黑龙江大庆市实验中学新高考数学多选题专项练习附答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．一般地，若函数()f x 的定义域为[]
,a b ，值域为[]
,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正
确的是（ ）
A ．若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间，则2b =
B ．函数()1
1f x x
=+
存在跟随区间 C ．若函数(
)f x m =1,04m ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
D ．二次函数()2
12
f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】
根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】
对A, 若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间,因为()2
22f x x x =-+在区间[]
1,b 为增
函数,故其值域为2
1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2
22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1
b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+
在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1
1f x x
=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,
解得：12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 故存在, B 正确.
对C, 若函数(
)f x m =[]
,a b ,因为(
)f x m =,故由
跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨
=⎪⎩a b < 即(
)()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,
1=.
易得01≤
<.
所以(1a m m =-=--,
令t =
20t t m --=,
同理
t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.
故1400
m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.
对D,若()2
12
f x x x =-
+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()21
2
f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程
21
32
x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
2．下列结论正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的定义域为[]
1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数
()1f x +的值域为[]2,3
C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是
()0,3
D ．已知函数()2
3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数
根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数
()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, ()y f x =的定义域为[]
1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为
[]0,1，故正确；
对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相
同，故错误；
对于C, 函数2
()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需
(2)0
(1)0g g >⎧⎨
->⎩
，解得0<<3a ，故正确；
对于D, 作出函数()2
3f x x x =
+与1y a x =-的图象，如图，
由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或
9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，
综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2
3f x x x
=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.
3．已知函数()()()52
log 1,1
22,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
的实根个数可能为
（ ） A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】ABC 【分析】
以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将1
2x x
+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得
120x x +-≥或1
24x x
+-≤-，
作出函数()()
()52
log 1,1
22,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：
①当2a >时，1
224x x +-≤-或1021x x
<+-<， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或1
22x x
+-=， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1
122x x
<+-< 或1
223x x
<+
-<， 故方程12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或1
21x x +-=或123x x
+-=，
故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1
324x x
<+-<， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1
324x x
<+-<， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为3； ⑦当0a <时，1
23x x
+->， 故方程12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为2；
故选：ABC 【点睛】
本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.
4．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常
数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0
x x >时，总有()()()()00f x h x m
h x g x m ⎧<-<⎪⎨
<-<⎪⎩
，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}
|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）
A ．()2
f x x =，()
g x =
B ．()10
2x
f x -=+，()23
x g x x
-=
C ．()21
x f x x
+=，()ln 1ln x x g x x +=
D ．()221
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--
【答案】BD 【分析】
根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】
解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，
()()0,()()f x g x f x g x -→>．
对于①，()2
f x x =，()
g x =
当1x >时，令()()()2
F x f x g x x =-=，
由于()20
F x x '=-
>，所以()h x 为增函数，
不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()10
22x
f x -=+>，()23
2,(1)x g x x x
-=
<> ()()f x g x ∴>，
2313
()()10210x
x
x f x g x x x
--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，
因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；
对于③，21
()x f x x
+=，ln 1()ln x x g x x +=，
21111111
()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x
++-=-=+--=-
当1x >且x →∞时，
1x 与1ln x 均单调递减，但1x
的递减速度比1
ln x 快，
所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；
对于④，22()1
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--，
当x →∞时，
22()()220+1222
+1x x x f x g x x e x x e
--=-+++=→，且()()0f x g x ->，
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】
本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.
