2019-2020年中考试 数学理 含答案 (II)

2019-2020年中考试 数学理 含答案 (II)
一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的) 1.设复数21z i
=+
(其中为虚数单位)，则2
3z z +的虚部为( ) A ．2i B ．0 C ．10- D ．2
2．已知R 为全集,}2)3(log |{2
1-≥-=x x A ,}12
5
|
{≥+=x x B ,则()A R ðB 是 A. {}213x x x -<≤-=或 B. {}
213x x x -<<-=或 C. {
}
132x x x -<<=-或 D. {}
132x x x -<≤=-或
3．设函数2
()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是( ) A ．2.1 B.0.21 C.1.21 D.12.1
4.在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ）
A . 1－k p B. ()k n k
p p --1 C. 1－()k
p -1 D. ()k
n k
k n p p C --1
5．已知方程22
(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n
-等于( )
A ．1
B ．3
4
C ．12
D ．3
8
6．函数f(x)=sinx+x 在[]0,2π上的最大值为( )
A ．0 B.2 C.π D.2π
7.如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足。

若点P 在平面α内运动， 使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C 、一条直线 D.两条平行直线
8．函数f(x)的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x ∈R ，'()2f x >，则f(x)>2x+4的解集为( )
A.（一1，1）
B.（一1，+∞）
C.（一∞，一1）
D.（一∞，+∞） 9.在R 上可导的函数()f x 的图形如图所示， 则关于x 的不等式()0x f x '⋅<的解集为（ ）
A.(,1)
(0,1)-∞-
B.(1,0)
(1,)-+∞
C.(2,1)(1,2)--
D.(,2)(2,)-∞-+∞ 10.已知点P 在曲线4
1
x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为
（ ）
A
P
B
A.[0,
)4
π
B.[
,)42
ππ
C.3(
,
]24ππ
D.3[
,)4
π
π 11．给出以下四个说法：
①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔20分钟抽取一件产品进行某项指标的检
测 ，这样的抽样是分层抽样；
②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；
③在回归直线方程122.0ˆ+=x y
中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ˆ平均增加0.2个单位；
④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2
K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．
其中正确的说法是( )
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
12．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为n m ,，则函数13
23
+-=
nx mx y 在[)∞+,1上为增函数的概率是( )
A ．
21 B ．65 C ．43 D ．3
2 二、填空题：（每小题4分，共16分.）
13. 4
(2)x +展开式中含x 项的系数等于 ．
14. 已知随机变量ξ服从正态分布2
(2)N σ，，(4)0.4P ξ≥=，则(0)P ξ=≤
15. 将7个不同的小球全部放入编号为2 和3 的两个小盒子里，使得每个盒子里
的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有____________ 种(用数字作答) . 16．如图，121,,
,-m A A A ()2≥m 为区间[]0,1上的m 等分点，直线0x =，
1x =，0y =和曲线x y e =所围成的区域为1Ω，图中m 个矩形构成的阴影区
域为2Ω，在1Ω中任取一点，则该点取自2Ω的概率等于 ________ ． 三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分10分） 已知矩阵4321M -⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
（1）求逆矩阵1M -；
(2) 求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.
18.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,2(1)()n
n S a a n n n
==
+-∈*N . (1)求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； (2)设数列11n n a a +⎧
⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：11
.54n
T ≤<
19. （本小题满分12分）
口袋中有大小、质地均相同的7个球，3个红球，4个黑球，现在从中任取3个球。

(1)求取出的球颜色相同的概率；
(2)若取出的红球数设为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

20.（本小题满分12分）
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为3
直
线:l y kx m =+交椭圆于不同的两点,A B 。

（1）求椭圆的方程；
（2）若坐标原点O 到直线l
的距离为2
，求AOB ∆面积的最大值。

21.（本小题满分12分）
已知函数(),()ln f x ax g x x ==，其中a R ∈。

（1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；
（2）若函数()[sin(1)]()G x f x g x =-+在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围；
22. （本小题满分12分）
规定(1)(1)m
x
A x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且01x A =，这是排列数m
n A (,n m 是
正整数，且m n ≤)的一种推广．
（1）求3
15A -的值；
（2）排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=，②11m m m
n n n A mA A -++= (其中,m n 是正整数)．是否都
能推广到m x A (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数3
x A 的单调区间．
参考答案：
1-5 DBADC 6-10 DBBAD 11-12 DB
13． 32； 14． 0.4 ； 15． 91 ； 16．11(1)
-m
m e
17．解: （1）4(1)2(3)462M =⨯--⨯-=-+= ks5u
1131322
2224122
2d b M M M c a M
M --⎛⎫-⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪- ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
⎝
⎭ (2)矩阵M 的特征多项式为24
3
()322
1
f λλλλλ-=
=-++，
令()0f =λ，解得121,2λλ==,
当11λ=时，得111⎛⎫= ⎪⎝⎭α,当22λ=时，得322⎛⎫
= ⎪⎝⎭
α.
18. (1)证明：由a n ＝S n n
＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1)(n ∈N *
)． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4，
∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，4为公差的等差数列。

