安徽省怀宁中学2011—2012学年度高三数学第四次月考试 理

安徽怀宁中学2011—2012学年度高三第四次月考数学（理）试题
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分．共 50 分。

在每小题给出的四个选项中．只有
一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合
2
{|20},{|1}A x x x B x x =-<=>，则集合A B =
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|02}x x <<
D ．{|1}x x ≤ 2. 已知c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，则下列选项中不一定．．．能成立的是 ( ) A ．
c b a a < B ．0>-c
a
b C ．
c a c b 2
2> D ．0<-ac c a
3．根据右边程序框图，若输出y 的值是4， 则输入的实数x 的值为 ( )
A ． 1
B ． 2-
C ． 1或2
D ． 1或2-
4．已知P 为抛物线2
4y x =上一个动点，直线1l ：1x =-，2l ：30x y ++=，则P 到直线1l 、
2l 的距离之和的最小值为 ( )
A ．22
B ．4
C 2
D ．
32
12
+ 5．设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线， ①若,,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥则； ②若//,//,,;l m m n l n αα⊥⊥则 ③若//,,l m m n αα⊥⊥，则//;l n ④若,,,//m n l n l m αα⊂⊥⊥则；
则上述命题中正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
6. 设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若
63S S =3 ，则 6
9S
S = ( ) A. 2 B.
73 C. 8
3
D.3 7．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+，
则点O ( )
A ．在A
B 边的高所在的直线上 B ．在
C ∠平分线所在的直线上 C ．在AB 边的中线所在的直线上
D ．是ABC ∆的外心 8．定义行列式运算
1112212
2
,x y x y x y x y =-
将函数cos ()sin x
f x x
=
的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为 ( )
A ．
6π B ．3
π C ．23π D ．56π
9．直线x t =过双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于
A ，
B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ( )
A ．(1,)+∞
B
．
C
．(1,
D
．(1,1
10．定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当]3,1[∈x 时，)(x f |2|2--=x ，
则
A.)3
2(cos )32(sin
ππf f > B ．)1(cos )1(sin f f > C ．)6(tan )3(tan f f < D.)2(cos )2(sin f f <
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分. 把答案写在题中的横线上 ）
11．已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数
k 的取值范围是 .
12.设有平面α,β,γ两两互相垂直,且α,β,γ三个平面有一个公共点A,现有一个半径为1的小球与α,β,γ这三个平面均相切,则小球上任一点到点A 的最近距离为 .
13．如果实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则42++=y x z 的最大值 ___
14. 等差数列{n a }前n 项和为n S 。

已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38,则m=_______ 15．下列命题中
① 2
"2""320"x x x >-+>是的充分不必要条件;
② 命题“2
320,1x x x -+==若则”的逆否命题为“2
1,320若则x x x =-+≠”; ③ 对命题：“对
0,k >方程20x x k +-=有实根”的否定是:“ ∃k >0，方程
20x x k +-=无实根”;
④ 若命题:,p x A B p ∈⋃⌝则是x A x B ∉∉且; 其中正确命题的序号是
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16．（本题满分12分） 已知函数(),f x m n =⋅
其中(sin cos ,3cos ),(cos sin m x x x n x x ωωωωω=+=- 其中0ω>，若()f x 相邻两对称轴间的距离不小于2
π。

（I ）求ω的取值范围；
（
Ⅱ）ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，3,a b c +=
当ω最大时，()f A =1，求ABC ∆的面积。

17．（本题满分共12分）
如图，几何体P ABCD -为正四棱锥， 几何体Q PCB -为正四面体. （1）求证：PC DQ ⊥；
（2）求QD 与平面PAD 所成角的正弦值.
18. （本题满分共12分）
已知定点A (0,1)、B (0，－1)、C (1,0)，动点P 满足AP →·BP →＝k |PC →|2
.
(1) 求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．
(2) 当k ＝2时，求|2AP →＋BP →
|的最大值和最小值．
19（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
2
22:1(1)x C y a a
+=>的上顶点为A
离心率为
3
A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=.
Q
D
,2sin )x ω
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标.
20．（本题满分共13分）
已知数列{}n a ，1a a =，且1*122()n n n a a n N +++=∈， （1）若123,,a a a 成等差数列，求实数a 的值；
（2）数列{}n a 能为等比数列吗？若能，试写出它的充要条件并加以证明；
若不能，请说明理由。

