第五章相交线与平行线单元试卷(提升篇)(Word版 含解析)

第五章相交线与平行线单元试卷（提升篇）（Word版含解析）
一、选择题
1．下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（）
A．平行四边形的两组对边分别平行
B．矩形的对角线相等
C．四边相等的四边形是菱形
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
2．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（）
A．26°B．36°C．46°D．56°
3．如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠B D．∠B +∠BDC=180°4．如图,下列推理所注的理由正确的是( )
∥，∴∠1＝∠2(内错角相等，两直线平行)
A．∵AB CD
∥(内错角相等，两直线平行)
B．∵∠3＝∠4，∴AB CD
∥，∴∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)
C．∵AB CD
∥(内错角相等，两直线平行)
D．∵∠1＝∠2，∴AB CD
5．如图，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是( )
A ．180x y z ++=°
B ．180x y z +-=°
C ．360x y z ++=°
D ．+=x z y
6．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若
100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）
A ．30︒
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
7．给出下列命题：①平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；②平面上任意三点能确定一个圆；③图形经过旋转所得的图形和原图形全等；④三角形的外心到三个顶点的距离相等；⑤经过圆心的直线是圆的对称轴.正确的命题为（ ） A ．①③⑤ B ．②④⑤
C ．③④⑤
D ．①②⑤
8．如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的
度数为
A ．30°
B ．35°
C ．36°
D ．45°
9．在同一平面内，有3条直线a ，b ，c ，其中直线a 与直线b 相交，直线a 与直线c 平行，那么b 与c 的位置关系是（ ） A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．不能确定
10．下列各命题中，属于假命题的是（ ） A ．若0a b -＞，则a b ＞ B ．若0a b -=，则0ab ≥ C ．若0a b -＜，则a b ＜
D ．若0a b -≠，则0ab ≠
11．在下列命题中，为真命题的是（ ） A ．相等的角是对顶角 B ．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C ．同旁内角互补
D ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 12．如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a//b ，若∠1=55°，则∠2等于（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．125°
二、填空题
13．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少40°，则∠α的度数为_______． 14．如图，已知，∠ABG 为锐角，AH ∥BG ，点C 从点B （C 不与B 重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD ∥AB 交直线AH 于点D ，CE ⊥CD 交AB 于点E ，CF ⊥AD ，垂足为F （F 不与A 重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF 的度数为_____度．（用n 来表示）
15．平面内不过同一点的n 条直线两两相交，它们交点个数记作n a ，并且规定10a =，则
2a =__________，1n n a a --=____________．
16．如图①：MA 1∥NA 2，图②：MA11NA 3，图③：MA 1∥NA 4，图④：MA 1∥NA 5，……，
则第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n+1______.（用含n 的代数式表示）
17．如图，现给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠B ＝∠5，③∠3＝∠4，④∠5＝∠D ，⑤∠B+∠BCD ＝180°，其中能够得到AD ∥BC 的条件是______(填序号)；能够得到AB ∥CD 的条件是_______．(填序号)
18．如图，//AB CD ，BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=，则CDB ∠=______．
19．如图，CB ∥OA ，∠B ＝∠A ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOC ＝∠AOC ，OE 平分∠BOF ，若平行移动AC ，当∠OCA 的度数为_____时，可以使∠OEB ＝∠OCA ．
20．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOD=120°，则∠BOD=__________°．
三、解答题
21．已知直线//EF MN ，点,A B 分别为EF ， MN 上的点．
（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，12CAD FAC ∠=∠， 1
2CBD CBN ∠=∠，求CBN ∠与ADB ∠的度数；
（2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 1
3CBD CBN ∠=∠，则ADB =∠_________︒；
（3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=
∠， 1
3
CBD CBN ∠=∠”
改为“FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n ∠=∠， 1
CBD CBN n
∠=∠”，则ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）
22．为了探究n 条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手: ①一条直线把平面分成2部分;
②两条直线可把平面最多分成4部分; ③三条直线可把平面最多分成7部分; ④四条直线可把平面最多分成11部分; ……
把上述探究的结果进行整理,列表分析:
直线条数 把平面最多 分成的部分数 写成和的形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 …
…
…
(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______; (2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分; (3)当直线条数为n 时,把平面最多分成多少部分?
