高考函数含多个变量的问题

法一：分离变量法一：分离变量 法二：最值放缩法二：最值放缩
法三：构造整体（如齐次式等）法三：构造整体（如齐次式等）
1．设函数2
()()()x
f x x ax b e x R =++Î．
（1）若2,2a b ==-，求函数()f x 的极值；的极值；
（2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，试求出a 关于b 的关系式（用a 表示b ），并
确定()f x 的单调区间；的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设0a >，函数2
4
()
(14)x g x a
e
+
=
+
．若存在
]
4,0[,21Î
l l 使
得1
|)()(|
21<-l l f f 成立，求a 的取值范围．的取值范围．
答案：解．（1）∵2
2
()(2)()[(2)()]x
x
x
f x x a e x ax b e x a x a b e ¢=++++=++++
当2,2a b ==-时，2
()(22)x
f x x x e =+-
则'()f x 2
(4)x
x x e =+ ………1分
令'()0f x =得2
(4)0x
x x e +=，∵0x
e ¹ ∴2
40x x +=， 解得124,0x x =-= ……2分 ∵当(,4)x Î-¥-时，'()0f x >，
当(4,0)x Î-时'()0f x <，当(0,)x Î+¥时'()0f x > ∴当4x =-时，函数()f x 有极大值，4
6
()f x e 极大＝，
当0x =时，函数()f x 有极小值，()
2f x =-极小
．
…………4分
（2）由（1）知2
()[(2)()]x
f x x a x a b e ¢=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点的一个极值点 ∴(1)0f ¢= 即[1(2)()]0e a a b ++++=，解得32b a =--
则2
()[(2)(3)]x
f x e x a x a ¢=+++--＝(1)[(3)]x
e x x a -++ 令()0
f x ¢=，得11x =或23x a =--
∵1x =是极值点，∴31a --¹，即4a ¹- …………6分
当31a -->即4a <-时，由()0f x ¢>得(3,)x a Î--+¥或(,1)x Î-¥ 由()0f x ¢<得(1,3)x a Î--
当31a --<即4a >-时，由()0f x ¢>得(1,)x Î+¥或(,3)x a Î-¥-- 由()0f x ¢<得(3,1)x a Î-- …………8分 综上可知：综上可知：
当4a <-时，单调递增区间为(,1)-¥和(3,)a --+¥，递减区间为(1,3)a -- 当4a >-时，单调递增区间为(,3)a -¥--和(1,)+¥， 递减区间为(3,1)a -- ……9分
（3）由2）知：当a >0时，()f x 在区间（0，1）上的单调递减，）上的单调递减， 在区间（1，4）上单调递增，）上单调递增， ∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+
又∵(0)f =(23)x
be a =-+0<，4
(4)(213)0f a e =+>，
∴函数()f x 在区间[0，4]上的值域是[(1),(4)]f f ，即4
[(2),(213)]a e a e -++] 又2
4
()(14)x g x a e
+=+在区间[0，4]上是增函数，上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是2
4
2
8
[(14),(14)]a e a e ++ …………11分 ∵2
4
(14)a e +－4
(213)a e +＝2
4
(21)a a e -+＝2
4
(1)0a e -³， ∴存在]4,0[,21Îl l 使得1|)()(|21<-l l f f 成立只须仅须成立只须仅须
24
(14)a e +－
4
(213)a e +<12
4
2
41
(1)1(1)a e a e Þ-<Þ-<221111a e e
Þ-<<+．
2．已知函数2
()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；的单调性；
（Ⅱ）设2a £-，证明：对任意12,(0,)x x Î+¥，1212|()()|4||f x f x x x -³-.
12a a +
-1
2a a +-12a a +-12a a +-1
2a a
+
-241ax x a +++-+---
当0a ³时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调增加；∞）单调增加； 当1a £-时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调减少；∞）单调减少；
当-1＜a ＜0时，令'()f x =0，解得12a x a
+=-. 则当1(0,)2a x a +Î-时，'()f x ＞0；1(,)2a x a +Î-+¥时，'()f x ＜0. 故()f x 在1(0,)2a a +-单调增加，在1(,)2a a
+-+¥单调减少. （Ⅱ）不妨假设12x x ³，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而∞）单调减少，从而 12,(0,)x x "Î+¥，1212()()4f x f x x x -³- 等价于等价于
12,(0,)x x "Î+¥，2211()4()4f x x f x x +³+ ①
令()()4g x f x x =+，则1
'()24a g x ax x
+=++
①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即∞）单调减少，即
1
240a ax x
+++£. 从而222
22241(21)42(21)2212121
x x x x a x x x ------£
==-+++ 故a 的取值范围为（-∞，-2]. ……12分
4．（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）分） 已知函数f(x)=
2
1x 2
－ax+(a －1)ln x ，1a >。

（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2Î(0,)+¥，x 1¹x 2，有1212
()()1f x f x x x ->--。

解：(1)()f x 的定义域为(0,)+¥。

2'
11(1)(1)
()a x ax a x x a f x x a x x x
--+--+-=-+==
2分
（i ）若11a -=即2a =,则
2'(1)()x f x x
-=
故()f x 在(0,)+¥单调增加。

单调增加。

(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a Î-时，'
()0f x <; 当(0,1)x a Î-及(1,)x Î+¥时，'
()0f x >
故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+¥单调增加。