21．（本小题满分14分）
已知函数()|2|ln f x ax b x =-+（x ＞0）．
（1）若a ＝1，f (x )在（0，＋∞）上是单调增函数，求b 的取值范围；
（2）若a ≥2，b ＝1，求方程1
()f x x
=
在（0，1]上解的个数．
参考答案
一、选择题 B C D A B B A D C D
二．填空题 11. 01k << 13. 29 14. 10 15. ①②④ 三．解答题
16．解：(Ⅰ)22()cos sin sin f x m n x x x x =⋅=ω-ω+ω⋅ω
=cos 222sin(2)6
x x x π
ω+ω=ω+
0ω>∴函数()f x 的周期22T ππ=
=ωω，由题意可知,22T π≥即22
ππω≥， 解得01ω<≤，即ω的取值范围是{|01}ωω<≤
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知1
()2sin(2)
()1sin(2)662
f x x f A A ππ∴=+=∴+- 而135********
A A A ππππππ<+<∴+=∴= 由余弦定理知
222
cos 2b c a A bc
+-=
223b c bc ∴+-= 又3b c +=，2bc ∴=
1sin 22
ABC S bc A ∆==
17. （1）解法一:取BQ 的中点M ，连结,PM CM ，由几何体
Q PCB -为正四面体得，,CM BQ PM BQ ⊥⊥，所以BQ ⊥
平面PCM ，从而BQ PC ⊥.
连结,BD DC 交于点O ,连结PO 得PO ⊥平面ABCD ,
,BD AC BD PO ⊥⊥，所以BD ⊥平面POC ，从而BD PC ⊥.又BQ PC ⊥
所以PC ⊥平面BDQ ，从而PC DQ ⊥.
解法二: 因为几何体P ABCD -为正四棱锥，几何体Q PCB -为正四面体. 故可设PA PB PC PD PQ QC QB AB BC CD DA a =========== 取PC 的中点N ，连结,,DN BN QN ，由题意知
,,,DN PC BN PC QN PC ⊥⊥⊥
故BND ∠是二面角B PC D --的平面角， BNQ ∠是二面角
B P
C Q --的平面角,
在BND ∆
中，,DN BN BD ==
=，
所以
)
2
2
2
221cos 3
a BND ⎛⎫⎛⎫
+-
⎪ ⎪∠==-⎝⎭⎝⎭，
在BNQ ∆
中，,2
QN BN BQ a ===，
所以22
21
cos 3a a BND ⎫⎫
+-⎪⎪∠==⎝⎭⎝⎭
从而BND BNQ π∠+∠=，从而,,,P Q C D 四点共面，
O
M
O
N
故四边形PQCD 为菱形，从而PC DQ ⊥
（2）由解法二知四边形PQCD
为菱形，于是DQ =，QC ∥PD ， 所以点Q 到平面PAD 的距离等于点C 到平面PAD 的距离， 设点C 到平面PAD 的距离为h ，由P ACD C APD V V --=得：11
33
PAD CAD S h S PO ∆∆⋅=
⋅
进而得h =，所以QD 与平面PAD
所成角的正弦值3a
h DQ ===
解法三：如图，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系。

不妨设|OB |=1，则B (1,0,0)，C (0,1,0)， D (-1,0,0)，
A (0,-1,0)
因为Q PCB -为正四面体，所以PCB ∆为正三角形，
所以
||||PC BC =||1OP =，因此P (0,0,1)。

设PCB ∆的重心为M ，则QM ⊥面PCB ，又O PCB -也为正三棱锥，因此OM ⊥面PCB ，因此O 、M 、Q 三点共线，所以OQ 垂直面PCB ，即OQ 是平面PCB 的一个法向量，
由(1,0,1)PB =-，(0,1,1)PC =-易得平面PCB 的一个法向量可以取1(,,)n a a a =，所以不妨设Q (a ,a ,a )，则(,,1)PQ a a a =-
，因为2||PQ a ==a=1，所以
Q(1,1,1)。

（1）(0,1,1)PC =-，(2,1,1)DQ =，0PC DQ ⋅=，所以PC DQ ⊥；
（2）设面PAD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =--，(0,1,1)PA =--，由
220
n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩解得一个法向量2(1,1,1)n
=--， 所以2222cos ,3||||3
n DQ n QD n DQ ⋅-<>=
==-， 所以QD 与平面PAD 所成角的正弦值为
3。