23．如图，A 、B 分别是直线a 和b 上的点，∠1＝∠2，C 、D 在两条直线之间，且∠C ＝∠D ．
（1） 证明：a ∥b ；
（2） 如图，∠EFG=60°，EF 交a 于H ，FG 交b 于I ，HK ∥FG ，若∠4＝2∠3，判断∠5、∠6的数量关系，并说明理由；
（3） 如图∠EFG 是平角的n 分之1（n 为大于1的整数），FE 交a 于H ，FG 交b 于I ．点J 在FG 上，连HJ ．若∠8＝n ∠7，则∠9：∠10＝______ ．
24．(1)如图1，已知任意ABC ∆，过点C 作//DE AB ，求证：
180A B ACB ∠+∠+∠=︒；
(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F ；
(3)如图3，//,119,AB CD CDE GF ∠=︒交DEB ∠的角平分线EF 于点
,150F AGF ∠=︒，求F ∠的度数．
25．如图，已知：点A C 、、B 不在同一条直线，AD BE ．
（1）求证：180B C A ∠+∠-∠=︒．
（2）如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线，试探究C ∠与
AQB ∠的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC
QB ，直线AQ BC 、交于点P ，
QP PB ⊥，请直接写出::DAC ACB CBE ∠∠∠=______________．
26．已知E 、D 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上，C 为平面内一点，DE 、DF 分别是
CDO ∠、CDB ∠的平分线．
（1）如图1，若点C 在OA 上，且//FD AO ，求证：DE AO ⊥；
（2）如图2，若点C 在AOB ∠的内部，且DEO DEC ∠=∠，请猜想DCE ∠、AEC ∠、
CDB ∠之间的数量关系，并证明；
（3）若点C 在AOB ∠的外部，且DEO DEC ∠=∠，请根据图3、图4直接写出结果出DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系．
27．如图1所示，AB ∥CD ，E 为直线CD 下方一点，BF 平分∠ABE ．
（1）求证：∠ABE +∠C ﹣∠E ＝180°．
（2）如图2，EG 平分∠BEC ，过点B 作BH ∥GE ，求∠FBH 与∠C 之间的数量关系． （3）如图3，CN 平分∠ECD ，若BF 的反向延长线和CN 的反向延长线交于点M ，且∠E +∠M ＝130°，请直接写出∠E 的度数． 28．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC 中，60,
30,90BAC B C ∠=∠=︒∠=︒︒，长方形DEFG 中，
DE
GF ．
问题初探：
（1）如图（1），若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上，BC 与DE 相交于点M ，AB DE ⊥于点N ，求EMC ∠的度数． 分析：过点C 作CH GF ∥，则有CH DE ∥，从而得
,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠，从而可以求得EMC ∠的度数．
由分析得，请你直接写出：CAF ∠的度数为____________，EMC ∠的度数为___________． 类比再探：
（2）若将三角板ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写出
CAF ∠与EMC ∠的数量关系，并说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
分别判断该命题的原命题和逆命题后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、平行四边形的两组对边分别平行，成立，逆命题为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，成立，逆命题为对角线相等的四边形是矩形，不成立，符合题意；
C、四边相等的四边形是菱形，成立，逆命题为菱形的四条边相等，成立，不符合题意；
D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，成立，逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形为直角三角形，成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是命题和定理的知识，正确的写出它的逆命题是解题的关键．
2．B
解析：B
【解析】
试题分析：如图，首先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可求∠4=56°，然后借助平角的定义求得∠3=180°-∠2-∠4=36°.
故选B
考点：平行线的性质
3．A
解析：A
【分析】
运用平行线的判定方法进行判定即可.
【详解】
解：选项A中，∠1=∠2，只可以判定AC//BD（内错角相等，两直线平行），所以A错误；
选项B中，∠3=∠4，可以判定AB//CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项C中，∠5=∠B，AB//CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项D中，∠B +∠BDC=180°，可以判定AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正
确；
故答案为A.