5．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 在定义域上单调递增
C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >
D ．
()()()()()()()()()()()
()
2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】
利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算
(2)
(21)
f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．
【详解】
令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；
对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则
0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，
∴对于任意x ∈R ，2
()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=
=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，
11111111121n
n n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭
个
个，∴11f n ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
， 同理()(111)(1)(1)
(1)21n f n f f f f =++
+==>，
对任意正有理数p ，显然有m p n
=
（,m n
是互质的正整数），则1()1m
m f p f f
n n ⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,
p p p 的极限，而()1i f p >，
i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，
设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则
21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；
由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)
2(21)
f n f n =-，
∴
()()()()()()()()()()()
()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．
6．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x
f x e x =+，下列命题正确的是
（ ）
A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x
f x e x =+
B ．若()()33f x f x --=-，则()()32
g x f x e
=+
在()6,0x ∈-上有3个零点
C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]
23,3x ∈-，()()122f x f x -<
D ．若()()3f x f x +=，方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，则
k 的范围为23
12
k e e -
<<- 【答案】BC 【分析】
A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；
B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数
()f x 与直线3
2
y e =-
有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]
3,3x ∈-上有两个不同的根，则23
12k e e -<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】
A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x
f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函
数，所以()()()1x
f x f x e
x -=-=-+，A 错误；
B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2x
f x e
x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当
()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()32
3f e
-=-
，()21
20f e
-=-
<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线3
2
y e =-有3个交点，即函数()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；
C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2
[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当
[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；
D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]
3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，
因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]
3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()21
20f e -=-<，所以23
12k e e
-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】
本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.
7．已知函数1()x x f x e
+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．4个
【答案】ABC 【分析】
令()t f x =，画出1
()x x f x e
+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】
()x
x f x e '=-
， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；
当0x >时，0f
x
，故()f x 在0,
上为减函数，
而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：
考虑方程210t mt ++=的解的情况.
24m ∆=-，
当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，
由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是2.
当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x
的解的个数为1，
故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是0.
当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
8．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式2
20x x a +--<至少有一个负数解的是
（）
A．
9
,0
4
⎛⎫- ⎪⎝⎭
B．()
2,3C．1,2D．0,1
【答案】ACD
【分析】
将不等式变形为2
2
x a x
-<-，作出函数2
,2
y x a y x
=-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a的取值范围.
【详解】
因为220
x x a
+--<，所以2
2
x a x
-<-且2
20
x，
在同一坐标系中作出2
,2
y x a y x
=-=-的图象如下图：
当y x a
=-与2
2
y x
=-在y轴左侧相切时，
2
2
x a x
-=-仅有一解，所以()
1420
a
∆=++=，所以
9
4
a=-，
将y x a
=-向右移动至第二次过点()
0,2时，02
a
-=，此时2
a=或2
a=-（舍），结合图象可知：
9
,2
4
a
⎛⎫
∈-
⎪
⎝⎭
，所以ACD满足要求.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.
9．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()
1,
0,
R
x Q
y f x
x C Q
∈
⎧
==⎨
∈
⎩
其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数()
f x有如下四个命题,正确的为( )
A．函数()
f x是偶函数
B．1x
∀,
2R
x C Q
∈,()()()
1212
f x x f x f x
+=+恒成立
C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T f x 对任意的x ∈R 恒成立
D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()
33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】
对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；
对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，
()()120f x f x +=，故选项B 错误；
对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则
R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；
对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛
盾，故不成立；
④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()
11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()
33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
10．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数
()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩
（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，
从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 是周期函数
C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=
D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正
误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取
20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.
所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.
所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.
二、导数及其应用多选题
11．已知函数()21
x
x x f x e
+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值
C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根
D ．若[),x t ∈+∞时，()2
max 5
f x e =，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】
对于A ．2
()010f x x x =⇒+-=，解得12
x -±=
，所以A 正确；
对于B ．22(1)(2)
()x x
x x x x f x e e
--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，
所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．
对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；
对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC. 【点睛】
易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是
(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，
如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
12．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数y
f x
x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】
对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y
f x
x 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；
对于C ，参变分离得到22ln x
k x x <
+，构造函数()22ln x g x x x
=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；
对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()2
1
1x t t x =
>，由()()12f x f x =得21222
ln t x x t t
-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构
造函数即得． 【详解】
A ：函数()f x 的定义域为0,
，()2
2212
x f x x x x
-'=-
+=，当()0,2x ∈时，0f x
，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增，所以
2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222
212
10x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在
0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数y
f x
x 有且只有1个零点，故B 正确．
C ：若()f x kx >，即
2
ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x
=+，则()3
4ln x x x
g x x
-+-'=
．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x
，所以()22ln x g x x x
=
+在0,上单调递减，
函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得1212
22
ln ln x x x x +=+， ∴
211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t
-=，()2121ln t t x tx t t
-==
，所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->．
∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,
上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以
2224ln 0ln t t t
t t
-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.
