2019-2020版数学新学案北师大版选修1-2课件：第三章 推理与证明 3.3

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解题反思实际解题时,综合使用分析法与综合法,即从“未知”想
“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,找到沟
通已知条件和结论的途径,本例中若得不出
就无法实现
等价转化.另外在应用分析法解题时,语言、步骤要完整、规范,避
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分析法的应用
思路分析:本题从正面入手很难找到思路与方法,可从结论入手, 利用分析法,寻找结论成立的充分条件.
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反思感悟利用分析法证明不等式 (1)适用范围:常用于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明. (2)证明思路:从要证明的不等式出发,逐步寻求它成立的充分条 件,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式. (3)格式要求:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要 证”“只需证”“即证”等词语.
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【做一做1】 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥ .
证明:∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2xz, ∴(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)
≥2xy+2yz+2xz.
∴3(x2+y2+z2)
≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz, 即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1.
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二、分析法
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分
条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理
等.我们把这种思维方法称为分析法.
名师点拨分析法的特点:
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.
(2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”. (1)综合法是由因导果的顺推证法. ( ) (2)分析法是执果索因的逆推证法. ( ) (3)分析法的推理过程要比综合法优越. ( ) (4)所有证明的题目均可使用分析法证明. ( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
证……,由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的
关联词语不能省略.
【做一做2】 将下面用分析法证明
的步骤,补充完整:
要证
,只需证a2+b2≥2ab,也就是证 ,即
证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立.
答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
§3 综合法与分析法
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一、综合法 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎 推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把 这样的思维方法称为综合法. 名师点拨综合法的特点: (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”. (2)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所 要证的结论,则综合法的思维过程可表示如下: P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q (3)用综合法证明题目,具有步骤严谨、逐层递进、条理清晰、易 于表达的特点.
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综合法的应用
【例1】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A =(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求证:A的大小为60°. (2)若sin B+sin C= ,证明△ABC为等边三角形. 思路分析:(1)要证A的大小为60°,可先从已知条件出发,利用正 弦定理,将角化为边,再利用余弦定理得出角A的大小. (2)要证△ABC为等边三角形,可从(1)的证明出发,将sin B+sin C=
转化为只含一个角的三角函数值的等式,进而求出角B或角C的 大小也为60°,命题得证.
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反思感悟综合法证明问题的思路: (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之 间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
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Байду номын сангаас
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用分析法证明不等式成立
【典例】 (12分)在某两个正数m,n之间插入一个数x,使m,x,n成等 差数列,插入两个数y,z,使m,y,z,n成等比数列,求 证:(x+1)2≥(y+1)(z+1).
思路分析:要证(x+1)2≥(y+1)(z+1),只需证 成立,借助分析法及题设条件等价转化即可.
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综合法与分析法的综合应用 【例3】 已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1,求证:
思路分析:解决本题的关键是利用对数的运算法则和对数函数的 性质转化为证明整式不等式.
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反思感悟综合法与分析法的综合应用 (1)在实际解题过程中,常常是先用分析法寻找解题思路,即从结 论入手,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的“因”,再用综合法有 条理地表述解题过程. (2)对于较复杂的问题,在解题过程中,把分析法和综合法有机地 统一起来,一方面从问题的已知条件出发,用综合法经逻辑推理导 出中间结果;另一方面从问题的结论出发,用分析法回溯到中间,即 推出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.
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只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2, 只需证(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)≥0, 只需证(xy-1)(xy+1-x-y)≥0, 只需证(xy-1)(x-1)(y-1)≥0. 因为x≥1,y≥1,所以上式显然成立. 所以原不等式成立.
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因为PH⊥底面ABC,所以PH⊥BC,PH⊥AC成立, 故只需证BC⊥PA,且AC⊥PB即可. 只需证PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC, 只需证PA⊥PB,且PA⊥PC,PB⊥PA,且PB⊥PC. 因为PA,PB,PC两两垂直,上式显然成立,所以原结论成立,即H是 △ABC的垂心.
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免逻辑性混乱,减少失分.
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跟踪训练如图,在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PH⊥底 面ABC于点H,求证:H是△ABC的垂心.
证明:连接AH,BH,要证H是△ABC的垂心,只需证BC⊥AH,且 AC⊥HB,只需证BC⊥平面PHA,且AC⊥平面PHB,只需证BC⊥PH, 且BC⊥PA,AC⊥PH,且AC⊥PB.
1.“对于任意角θ,都有cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ
=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”应用了( )
A.分析法 B.综合法 C.综合法与分析法结合使用 D.间接证法 解析:证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式,因此是 综合法. 答案:B