【点睛】
本题考查平行的判定,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
4．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质定理和判定定理，即可作出判断．
【详解】
解：A、∵AB∥CD，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）,所以原题错误；
B、∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故选项错误；
C、∠3和∠4不是AB和CD被直线所截形成的角，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【点睛】
本题考查平行线的性质定理和判定定理，正确理解同位角、内错角的定义是关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．
【详解】
解：∵CD∥EF，
∴∠C+∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°-y，
∵AB∥CD，
∴x=z+∠CEF，
∴x=z+180°-y，
∴x+y-z=180°，
故选：B．
6．B
解析：B
【分析】
AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】
解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，
而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，
∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，
在△AEF中，
在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°
故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-
2β=180°，题目难度较大．
7．C
解析：C
【分析】
①垂径定理的逆定理，注意有否有缺少什么；②如果三点共线；③旋转的性质；④三角形的外心的性质；⑤圆的性质.
【详解】
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧，原命题错误；
②三点共线时不能确定一个圆，原命题错误；
③由旋转的性质可知，原命题正确；
④由三角形的外心的性质，原命题正确；
⑤由圆的性质，原命题正确；
本题的答案是：C.
【点睛】
考查垂径定理的逆定理、旋转的性质、三角形的外心的性质、圆的性质.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】
解：如图延长BG交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案选C.
【点睛】
本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
9．B
解析：B
【分析】
根据a∥c，a与b相交，可知c与b相交，如果c与b不相交，则c与b平行，故b与a 平行，与题目中的b与a相交矛盾，从而可以解答本题．
【详解】
解：假设b∥c，
∵a∥c，
∴a∥b，
而已知a与b相交于点O，
故假设b∥c不成立，
故b与c相交，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．10．D
解析：D
【分析】
根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A、正确，符合不等式的性质；
B、正确，符合不等式的性质．
C、正确，符合不等式的性质；
D、错误，例如a=2，b=0；
故选D．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．
11．B
解析：B
【分析】
分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可．
【详解】
解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误；
D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．
12．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.
考点：平行线的性质
二、填空题
13．或
【分析】
由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的3倍少，可得出答案．
【详解】
解：设为x ，则为，
若两角互补，则，解得，；
若两角相等，则，解得，．
故答案
解析：125︒或20︒
【分析】
由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的3倍少40︒，可得出答案．
【详解】
解：设β∠为x ，则α∠为340x -︒，
若两角互补，则340180x x +-︒=︒，解得55x =︒，125α∠=︒；
若两角相等，则340x x =-︒，解得20x =︒，20α∠=︒．
故答案为：125︒或20︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是注意若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用．
14．n 或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A 作AM⊥BC 于M ，如图1，
当点C 在BM 延长线上时，点F 在线段AD 上，
∵
解析：n 或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点M 在线段BC 上；点C 在BM 延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图1，
当点C 在BM 延长线上时，点F 在线段AD 上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
15．【分析】
条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，即，可写出，的解.
【详解】
解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁， 当2条直线相交时，交点
解析：1n -
【分析】
2条直线相交只有一个交点，3条直线相交，交点数是12+，n 条直线相交，交点数是
123(1)n ++++-，即1123(1)(1)2
n a n n n =++++-=-，可写出2a ， 1n n a a --的解.
【详解】
解：求平面内不过同一点的n 条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，
当2条直线相交时，交点数只有一个；
当3条直线相交时，交点数为两条时的数量+第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是12+；
同理，可以推导当n 条直线相交时，交点数是123(1)n ++++-，即
1123(1)(1)2
n a n n n =++++-=-， 212(21)12
a ∴=⨯⨯-=， 111(1)(1)(2)122
n n a a n n n n n -∴-=----=-， 本题的答案为：1，1n -.
【点睛】
本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用.
16．【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2
解析：n 180︒
【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A 1+∠A 2=180∘=1×
180∘， 如图②中,∠A 1+∠A 2+∠A 3=360∘=2×
180∘， 如图③中,∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4=540∘=3×
180∘， …，
第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180︒，
故答案为180n︒.
点睛：平行线的性质.
