2020-2021学年广东省湛江市爱周中学高一数学理下学期期末试题含解析

2020-2021学年广东省湛江市爱周中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若G是△ABC的重心，a，，bc分别是角A，B，C的对边，，则角C= （）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
参考答案：
C
【分析】
是的重心，可得，由，可得
，不妨取，可得．再利用余弦定理即可求解．
【详解】解：∵是的重心，∴，
∵，
∴，
不妨取，可得．
∴，
为的内角，则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2. 如右下图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）
（A）（B）
（C）（D）参考答案：
B
略
3. 已知α为钝角，β为锐角，且sinα=，sinβ=，则的值为
A．—7 B．7 C． D．
参考答案：
D
略
4. 函数f（x）=lnx+x﹣4的零点在区间（k，k+1）内，则整数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数零点的判定定理可得函数在区间（2，3）上存在零点，结合所给的条件可得k的值．
【解答】解：由函数的解析式可得函数在（0，+∞）上是增函数，
且f（2）=ln2+2﹣4＜0，f（3）=ln3+3﹣4＞0，
故有f（2）f（3）＜0，
根据函数零点的判定定理可得函数在区间（2，3）上存在零点．
结合所给的条件可得，故k=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，考查运算能力，属于基础题．
5. 设f（x）=，则f=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
参考答案：
B
【考点】函数的值．
【分析】利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】解：f（x）=，
f=f=log24=2．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，考查计算能力．
6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
，
.
7. 已知函数，则( )
A.30
B.6
C.9
D.20参考答案：
D
考点：函数值
8. 已知点是圆的弦的中点，则直线的方程是（）A． B．
C. D．
参考答案：
C 9. 已知m，n为异面直线，直线，则l与n（）
A. 一定异面
B. 一定相交
C. 不可能相交
D. 不可能平行
参考答案：
D
【分析】
先假设与平行，从而推出矛盾，再将，放置在正方体中用特例进行逐一判断.
【详解】解：若，
因为直线，
则可以得到，
这与，为异面直线矛盾，
故与不可能平行，选项D正确，
不妨设为正方体中的棱，即为棱，为棱，
由图可知，而此时与相交，
故选项A错误，选项C也错误，
当取时，与异面，
故选项B错误，
故选D.
【点睛】本题考查了空间中两条直线的位置关系，解题时要善于运用熟悉的几何体来进行验证.
10. 下列说法不正确的是（）
A. 四边相等的四边形是菱形；
B．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
C. 两两相交的且不共点的三条直线确定一个平面；
D. 两组对边平行的四边形是平行四边形
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，对于下列命题：
①若，则；②若，则；
③，则；④．
其中正确的命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．
参考答案： ①② 略
12. 设变量x ，y 满足约束条件则目标函数
的最大值
为。

参考答案：
3
变量满足约束条件的可行域如图：
目标函数经过可行域的A 点时，目标函数取得最大值，
由可得A （0,3），所以目标函数
的最大值为：3.
13. 对于任意实数，直线与圆
的位置关系是
__________________________．
参考答案：
相切或相交
试题分析：圆的方程化为标准式为：
圆心到直线的距离
所以直线与圆相切或相交 ． 考点：圆与直线的位置关系 . 14. 已知函数
，点
为曲线
在点
处的切线上的 一点，点
在曲线上，则的最小值为____________．
参考答案：
考点：导数的几何意义及数形结合思想的综合运用．
【易错点晴】本题设置了一道以两函数的解析式为背景,其的目的意在考查方程思想与数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的图像信息,先运用赋值法求出
,进而求出
,然后将问题等价转化为与直线
平行且
曲线
相切的切点到直线
的距离即为所求两个函数
与
的图像的
交点的个数问题.解答时先求得,故切线斜率,解得,也即,该点到直
线的距离为
,从而获得答案.
15. 已知
，则
= ;
= ．
参考答案：
﹣；
【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角差的余弦公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵已知，∴x+为钝角，
则=sin=cos（x+）=﹣=﹣．
∴sin（2x+）=2sin（x+）cos（x+）=2××（﹣）=﹣，
cos（2x+）=2﹣1=2×﹣1=，
∴=cos=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin
=+（﹣）×=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
16. 已知数列前项和，则数列通项公式为_________.
参考答案：
略
17. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，两条对角线AC与BD的长度分别是5和4，两条对角线所成的锐角是60°，则________．参考答案：
【分析】
，又，化简求出，的值，再代回去求解的值即可。