18 .[解析] (1)设动点的坐标为P (x ，y )，则
AP →＝(x ，y －1)，BP →＝(x ，y ＋1)，PC →
＝(1－x ，－y )． ∵AP →·BP →＝k |PC →|2， ∴x 2＋y 2－1＝k [(x －1)2＋y 2]， ∴(1－k )x 2＋(1－k )y 2
＋2kx －k －1＝0.
若k ＝1，则方程为x ＝1，表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线．
y
x
若k ≠1，则方程化为⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋k 1－k 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫11－k 2
， 表示以⎝
⎛⎭⎪⎫k k －1，0为圆心，以⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪11－k 为半径的圆．
(2)当k ＝2时，方程化为(x －2)2
＋y 2
＝1. ∵2AP →＋BP →
＝2(x ，y －1)＋(x ，y ＋1)＝(3x,3y －1)，
∴|2AP →＋BP →|＝9x 2＋9y 2
－6y ＋1＝36x －6y －26.
又∵(x －2)2＋y 2
＝1，则令x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ，
于是有36x －6y －26＝36cos θ－6sin θ＋46＝637cos(θ＋φ)＋46∈[46－637，46＋637]，
故|2AP →＋BP →
|的最大值为46＋637＝3＋37，最小值为46－637＝37－3. 19. 解
（Ⅰ）依题意有221c a a c a c ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨
=⎪⎪⎩-=⎩
故椭圆C 的方程为2
2: 1.3
x C y += ……………………4分
（Ⅱ）(解法1)由0,AP AQ ⋅=知AP AQ ⊥,从而直线AP 与坐标轴不垂直,
由(0,1)A 可设直线AP 的方程为1y kx =+， 直线AQ 的方程为1
1(0)y x k k
=-
+≠. 将1y kx =+代入椭圆C 的方程2
213x y +=并整理得: 22(13)60k x kx ++=,
解得0x =或2613k x k =-+,因此P 的坐标为2
22
66(,1)1313k k k k
--+++, 即2
22
613(,)1313k k k k --++ ……………………6分 将上式中的k 换成1k -,得Q 22263
(,)33
k k k k -++. ………………7分
直线l 的方程为22
222222
2
31363313()6633313k k k k k k y x k k k k k k ----++=-++++++ 化简得直线l 的方程为21142
k y x k -=-， ………………………10分
因此直线l 过定点1
(0,)2
N -. ………………………12分 (解法2)由题直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为：(
y kx m =+(0,1),A l ∉∴)1m ≠，
代入椭圆C 的方程2
213
x y +=并整理得: 222(13)63(1)0k x mkx m +++-=,
设直线l 与椭圆C 相交于11(,)P x kx m +、22(,)Q x kx m +两点， 则,12x x 是上述关于x 的方程两个不相等的实数解，
从而22222(6)4(13)3(1)12(31)0mk k m k m ∆=-+⨯-=+->
2121222
63(1)
,1313mk m x x x x k k -+=-=
++ …………………………………7分 由0,AP AQ ⋅=得
2212121212(1)(1)(1)(1)()(1)0x x kx m kx m k x x k m x x m ++-+-=++-++-=，
22
222
3(1)6(1)(1)()(1)01313m mk
k k m m k k
-+⋅+-⋅-+-=++ 整理得：2210,m m --= (21)(1)0,m m +-=由1m ≠知1
2
m =-.
此时29(41)0k ∆=+>, 因此直线l 过定点1(0,)2
N -. ………………………12分
20. 解.（Ⅰ）123,24,4a a a a a a ==-+=，
因为2132a a a =+，所以2(24)4a a a -+=+，得89
a = （Ⅱ）方法一：因为1*122()n n n a a n N +++=∈，所以11122n n
n n
a a +++=， 得：
1111()2222n n n n a a ++-=--，故122n n
a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
是以1112222a a -=-为首项， -1为公比的等比数列， 所以
111()(1)2222n n n
a a --=-⋅-，得：1
112[()(1)]222
n n n a a -=+-⋅- 1111
11112[()(1)]()(1)222222
211112[()(1)]()(1)222222
n n n
n n n n n a a a a a a ++--+-⋅-+-⋅-==⋅+-⋅-+-⋅-
{}n a 为等比数列1n n
a a +⇔
为常数，易得当且仅当1a =时，12n n a
a +=为常数。

方法二：因为1*122()n n n a a n N +++=∈，所以1122(2)n n n n a a -+-=--，
即11
222
n
n n n a a +--=--，故{}12n n a --是以0121a a -=-为首项，-2为公比的成等比数列， 所以112(1)(2)n n n a a ---=--，得：11(1)(2)2n n n a a --=--+（下同解法一） 方法三：由前三项成等比得1a =，进而猜测1a =，对于所有情况都成立，再证明。

21．解：2ln ,(02),
()|2|ln 2ln ,(2).
x b x x f x x b x x b x x -++<<⎧=-+=⎨-+⎩≥
① 当0＜x ＜2时，()2ln f x x b x =-++，()1b f x x '=-+．由条件，得10b
x
-+≥恒成立， 即b ≥x 恒成立．∴b ≥2． …………… 2分
② 当x ≥2时，()2ln f x x b x =-+，()1b f x x '=+
．由条件，得10b
x
+≥恒成立， 即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2．…………… 4分
综合①，②得b 的取值范围是b ≥2． …………………… 5分 （2）令1()|2|ln g x ax x x =-+-，即1
2
2ln ,(0),()122ln ,().
ax x x x a g x ax x x x a ⎧
-++-<<⎪⎪=⎨⎪
-+-⎪⎩
≥ 当20x a <<
时，1()2ln g x ax x x =-++-，211
()g x a x x
'=-++． ∵20x a <<，∴12a
x >．则2(2)()244
a a a a g x a -'>-++=
≥0． 即()0g x '>，∴()g x 在（0，2
a
）上是递增函数． ………………… 7分
当2
x a ≥时，1()2ln g x ax x x =-+-，211()g x a x x '=++＞0．∴()g x 在（2a ，＋∞）上是递增函数．又
因为函数g (x )在2
x a
=
有意义，∴()g x 在（0，＋∞）上是递增函数．…… 10分 ∵22()ln 2a g a a =-，而a ≥2，∴2
ln 0a
≤，则2()g a ＜0．∵a ≥2，∴3)1(-=a g …… 12分
当a ≥3时，3)1(-=a g ≥0，∴g (x )＝0在]1,0(上有惟一解．当32<≤a 时，3)1(-=a g <0， ∴g (x )＝0在]1,0(上无解．……………… 14分。