2015-2016年陕西省西安八十三中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2015-2016学年陕西省西安八十三中高三（上）期中数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）
2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A．y=B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）
3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176
4．（5分）下列命题中正确的是（）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”
5．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
6．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））（）A．B．C．D．
7．（5分）一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则F3的大小为（）
A．1 B．2 C．2 D．
8．（5分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）
行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V
甲和V
乙
（如图所示）．那么对于图中给定
的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）
A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面
9．（5分）将函数y=cos（x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．x=π
10．（5分）定义行列式运算：=a1a4﹣a2a3，将函数f（x）=（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（）
A．B．1 C．D．2
11．（5分）已知函数f（x）=，则方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数（）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（5分）下列命题：①已知A、B、C是三角形ABC的内角，则A=B是sinA=sinB
的充要条件；②设，为向量，如果|+|=|﹣|，则；③设，为向
量，则“”是“∥”的充分不必要条件；④设，为向量，“=2”
是“与共线”的充要条件，正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应
位置．
13．（5分）设tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．
14．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）dx=．15．（5分）已知矩形ABCD的边AB长为2，边AD长为，点E是AB边上的动
点，则•的最大值为．
16．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令，则a1+a2+…+a2015的值为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）若向量，．
（1）若且，求θ的值；
（2）若θ∈[0，π]，求的最大值．
18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n+2log2b n=﹣1．
（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{a n•b n}的前n项和T n＜3．
19．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=，求的值．
20．（12分）已知函数f（x）=2cos[ω（x+φ）]（ω＞0，0＜φ＜π）．
（1）若函数f（x）图象过点（0，﹣2）且图象上两个对称中心A（x1，0）与B （x2，0）间最短距离为，求函数f（x）解析式；
（2）若，函数f（x）在[﹣]上单调递减，求ω的取值范围．
21．（14分）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）（a是常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）求证：当n≥2，n∈N*时，（1+）（1+）…（1+）＜e．
请考生从22、23、24题中任选一题作答.多答按所答的首题进行评分.[选修4-1：几何问题选讲]
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上的一点，且AB=10，CD=8，3DE=4OM，过F点作⊙O的切线EF，BF 交CD于G
（Ⅰ）求EG的长；
（Ⅱ）连接FD，判断FD与AB是否平行，为什么？
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为、，曲线C的参数方程为为参数）．
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m
（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．
2015-2016学年陕西省西安八十三中高三（上）期中数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）
【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，
∴M∩N={x|1＜x＜2}，
故选：A．
2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A．y=B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）
【解答】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，
由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，
故选：A．
3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176
【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，
∴a1+a11=a4+a8=16，
∴S11==88，
故选：B．
4．（5分）下列命题中正确的是（）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”
【解答】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；
命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；
