广东省湛江市收获中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析

广东省湛江市收获中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如右图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是()
A．0 B．1 C．2
D．3
参考答案：
D
2. 函数f（x）=log2的图象( )
A．关于原点对称B．关于直线y=﹣x对称
C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称
参考答案：
A
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先根据函数的奇偶性的定义判断函数f（x）为奇函数，再根据奇函数的性质可得函数f （x）的图象关于原点对称．
【解答】解：∵函数f（x）=log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．再根据 f（﹣x）=log=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，故函数的图象关于原点对称，故选：A．
【点评】本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，属于基础题．3. （5分）函数的定义域是（）
A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞）
C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）
参考答案：
C
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．
解答：要使函数有意义需，
解得x＞﹣1且x≠1．
∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．
故选C．
点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．
4. 要使g（x）=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）
A．t≤﹣1 B．t＜﹣1 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3
参考答案：
C
【考点】指数函数的图象变换．
【分析】函数g（x）=3x+1+t是由指数函数y=3x平移而来的，根据条件作出其图象，由图象来解．【解答】解：指数函数y=3x过定点（0，1），
函数g（x）=3x+1+t过定点（0，3+t）且为增函数，要使g（x）=3x+1+t的图象不经过第二象限，
只须函数g（x）=3x+1+t与y轴的交点的纵坐标小于等于0即可，
如图所示，
即图象不过第二象限，则3+t≤0
∴t≤﹣3，
则t的取值范围为：t≤﹣3．
故选C．
5. （4分）若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（）
A．平行B．异面C．相交D．平行或异面
参考答案：
D
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面．
解答：解：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面，
故选：D．
点评：熟练掌握空间直线平面之间位置关系的判定、性质、定义是解答本题的关键．
6. 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下面四个命题：①OM∥面PCD；②OM∥面PBC；③OM∥面PDA；④OM∥面PBA．其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在①中，由OM∥PD，得到OM∥面PCD；在②中，OM∩平面PBC=M；在③中，由OM∥PD，得OM∥面PCD；在④中，OM∩平面PBA=M．
【解答】解：由P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，知：
在①中，∵矩形ABCD中，O是BD中点，M为PB的中点，
∴OM∥PD，又OM?平面PCD，PD?平面PCD，∴OM∥面PCD，故①正确；
在②中，∵OM∩平面PBC=M，∴OM∥面PBC不成立，故②错误；
在③中，∵矩形ABCD中，O是BD中点，M为PB的中点，
∴OM∥PD，又OM?平面PDA，PD?平面PDA，∴OM∥面PCD，故③正确；
在④中，∵OM∩平面PBA=M，∴OM∥面PBA不成立，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7. 不等式的解集是，则的值等于（）
A、－14
B、－10
C、14
D、10
参考答案：
B
略
8. 若集合
A B C D
参考答案：
C
9. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数
大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为
A． B．C． D．
参考答案：
C
略
10. 已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y＝2sin(ωx＋)(，)的部分图象如图所示，则ω和的值
分别是__________．
参考答案：12. 将正偶数按如图所示的规律排列：
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为_________.
参考答案：
13. 数列{a n}中，若，则该数列的通项a n
=
．
参考答案：
14. 在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为米，则旗杆的高度为__________米．
参考答案：
30
【分析】
根据示意图，根据题意可求得∠NBA和∠BAN，则∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN＝AN?sin∠NAM求得答案．
【详解】解：如图所示，依题意可知∠NBA＝45°，
∠BAN＝180°﹣60°﹣15°＝105°
∴∠BNA＝180°﹣45°﹣105°＝30°
由正弦定理可知
∴AN＝＝20米
∴在Rt△AMN中，
MN＝AN?sin∠NAM＝20 ×＝30米
所以：旗杆的高度为30米
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理解三角形.此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．
15. 执行如下图所示的程序框图，若输入的m=1734,n=816,则输出的m的值
为参考答案：
102
16. 函数f（x）=log2?log（2x
）的最小值为
．
参考答案：
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；换底公式的应用．
【分析】利用对数的运算性质可得f （x ）=，即可求得f（x）最小值．
【解答】解：∵f（x）=log 2?log（2x）
∴f（x）=log（）?log（2x）
=log x?log（2x）
=log x（log x+log2）
=log x（log x+2）
=，
∴当log x+1=0
即x=时，函数f（x）的最小值是．
故答案为：﹣
17. 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为．
参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：，在坐标系中画出图象，
三条线的交点分别是A（﹣1，﹣1），B（，），
C（2，﹣1），
在△ABC中满足z=2x+y的最大值是点C，代入得最大值等于3．
故答案为：3．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分9分）已知集合，．
(Ⅰ)若，求()；
(Ⅱ)若，求实数的取值范围．
参考答案：
( 本小题满分9分）(1) 因为a＝3，所以N＝{x|4≤x≤7}，?R N＝{x|x＜4或x＞7}．
又M＝{x|－2≤x≤5}，所以
M∩ (?R N)＝{x|x＜4或x＞7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}． -----------------(4分)
(2)若M≠，由，得N?M，所以
.解得0≤a≤2； - ks5u ----- (7分)
当M＝，即2a＋1＜a＋1时，a＜0，此时有N?M，
所以a＜0为所求．
综上，实数a的取值范围是(－∞，2]． ------------ (9分)
略
19. （本小题满分14分）
已知函数的一部分图象如下图所示，如果，
（1）求函数的解析式。