13．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3
sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
14．对于函数2
ln ()x
f x x =，下列说法正确的有（ ） A ．()f x
在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点 C
．(2)f f f <<
D ．若21
()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，则2
e k <
【答案】ACD 【分析】
利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】
函数2ln ()x f x x =，所以2
431ln 212ln ()(0)x x x
x x f x x x x
⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =
，解得x =
当0x <<()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数．
当x >
()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数．
所以()f x 在x =1
2f e
=
，故A 正确；
当0x <<
()0f x '>，()f x 在上为单调递增函数，
因为()10f =，所以函数()f x 在上有唯一零点，
当x ≥
2ln ()0x
f x x
=
>恒成立，即函数()f x 在)
+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．
由于当x >
()0f x '<，()f x 在)+∞上为单调递减函数，
因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；
由于2
1()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2
ln 1()x g x x +=，则32ln 1
()x g x x --'=，
令()0g x '=，解得x
=
当x
>
()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数． 当0x
<<
时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数． 所以()
22
max e e
g x g e ==-
=． 故2
e
k <
，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
15．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1
()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()221
x x f x x -+-'=，
因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增，
当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln
ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
16．下列说法正确的是（ ） A ．函数()2
3sin 30,42f x x x x π⎛⎫
⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为(
2 C ．函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞-
D ．函数(
)222sin 42cos tx x x
f x x x
π⎛
⎫+++ ⎪⎝⎭=
+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】
化简函数解析式为(
)2
cos 1f x x ⎛=--+ ⎝
⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3
231
t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，
(
)2
22
311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭
， 又
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦可得：
[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x
f x x x x x
+∴=+=
⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x
++-⋅=
⋅
()(
)2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x
⎡⎤
++-
⋅⎣⎦=
⋅，
设sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则
21
sin cos 2
t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴
+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥
⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223
2
2132311
2
t t t t t g t t t ⎛⎫
--⨯ ⎪
-⎝⎭==--，(
t ∈，()()422301t g t t --'=<-，
()g t ∴
在区间(
上单调递减，(
)
(
)3
2
min
1
g t g ==
=-
所以，函数()f x
的值域为)
+∞，B 错； C 选项，
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，
()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，
令sin t x =，(]
0,1t ∈，即2210t at --+≥，
1
2a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t
'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，
()11a g ∴≤=-，C 对；
D 选项，(
)2222cos tx x x x
f x x x
⎫+++⎪⎝⎭=
+ ()()
2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x x
x x
++⋅+⋅+=
=+
++， 所以，()()()()
2
2sin sin 2cos 2cos t x x t x x
f x t t x x
x x --+-=+
=-
+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，
所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
17．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的平均变化率为
194
B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4
27
y =
有2个交点
C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称
D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】
运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，
先得出1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选
项． 【详解】
对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，
则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()
119
123
192221412
⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()()2
3212f x x x x x x =-=-+，
()()()2341311f x x x x x '=-+=--，
可得下表：
因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227
f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =
有两个实数解，一个解为1
3
，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2
3
1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦
， 则有()()()()()()3
3
211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，
()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，
令()0f x '=，可得方程()2
3210x a x a -++=，
因为()
()2
2
412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧
+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--
()()()()33
221212121x x a x x a x x =+-++++
()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦
()()()2221122121222123
3a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()2124221
2113
327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦
因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.
18．已知函数()2
1ln 2
f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）
A ．()f x 在1,上单调递增
B ．122x x +=
C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
D ．若16
3
a =
，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】
求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在
()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简
()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将
16
3
a =
代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于
0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】
由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211
ax ax ax a x x x
f -+=-+='，
则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则21240
1
a a x x a ⎧∆=->⎪
⎨=>⎪⎩
，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数2
10y ax ax =-+>，此时()0f x '>，
所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；
因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22
x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+
++-++- 111211
1ln 1ln 22a a a a a a a a
⎛⎫=+
++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11
ln 2h a a a a
=-
-+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()
7
42ln 24
h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞--
⎪⎝⎭
，故C 正确； 当16
3a =
时，()1616133f x x x '=
-+，令()0f x '=，得14x =或34
， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以()f x 在1
4x =
取得极大值，且104f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
19．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下
列结论正确的有（ ）
A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】。