沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
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不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ;
• 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立, 假设存在 M 0 G, 使
P Q R x y z
M 0
0
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
U (M0 ) G, 使在U (M 0 )上, P Q R 0 x y z
设U (M 0 )的边界为 取外侧, 则由 高斯公式 得
P d y d z Q d z d x R d x d y
U (M0)
P Q R x y z
d xd yd z
0
与①矛盾, 故假设不真.ห้องสมุดไป่ตู้因此条件②是必要的.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ;
• 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立, 假设存在 M 0 G, 使
P Q R x y z
M 0
0
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
U (M0 ) G, 使在U (M 0 )上, P Q R 0 x y z
设U (M 0 )的边界为 取外侧, 则由 高斯公式 得
P d y d z Q d z d x R d x d y
U (M0)
P Q R x y z
d xd yd z
0
与①矛盾, 故假设不真.ห้องสมุดไป่ตู้因此条件②是必要的.