【详解】
又
则
．
【点睛】此题考查向量的运算，一般通过两个方面表示同一个向量求解未知数，属于一般性题目。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列中，．
（1）若，求；
（2）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式．
参考答案：
解：（1）由，知为等差数列，公差为
所以------------------------------------------------4分（2）若数列为等差数列，由
得所以
则-----------------------------------------------------4分
略
19. 对于函数f（x）=a﹣（a∈R，a＞0，且a≠1）．
（1）先判断函数y=f（x）的单调性，再证明之；
（2）实数a=1时，证明函数y=f（x）为奇函数；
（3）求使f（x）=m，（x∈[0，1]）有解的实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）容易判断f（x）在R上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜
x2，然后作差，通分，证明f（x1）＜f（x2）便可得出f（x）在R上为增函数；
（2）a=1时，通分得到f（x）=，可以得出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）为奇函数；（3）根据（1）f（x）在R上单调递增，从而可以求出f（x）在[0，1]上的值域，从而便可得到m的取值范围．
【解答】解：（1）x增大时，2x增大，∴f（x）增大，∴函数f（x）在定义域R上为增函数，证明如下：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：
=；
∵x1＜x2；
＜，；
又＞0，＞0；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在R上是增函数；
（2）证明：当a=1时，f（x）=1﹣=；f（﹣x）===﹣f（x）；
∴a=1时f（x）为奇函数；
（3）由（1）知，f（x）在R上为增函数；
∵x∈[0，1]；
∴f（0）≤f（x）≤f（1）；
即；
∴；
∴实数m的取值范围为．
【点评】考查指数函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义判断和证明一个函数为增函数的方法和过程，以及奇函数的定义，根据增函数的定义求函数的值域．
20. 已知，求sinα﹣cosα的值．
参考答案：
【分析】
利用同角三角函数基本关系结合二倍角公式求解即可
【详解】解：∵，
∴sinα﹣cosα＞0，
∴sinα﹣cosα
．
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，二倍角公式，三角函数符号的判断，是基础题
21. 已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x﹣2y﹣1=0，AC边上的高
BH
所在直线的方程为y=0．
（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；
（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系；与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】（1）由AC边上的高BH所在直线的方程为y=0即x轴，得到AC边所在直线的方程为x=0即y轴，把x=0与2x﹣2y﹣1=0联立即可求出C的坐标，因为点B在x轴上，可设B的坐标为（b，0）利用中点坐标公式求出AB的中点D的坐标，把D的坐标代入到中线CD的方程中即可求出b的值，得到B的坐标；
（2）根据A和B的坐标求出线段AB的垂直平分线方程，根据B和P的坐标求出线段BP的垂直平分线方程，设出圆心M的坐标，代入AB垂直平分线方程得到①，然后根据斜率为1的方程与圆相切，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到直线MP的斜率为﹣1，根据M和P的坐标表示出直线MP的斜率让其等于﹣1得到②，联立①②即可求出圆心M的坐标，然后利用两点间的距离公式求出线段MA的长度即为圆的半径，根据所求的圆心M和半径写出圆的方程即可．
【解答】解：（1）AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，所以直线AC的方程为：x=0，
又直线CD的方程为：2x﹣2y﹣1=0，联立得解得，所以，
设B（b，0），则AB的中点，代入方程2x﹣2y﹣1=0，解得b=2，所以B（2，0）；
（2）由A（0，1），B（2，0）可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x﹣2y﹣3=0，
注意到BP也是圆M的弦，所以，圆心在直线上，
设圆心M坐标为，
因为圆心M在直线4x﹣2y﹣3=0上，所以2m﹣2n+1=0①，
又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以k MP=﹣1，
即，整理得m﹣2n﹣2=0②，
由①②解得m=﹣3，，
所以，圆心，半径，则所求圆方程为+=，化简得x2+y2+x+5y﹣6=0．
22. 已知向量，，，点为直线上一动点.（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当取最小值时，求的坐标.
参考答案：
（2）。