17．①④②③⑤
【分析】
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【详解】
解：∵①∠1=∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠B=∠5，
解析：①④ ②③⑤
【分析】
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【详解】
解：∵①∠1=∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠B=∠5，
∴AB∥DC；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠5=∠D，
∴AD∥BC；
⑤∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
∴能够得到AD∥BC的条件是①④，能够得到AB∥CD的条件是②③⑤，
故答案为①④，②③⑤．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．
18．30°
【分析】
先由AB//CD得到∠CDB=∠ABD，∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°，依据“平分，”列出方程，求出∠ABD即可解决问题．
【详解】
∵AB//CD
∴∠ABD=x°
解析：30°
【分析】
先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD ，∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°，依据“BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题．
【详解】
∵AB//CD
∴∠ABD=x°，∠ABD ，∠C+∠ABC=180︒,
BD 平分ABC ∠，
∴∠ABD=∠CBD
∵:4:1C DBA ∠∠=，
∴4C DBA ∠=∠
设∠ABD=x°，则∠CBD=x°，∠C=4x°，
∴2x°+4x°=180°,解得，x=30
∴∠ABD=30°，
∴∠CDB=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，求出∠ABD=30°是解此题的关键． 19．60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80
解析：60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80°，
又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.
当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,
解得∠OCA=60°.
【点睛】
本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.
20．30°
【分析】
先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．
【详解】
解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．
∵OA 平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=
解析：30°
【分析】
先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．
【详解】
解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．
∵OA 平分∠EOC ，∴∠AOC=12
∠EOC=30°（角平分线定义）， ∴∠BOD=30°（对顶角相等）．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．
三、解答题
21．（1）120º，120º；（2）160；（3）
()1360n m n -⋅- 【分析】
（1）过点,C D 作CG EF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据
12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，可得 1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出 60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据
ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果； （2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=
∠， 13
CBD CBN ∠=∠求解即可； （3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n
∠=∠， 1CBD CBN n
∠=
∠求解即可； 【详解】
解：（1）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF MN ， ∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒， ∵1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒ ∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，
∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
（2）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒，
∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403
CAD FAC ∠=∠=︒ ∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒，
∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
故答案为：160；
（3）同理（1）的求法
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，
∴ACG FAC m ∠=∠=︒，
∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒，
∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵13602m CBD CBN n n ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n
︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m n N n CB ︒-︒-︒-︒-
︒∠-∠=-=∠︒， 又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n -︒∠=∠-∠=︒-
