5＝4，而 q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1. ∴q＝ ，a1＝16，∴an＝16×
n －1
＝2
5 －n
.
(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以 b1＝4 为首项，－1 为公差的等差数列， ∴Sn＝
，∴ ＝
，
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∴当 n≤8 时， >0；当 n＝9 时， ＝0；当 n>9 时， <0. ∴当 n＝8 或 9 时， ＋ ＋ ＋…＋ 最大．
21.【答案】(1)由题意得 f(x)的定义域是(0，＋∞)，且 f′(x)＝
∵a>0，∴f′(x)>0，
，
故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得 f′(x)＝ ，
①若 a≥－1，则 x＋a≥0，即 f′(x)≥0 在[1，e]上恒成立， 此时 f(x)在[1，e]上递增，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝ ，∴a＝－ (舍)．
②若 a≤－e，则 x＋a≤0，即 f′(x)≤0 在[1，e]上恒成立， 此时 f(x)在[1，e]上递减，
∴f(x)min＝f(e)＝1－ ＝ ，∴a＝－ (舍)．
③若－e<a<－1，令 f′(x)＝0，得 x＝－a， 当 1<x<－a 时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上递减， 当－a<x<e 时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上递增，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln
(－a)＋1＝ ，∴a＝－
.
综上，a＝－
.
(3)∵f(x)<x2，∴lnx－ <x2，又 x>0，∴a>xlnx－x3，
3 2 令 g(x)＝xlnx－x ，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x ，h′(x)＝
，
∵当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上递减， ∴h(x)<h(1)＝－2<0，即 g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上递减， ∴g(x)<g(1)＝－1，∴a≥－1 时，f(x)<x 在(1，＋∞)上恒成立，即 a 的取值范围为(－1，＋∞)．
2
22． （1） x 2   y  3  9 （2） 2 7
2
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。