新海实验中学期末数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）
1. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项a10的值为（）
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
2. 若函数f(x) = x^2 - 3x + 2在区间[1, 3]上的最大值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则第5项a5的值为（）
A. 16
B. 32
C. 64
D. 128
4. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积S为（）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
5. 若复数z = a + bi（a，b∈R）满足|z-1| = |z+1|，则b的值为（）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第10项a10的值为______。

7. 函数f(x) = 2x - 3在x=2时的导数为______。

8. 在△ABC中，若∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数为______。

9. 已知复数z = 3 + 4i，则|z|^2的值为______。

10. 若函数f(x) = x^3 - 3x在x=0时的切线斜率为______。

三、解答题（每题15分，共60分）
11. （15分）已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求证：数列{an^2}为等差数列。

12. （15分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求证：f(x)在区间[1, 3]上的最大值为0。

13. （15分）在△ABC中，已知a=3，b=4，c=5，求△ABC的外接圆半径R。

14. （15分）已知复数z = 3 + 4i，求复数z的共轭复数z。

15. （15分）已知函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x - 1，求f(x)在x=1时的切线方程。

答案：
一、选择题
1. B
2. C
3. C
4. B
5. A
二、填空题
6. 29
7. -3
8. 75°
9. 25 10. -6
三、解答题
11. （1）证明：由等差数列{an}的首项为2，公差为3，得an = 2 + 3(n-1)。

（2）计算an^2 = (2 + 3(n-1))^2 = 9n^2 - 12n + 4。

（3）计算an^2+1 - an^2 = 9(n+1)^2 - 12(n+1) + 4 - (9n^2 - 12n + 4) = 9。

（4）∴数列{an^2}为等差数列。

12. （1）证明：由函数f(x) = x^2 - 4x + 3，得f'(x) = 2x - 4。

（2）令f'(x) = 0，解得x = 2。

（3）当x∈[1, 2]时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；
当x∈[2, 3]时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。

（4）∴f(x)在区间[1, 3]上的最大值为f(2) = 0。

13. （1）由余弦定理，得c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。

（2）代入a=3，b=4，c=5，得5^2 = 3^2 + 4^2 - 234cosC。

（3）解得cosC = 1/2。

（4）由C∈(0°, 180°)，得C = 60°。

（5）由正弦定理，得R = c/(2sinC) = 5/(2sin60°) = 5/√3。

14. （1）复数z的共轭复数z为a - bi。

（2）∴z = 3 - 4i。

15. （1）由函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x - 1，得f'(x) = 6x^2 - 12x + 3。

（2）令f'(x) = 0，解得x = 1。

（3）当x∈(-∞, 1)时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1, +∞)时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。

（4）∴f(x)在x=1时的切线斜率为f'(1) = -3。

（5）切线方程为y - f(1) = f'(1)(x - 1)，
代入f(1) = -1，得y + 1 = -3(x - 1)，
即3x + y - 2 = 0。