“”⇒“+2kπ，或，k∈Z”，
“”⇒“”，
故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；
命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D正确．
故选：D．
5．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：∵，．
∴=（2λ+3，3），．
∵，
∴=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选：B．
6．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（）==﹣2，
f（f（））=f（﹣2）=．
故选：B．
7．（5分）一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则F3的大小为（）
A．1 B．2 C．2 D．
【解答】解：∵一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态，
∴++=，
∴=﹣（+），
∵|+|=
==，
故||=|+|=，
故选：D．
8．（5分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）
行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V
甲和V
乙
（如图所示）．那么对于图中给定
的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）
A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面
dt=a+c，乙【解答】解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v
甲
dt=c；
走过的路程=v
乙
当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v
dt=a+c+d，而乙走过的路
甲
程=v
dt=c+d+b；
乙
从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A 正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．
故选：A．
9．（5分）将函数y=cos（x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．x=π
【解答】解：函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为：，再向左平移个单位得到函数为：
=，所得函数的图象的一条对称轴为：．故选：C．
10．（5分）定义行列式运算：=a1a4﹣a2a3，将函数f（x）=（ω
＞0）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（）
A．B．1 C．D．2
【解答】解：由题意知，f（x）=cosωx﹣sinωx=2cos（ωx+），
将函数f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数：
y=2cos（ωx+ω+）为偶函数，
∴ω+=kπ，k∈Z，
ω=k﹣，k∈Z，
∵ω＞0，
∴ωmin=1．
故选：B．
11．（5分）已知函数f（x）=，则方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：方程f2（x）﹣f（x）=0可解出f（x）=0或f（x）=1，
方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数即两个函数f（x）=0或f（x）=1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y=0，y=1的图象与函数
f（x）的图象的交点个数相同，
如图，由图象，y=1的图象与函数f（x）的图象的交点个数有四个，y=0的图象与函数f（x）的图象的交点个数有三个，
故方程f2（x）﹣f（x）=0有七个解，
故选：C．
12．（5分）下列命题：①已知A、B、C是三角形ABC的内角，则A=B是sinA=sinB
的充要条件；②设，为向量，如果|+|=|﹣|，则；③设，为向
量，则“”是“∥”的充分不必要条件；④设，为向量，“=2”
是“与共线”的充要条件，正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解答】解：对于①若A=B，显然sinA=sinB，
若sinA=sinB，则A=B+2kπ或A+B=π+2kπ，
∵0＜A，B＜π，0＜A+B＜π，
∴A=B．
∴A=B是sinA=sinB的充要条件，故①正确．
对于②，若|+|=|﹣|，则=，
∴，即．故②正确．
对于③，设的夹角为θ，
若，则cosθ=±1，
∴θ=0或θ=π，
∴．
若，则θ=0或θ=π，
∴|cosθ|=1，
∴．
∴“”是“∥”的充分必要条件，故③错误．
对于④，若与共线，则，
显然“=2”不是“与共线“的必要条件，故④错误．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13．（5分）设tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．
【解答】解：tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=
==．
故答案为：
14．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）dx=+．
【解答】解：f（x）dx=dx+（x+1）dx，
由于dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，故
dx=，
（x+1）dx=（+x）|=﹣（﹣1）=，
∴f（x）dx=dx+（x+1）dx=+，
故答案为：+．
15．（5分）已知矩形ABCD的边AB长为2，边AD长为，点E是AB边上的动
点，则•的最大值为4．
【解答】解：如图，
分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵AB=2，AD=，
∴D（0，），C（2，），
设E（x，0）（0≤x≤2），
∴，，
则=2x，
则当x=2时，•有最大值为4．
故答案为：4．
16．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐
标为x n，令，则a1+a2+…+a2015的值为．
【解答】解：函数的导数f′（x）=（n+1）x n，
则函数在（1，1）处的切线斜率k=f′（1）=n+1，
在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），
不妨设y=0，，
则===﹣，
则a1+a2+…+a2015=1﹣﹣=1﹣=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）若向量，．
（1）若且，求θ的值；
（2）若θ∈[0，π]，求的最大值．