=︒， ∴()
1n ADH FAD m n -∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n
-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m n n n --∠=∠+∠=
-︒︒-︒︒-+︒． 故答案为：
()1360n m n
-⋅-． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．
22．(1) 16； (2) 56； (3)(1)12n n +⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦部分 【分析】
（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分； （2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n 条时，把平面最多分成
1+1+2+3+…+n ，求和即可．
【详解】
（1）16;1+1+2+3+4+5.
（2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.
（3）当直线条数为n 时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=(1)12n n +⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦部分. 【点睛】
本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，解决此题关键是写出和的形式．
23．（1）见解析；（2）
526∠=∠，见解析；（3）n-1 【分析】
（1）延长AD 交直线b 于点E ，根据平行线的性质与判定即可得证；
（2）由//HK FG 得到3EFG α∠+∠=∠，4FJH ∠=∠，再根据三角形的内角和与对顶角的性质即可求解；
（3）延长EF 交直线b 于点P ，过点J 作//JQ a ，根据平行线的性质及三角形外角的性质
等，得到180107n ︒∠=
-∠，()1918017n n n
-∠=⋅︒--∠，即可得到9:10∠∠的值． 【详解】 （1）如图，延长AD 交直线b 于点E ，
ADC C ∠=∠，
//AD BC ∴，
2AEB ∴∠=∠，
12∠=∠，
1AEB ∴∠=∠，
//a b ∴．
（2）∵//HK FG ，60EFG ∠=︒，
∴360α∠+∠=︒，4FJH ∠=∠，5120FJH ∠+∠=︒，
∵423∠=∠，
∴523120∠+∠=︒，即()5260120α∠+-∠=︒，
∴52α∠=∠，
∵6α∠=∠，
∴526∠=∠．
（3）如图，延长EF 交直线b 于点P ，过点J 作//JQ a ，
则10FPI ∠=∠，8180HJQ ∠+∠=︒，7QJI FIP ∠=∠=∠，
∵EFG FPI FIP ∠=∠+∠，9HJI EFG ∠=∠+∠， ∴1801077EFG n
︒∠=∠-∠=-∠， ()1918017n HJI EFG n n -∠=∠-∠=
⋅︒--∠， ∴9:101n ∠∠=-，
故答案为：1n -．
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线．
24．（1）见详解；（2）见详解；（3）29.5°．
【分析】
（1）根据平行线的性即可A ACD ∠=∠，B BCE ∠=∠，再根据平角的定义进行等量代换即可证明；
（2）因为根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到119DEB ∠=︒，61AED ∠=︒，由角平分线的性质得到59.5DEF ∠=︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图1所示，在ABC ∆中，//DE AB ，
A ACD ∴∠=∠，
B BCE ∠=∠．
180ACD BCA BCE ∠+∠+∠=︒，
180A B ACB ∴∠+∠+∠=︒．
即三角形的内角和为180︒；
（2）180AGF FGE ∠+∠=︒，
由（1）知，180GEF F FGE ∠+∠+∠=︒，
AGF AEF F ∴∠=∠+∠；
（3）//AB CD ，119CDE ∠=︒，
119DEB CDE ∴∠=∠=︒，18061AED CDE ∠=︒-∠=︒，
∵EF 平分DEB ∠，
59.5DEF ∴∠=︒，
120.5AEF AED FED ∴∠=∠+∠=︒，
150AGF ∠=︒，AGF AEF F ∠=∠+∠，
150120.529.5F ∴∠=︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的证明与应用，三角形外角定理证明与应用，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．
25．（1）见详解；（2）2180C AQB ∠+∠=︒；（3）1:2:2
【分析】
（1）过点C 作CF AD ，则//BE CF ，再利用平行线的性质求解即可； （2）过点Q 作QM AD ，则//BE QM ，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出1()2
AQE CBE CAD ∠=∠-∠，再结合（1）的结论即可得出答案； （3）由（2）的结论可得出12
CAD CBE ∠=∠，又因为QP PB ⊥，因此180CBE CAD ∠+∠=︒，联立即可求出两角的度数，再结合（1）的结论可得出ACB ∠的度数，再求答案即可．
【详解】
解：（1）过点C 作CF AD ，则//BE CF ，
∵//CF AD BE
∴,180,ACF A BCF B ACF BCF C ∠=∠∠=︒-∠∠+∠=∠
∴180180180B C A BCF C ACF C C ∠+∠-∠=︒-∠+∠-∠=-∠+∠=︒
（2）过点Q 作QM AD ，则//BE QM ，
∵QM AD ，//BE QM
∴,AQM NAD BQM EBQ ∠=∠∠=∠
∵AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线 ∴11,22
NAD CAD EBQ CBE ∠=∠∠=∠ ∴1()2
ABQ BQM AQM CBE CAD ∠=∠-∠=
∠-∠ ∵180()1802C CBE AD AQB ∠=︒-∠-∠=︒-∠ ∴2180C AQB ∠+∠=︒
（3）∵//AC QB ∴11,22
AQB CAP CAD ACP PBQ CBE ∠=∠=∠∠=∠=∠ ∴11801802ACB ACP CBE ∠=︒-∠=︒-
∠ ∵2180C AQB ∠+∠=︒ ∴12
CAD CBE ∠=∠ ∵QP PB ⊥
∴180CBE CAD ∠+∠=︒
∴60,120CAD CBE ∠=︒∠=︒ ∴11801202
ACB CBE ∠=︒-∠=︒ ∴::60:120:1201:2:2DAC ACB CBE ∠∠∠=︒︒︒=．
故答案为：1:2:2．
【点睛】
本题考查的知识点有平行线的性质、角平分线的性质．解此题的关键是作出合适的辅助线，找准角与角之间的关系．
26．（1）证明见解析；（2）∠CDB +∠AEC ＝2∠DCE ；（3）图3中∠CDB ＝
∠AEC +2∠DCE ，图4中∠AEC ＝∠CDB +2∠DCE ．
【分析】