单调增加。

(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+¥单调增加. (II)考虑函数考虑函数 ()()g x f x x =+
21(1)ln 2
x ax a x x =
-+-+
则2
11
()(1)2(1)1(11)a a g x x a x a a x x --¢=--+³--=---g
由于1<a<5,故()0g x ¢>，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当120x x >>时有
12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故
1212
()()
1f x f x x x ->--，当12
0x x <<时，有12211221
()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---·········12分
5．（2010天津理数）（2121））（本小题满分14分）分） 已知函数()()x
f x xc x R -=Î
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当
1x >时，()()f x g x >
（Ⅲ）如果12x x ¹，且12()()f x f x =，证明122x x +>
【解析】本小题主要考查导数的应用，本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查考查
运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 （Ⅰ）解：（Ⅰ）解：f f ’()(1)x
x x e -=- 令f ’(x)=0,(x)=0,解得解得x=1
当x 变化时，变化时，f f ’(x)(x)，，f(x)f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表的变化情况如下表 X
(,1-¥)
1
(1,+¥)
f ’(x) +
-
f(x)
极大值极大值
所以f(x)f(x)在在(,1-¥)内是增函数，在内是增函数，在((1,+¥)内是减函数。

内是减函数。

函数f(x)f(x)在在x=1处取得极大值f(1)f(1)且且f(1)=
1e
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),g(x)=f(2-x),得得g(x)=(2-x)2
x e
-
令F(x)=f(x)-g(x),F(x)=f(x)-g(x),即即2
()(2)x x F x xe x e --=+- 于是22'()(1)(1)x x F x x e e --=--
当x>1时，2x-2>0,2x-2>0,从而从而2x-2
e 10,0,F x
e
-
->>又所以’(x)>0,(x)>0,从而函数
从而函数F （x ）在[1,+∞)是增函数。

是增函数。

又F(1)=-1
-1
e e 0-=，所以，所以x>1x>1x>1时，有时，有F(x)>F(1)=0,F(x)>F(1)=0,即即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1） 若
12
1212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x
--=I ===¹12由（）及）及f(x f(x f(x 则与矛盾。

（2）若
121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==¹12由（）及）及f(x f(x f(x 得与矛盾。

根据（根据（11）
（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设 由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)
2f(2-x ,从而
)1f(x >)2f(2-x 因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f(x)f(x)在区间（
在区间（在区间（--∞，∞，11）内事增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2.
2xy 的最小值为 2 ．
22
称函数)(x f 具有性质)(a P 。

(1)设函数)(x f 2ln (1)1
b x x x +=+>+，其中b 为实数。

为实数。

(i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。

的单调区间。

(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。

给定1212,(1,),,x x x x Î+¥<设m 为实数，为实数，
21)1(x m mx -+=a ，21)1(mx x m +-=b ，且1,1>>b a ，
若|)()(b a g g -|<|)
()
(21x g x g -|，求m 的取值范围。

的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

满分16分。

分。

（1）(i)
'()f x 2
22121
(1)(1)(1)b x bx x x x x +=-=-+++
∵1x >时，2
1()0(1)
h x x x =
>+恒成立，恒成立，
∴函数)(x f 具有性质)(b P ；
(ii)（方法一）设2
2
2
()
1()124b b
x x bx x j
=-+=-+-，()x j 与)('x f 的符号相同。

的符号相同。

当2
10,224b b ->-<<时，()x j 0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+¥上递增；上递增；
当2b =±时，对于1x >，有)('x f 0>，所以此时)(x f 在区间),1(+¥上递增；上递增； 当2b <-时，()x j 图像开口向上，对称轴12
b x =
<-，而(0)1j =，
对于1x >，总有()x j 0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+¥上递增；上递增； （方法二）当2b £时，对于1x >，2
2
2
()121(1)0x x bx x x x j =-+³-+=-> 所以)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+¥上递增；上递增；
当2b >时，()x j 图像开口向上，对称轴12b
x =>，方程()0x j =的两根为：
22
44,22b b b b +---，而2224421,(0,1)224
b b b b b b +--->=Î
+- 当24(1,)
2b b x +-Î
时，()x j 0<，)('x f 0<，故此时)(x f 在区间2
4(1,
)2
b b +-
上递减；同理得：)(x f 在区间24
[
,)2
b b +-+¥上递增。

上递增。

综上所述，当2b £时，)(x f 在区间),1(+¥上递增；上递增；
当2b >时，)(x f 在2
4(1,
)2
b b +-上递减；)(x f 在2
4[,)2
b b +-+¥上递增。

上递增。

(2)（方法一）由题意，得：2
2
'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=- 又)(x h 对任意的),1(+¥Îx 都有)(x h >0，
所以对任意的),1(+¥Îx 都有()0g x ¢>，()g x 在(1,)+¥上递增。

上递增。

又1212,(21)()x x m x x a b a b +=+-=--。

当1,12
m m >
¹时，a b <，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x a b -=-+--=-+-，
综合以上讨论，得：所求m 的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，()g x 的导函数2
'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+¥Îx 都成立。

所以，当1x >时，2
'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间
),1(+¥上单调递增。

上单调递增。

①当(0,1)m Î时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x a =+->+-=，
12222(1)(1)mx m x mx m x x a =+-<+-=，得12(,)x x a Î，同理可得12(,)x x b Î，所以
由()g x 的单调性知()g a 、()g b 12((),())g x g x Î， 从而有|)()(b a g g -|<|)
()
(21
x g x g -|，符合题设。

，符合题设。

②当0m £时，12222(1)(1)mx m x mx m x x a =+-³+-=，
12111(1)(1)m x mx m x mx x b =-+£-+=，于是由1,1a b >>及()g x 的单调性知
1
2
()()()()g g x g x g b a £<£，所以|)()(b a g g -|≥|)
()
(21
x g x
g -|，与题设不符。

，与题设不符。

③当1m ³时，同理可得12,x x a b £³，进而得|)()(b a g g -|≥|)
()(21x g x g -|，与题设
不符。

不符。

因此综合①、②、③得所求的m 的取值范围是（0，1）。