（2）记, 求函数的定义域。

（3）若对任意的,不等式恒成立，求实数的取值范围。

参考答案：
解：（1）由图像可知，，，，
，，，………………4分
（2）由（1）知，要使函数有意义，
有，故，即…………ks5u………6分
，解得.………………7分函数的定义域为.…………………8分
（3）对，有，，…10分
，即………ks5u……12分
若对恒成立，即的最小值大于.…………13分故，即.……………………14分
20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，tanC=．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求△ABC面积S的取值范围．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的求值；解三角形．
【分析】（1）先将tanC写成，再展开化为sin（C﹣A）=sin（B﹣C），从而求得A+B；（2）先用正弦定理，再用面积公式，结合A﹣B的范围，求面积的范围．
【解答】解：（1）∵tanC=，∴=，
即sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
所以，sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，
因此，sin（C﹣A）=sin（B﹣C），
所以，C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立），
即2C=A+B，故C=；（2）根据正弦定理，外接圆直径2R====1，
所以，a=2RsinA=sinA，b=2RsinB=sinB，
而S△ABC=absinC=sinAsinB
=[cos（A﹣B）﹣cos（A+B）]
=[cos（A﹣B）+]，
其中，A+B=，所以，A﹣B∈（﹣，），
因此，cos（A﹣B）∈（﹣，1]，
所以，S△ABC=∈（0，]，
故△ABC面积S的取值范围为：．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，涉及同角三角函数基本关系式，两角和差的正弦公式，以及运用正弦定理解三角形和面积的求解，属于中档题．
21. (本小题满分12分)
如图，在平行四边形中，边所在直线的方程为，点. （Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求边上的高所在直线的方程.
参考答案：
解：（Ⅰ）∵四边形是平行四边形
∴ K CD= K AB = 2
∴直线CD的方程是： -------------------------6分
（Ⅱ）
----------------12分
22. 在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组。

已知第三小组的频数是15。

（1）求成绩在50—70分的频率是多少；
（2）求这三个年级参赛学生的总人数是多少；
（3）求成绩在80—100分的学生人数是多少；
参考答案：
解： (1)成绩在50—70分的频率为：0.03*10+0.04*10=0.7 ----4分
(2)第三小组的频率为：0.015*10=0.15 -------------6分
这三个年级参赛学生的总人数(总数=频数/频率)为：15/0.15=100(人)
----------------------------8分
(3)成绩在80—100分的频率为：0.01*10+0.005*10=0.15
---------------------------10分
则成绩在80—100分的人数为：100*0.15=15（人）
-------------------------12分。