（1）依据DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，可得∠CDF＝1
2
∠CDB，∠CDE＝
1 2∠CDO，进而得出∠EDF＝
1
2
（∠CDB+∠CDO）＝90°，再根据平行线的性质，即可得
到∠AED＝90°，即DE⊥AO；
（2）连接OC，依据∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，可得∠DOE＝∠DCE，再根据三角形外角性质，即可得到∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；
（3）如图3中，依据∠CDB是△ODG的外角，可得∠CDB＝∠DOG+∠DGO，依据∠DGO 是△CEG的外角，可得∠DGO＝∠AEC+∠C，进而得到∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝
∠AEC+2∠DCE；如图4中，同理可得∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．
【详解】
解：（1）如图1，∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，
∴∠CDF＝1
2
∠CDB，∠CDE＝
1
2
∠CDO，
∴∠EDF＝1
2
（∠CDB+∠CDO）＝90°，
又∵DF∥AO，
∴∠AED＝90°，
∴DE⊥AO；
（2）如图2，连接OC，
∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△COD的外角，∠AEC是△COE的外角，
∴∠CDB＝∠COD+∠OCD，∠AEC＝∠EOC+∠ECO，
∴∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；
（3）图3中，∠CDB＝∠AEC+2∠DCE；图4中，∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．理由：如图3，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△ODG的外角，
∴∠CDB＝∠DOG+∠DGO，
∵∠DGO是△CEG的外角，
∴∠DGO＝∠AEC+∠C，
∴∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝∠AEC+2∠DCE；
如图4，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠AEC是△OEH的外角，
∴∠AEC＝∠DOE+∠OHE，
∵∠OHE是△CDH的外角，
∴∠OHE ＝∠CDB +∠C ，
∴∠AEC ＝∠DOE +∠CDB +∠C ＝∠CDB +2∠DCE ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的综合运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
27．（1）见解析；（2）2∠FBH +∠C ＝180°；（3）80°
【分析】
（1）过点E 作//EK AB ，由平行线的性质得出,180ABE BEK CEK C ∠=∠∠+∠=︒，进而得出答案；
（2）设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质得出
,HBE BEG FBH FBE HBE βαβ∠=∠=∠=∠-∠=-，由（1）知
180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒，即可得出答案；
（3）设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=，由（1）知2()180E x y ∠=+-︒，过M 作////PQ AB CD ，由平行线的性质得出
,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=，求出130E FMN x y ∠+∠=+=︒，即可得出答案．
【详解】
（1）如图1，过点E 作//EK AB
∴ABE BEK ∠=∠
∵//AB CD
∴//EK CD
∴180CEK C ∠+∠=︒
∴180ABE C E BEC CEK C BEC CEK C ∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒； （2）∵BF 、EG 分别平分ABE ∠、BEC ∠
∴,ABF EBF BEG CEG ∠=∠∠=∠
设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=
∵//BH EG
∴HBE BEG β∠=∠=
∴FBH FBE HBE αβ∠=∠-∠=-
由（1）知，180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒
即222()180C C αβαβ+∠-=-+∠=︒
∴2180FBH C ∠+∠=︒；
（3）∵CN 、BF 分别平分ECD ∠、ABE ∠
∴,ABF EBF ECN DCN ∠=∠∠=∠
设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=
由（1）知：180ABE C E ∠+∠-∠=︒
即2()180E x y ∠=+-︒
如图3，过M 作////PQ AB CD
则,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=
∴180180()FMN PMF QMN x y ∠=︒-∠-∠=︒-+
130E FMN ∠+∠=︒
∴2()180180()130x y x y +-︒+︒-+=︒
130x y ∴+=︒
∴2()180213018080E x y ∠=+-︒=⨯︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
28．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析
【分析】
（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC 求出∠CAF 度数，求∠EMC 度数转化到∠MCH 度数； （2）过点C 作CH ∥GF ，得到CH ∥DE ，∠CAF 与∠EMC 转化到∠ACH 和∠MCH 中，从而发现∠CAF 、∠EMC 与∠ACB 的数量关系．
【详解】
（1）过点C 作CH ∥GF ，则有CH ∥DE ，
所以∠CAF=∠HCA ，∠EMC=∠MCH ，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案为30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
过点C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH．
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE．
∴∠EMC=∠HCM．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．
【点睛】
考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．。