【解答】解：（1）由，得，
即：，∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴=
=
=，
∵θ∈[0，π]，
∴，
∴当，即时，，
故的最大值为4．
18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n+2log2b n=﹣1．
（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{a n•b n}的前n项和T n＜3．
【解答】（Ⅰ）解：设d为等差数列{a n}的公差，且d＞0，
∵a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，且分别加上1，1，3成等比数列，
∴（2+d）2=2（4+2d），即d2=4，
解得：d=2或d=﹣2（舍），
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
又因为a n=﹣1﹣2log2b n，所以log2b n=﹣n，即b n=；
（Ⅱ）证明：由（I）可知a n•b n=（2n﹣1）•，
则，①
，②
①﹣②，得：T n=+++…+﹣（2n﹣1）•，
∴T n=1+1+++…+﹣（2n﹣1）•，
∴．
19．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a﹣2bsinA=0，
∴sinA﹣2sinBsinA=0，…（2分）
∵sinA≠0，∴sinB=，…（3分）
又B为锐角，则B=；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=，又b=，
根据余弦定理，得b2=7=a2+c2﹣2accos，…（7分）
整理得：（a+c）2﹣3ac=7，
∵a+c=5，∴ac=6，
又a＞c，可得a=3，c=2，…（9分）
∴cosA===，…（11分）
则=||•||cosA=cbcosA=2××=1．…（13分）
20．（12分）已知函数f（x）=2cos[ω（x+φ）]（ω＞0，0＜φ＜π）．
（1）若函数f（x）图象过点（0，﹣2）且图象上两个对称中心A（x1，0）与B （x2，0）间最短距离为，求函数f（x）解析式；
（2）若，函数f（x）在[﹣]上单调递减，求ω的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）图象上两个对称中心A（x1，0）与B（x2，0）间最短距离为，
∴函数f（x）的周期T=π，∴ω==2，
又f（0）=2cos2φ=﹣2，即cos2φ=﹣1，
∵0＜φ＜π，∴0＜2φ＜2π，∴2φ=π，∴φ=，
∴f（x）=2cos[2（x+）]=﹣2sin2x；
（2）∵x∈[﹣]，∴x+∈[，]，
∵ω＞0，函数f（x）在[﹣]上单调递减，
∴根据题意有≥2kπ且≤2kπ+π，
解得12k≤ω≤，k∈Z
结合题意可得k=0时，0＜ω≤．
21．（14分）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）（a是常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）求证：当n≥2，n∈N*时，（1+）（1+）…（1+）＜e．
【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣ln（x+a），定义域为{x|x＞﹣a}．
=．
当a≥1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增；
当a＜1时，令f′（x）＞0，解得x＞1﹣a，此时函数f（x）在（1﹣a，+∞）上单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣a＜x＜1﹣a，此时函数f（x）在（﹣a，1﹣a）上单调递减．
（2）∵函数y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=0．
关于x的方程f（x）+2x=x2+b化为x2﹣3x+lnx+b=0．
令g（x）=x2﹣3x+lnx+b，（x∈[，2]）．
==，
令g′（x）=0，解得x=或1．令g′（x）＞0，解得1＜x≤2，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＜1，此时函数g（x）单调递减．
∵关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，
则，解得．
∴实数b的取值范围是；
（3）由（1）可知：a=1，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
∴当x≥0时，x＞ln（1+x）．
令x=（n∈N*）．
则．
依次取n=2，3，…，n．
累加求和可得：++…+＜…+．
当n≥2时，=，
依次取n=2，3，…，n．则+…+＜+…+=．∴++…+＜1﹣＜1．
∴（1+）（1+）…（1+）＜e．
请考生从22、23、24题中任选一题作答.多答按所答的首题进行评分.[选修4-1：几何问题选讲]
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上的一点，且AB=10，CD=8，3DE=4OM，过F点作⊙O的切线EF，BF 交CD于G
（Ⅰ）求EG的长；
（Ⅱ）连接FD，判断FD与AB是否平行，为什么？
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣1：几何问题选讲
解：（Ⅰ）连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，因为EF⊥OF，∵∠FGE=∠BAF 又∠EFG=∠BAF，∴∠EFG=∠FGE，有EF=EG…．（3分）
由AB=10，CD=8知OM=3∴ED=OM=4EF2=ED•EC=48∴EF=EG=…．（5分）（Ⅱ）连接AD，∠BAD=∠BFD及（Ⅰ）知GM=EM﹣EG=
∴tan∠MBG=，tan∠BAD=tan∠MBG
∴∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD
∴FD与AB不平行…（10分）
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为、，曲线C的参数方程为为参数）．
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A、B的极坐标分别为、，
∴点A、B的直角坐标分别为、，
∴直线AB的直角坐标方程为；
（Ⅱ）由曲线C的参数方程，化为普通方程为x2+y2=r2，∵直线AB和曲线C只有一个交点，
∴r=±=±．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m
（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣
4|＜2，
∴﹣2＜|x|﹣4＜2，
∴2＜|x|＜6，
故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，
∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4，
∴m的取值范围为m＜4．。