于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n
2＝2n 2－n (n ∈N *
)．
(2)证明：T n ＝
1a 1a 2＋1
a 2a 3＋1
a 3a 4
＋…＋
1
a n a n ＋1
＝
11×5＋15×9＋19×13
＋…＋1
n －n ＋
＝14[(1－15)＋(15－19)＋(19－113)＋…＋(14n －3－14n ＋1)] ＝14(1－14n ＋1)＝n 4n ＋1<n 4n ＝14
又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15，于是，15≤T n <14
19．解：（1）设“取出的球颜色相同”为事件A
33
34337751
()357
C C P A C C =+==
所以取出的球颜色相同的概率为1
7
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3
0334374
(0)35C C P C ξ=== 12343
718(1)35
C C P C ξ===
21343712(2)35C C P C ξ=== 30
343
71
(3)35
C C P C ξ=== ξ的分布列为 ξ
1
2
3
P 435 1835 1235 135
418121459012335353535357E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯== 20．（1
）由1c a c b a =
=∴==，椭圆的方程为：2
213
x y += （2）
22
3(1)4m k =∴=+，
联立:l y kx m =+和2213x y +=，消去y ，整
理
可
得
：
2
2(1
3)63k x k m x m ++
+-=
，222(6)4(13)(33)0km k m ∴∆=-+->
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222
633
,1313km m x x x x k k --+==++
222222
2
2
2
1222224
212(1)(31)3(1)(91)12(1)()3(13)(13)961
k k m k k k AB k x x k k k k ++-++∴=+-===+++++
3
212
34(0)196
k k k
=+
≤≠++
，当且仅当k =时取等号 显然0k =时，2
34AB =<。

max 1()2222
AOB S ∆∴=⨯⨯=
21．（1）()()()ln (0)F x f x g x ax x x =-=->，11
'()ax F x a x x
-∴=-=
①当0a ≤时，'()0F x ≤，()F x 单调递减，且无极值
②当0a >时，令'()0F x =，得1
x a
=，当x 变化时，'()F x 与()F x 的变化情况如下：
x 1(0,)a 1a
1(,)a +∞ '()F x - 0
+ ()
F x
↘ 极小值 ↗
()F x ∴在1x a =
时有极小值，11
()1ln 1,1F a a a
=-=∴=
（2）()sin(1)ln (0)G x a x x x =-+>，1
'()cos(1)0G x a x x
∴=--+>在(0,1)x ∈时恒成立
①当0a ≤时，'()0G x ≥恒成立
②当0a >时，等价于
1
cos(1)x x a
≥-在(0,1)x ∈时恒成立，令()cos(1)h x x x =-，则()h x 在(0,1]x ∈时为增函数，max ()(1)1h x h ∴==，1
1a
∴≥即1a ≤
综上所述，1a ≤
（3）由（2）知，当1a =时，()G x 在(0,1)x ∈时为增函数
∴当(0,1)x ∈时，()sin(1)ln (1)0G x a x x G =-+<=
1sin(1)ln x x ∴-<，令1(0,1)t x =-∈，1
sin ln
1t t
<-，又21(0,1)(1)k ∈+ 2
2211(1)sin ln ln 1(1)(2)1(1)k k k k k +∴<=++-
+
222
22
11234(1)2(1)2
sin ln ln ln ln ln ln(2)ln 2
(1)132435(2)22
n
k n n k n n n n =++∴<++++==-<+⨯⨯⨯+++∑ 即2
1
1
sin ln 2(1)n
k k =<+∑ 22． 解：（1）3
15(15)(16)(17)4080A -=-⨯-⨯-=-；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是
①11m m x x A xA --=， ②11()m m m x x x A mA A x m -*
++=∈∈R N ，．
证明：在①中，当1m =时，左边1x A x ==，
右边0
1x xA x -==，等式成立；
当2m ≥时，左边(1)(2)
(1)x x x x m =---+
右边(1)(11)(12)[1(1)1](1)(2)(1)x x x x x m x x x x m =--------+=---+
左边=右边 即当2m ≥时，等式成立
因此①1
1m m x x A xA --=成立
在②中，当1m =时，左边101
11x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；ks5u
当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+
=(1)(2)
(2)[(1)]x x x x m x m m ---+-++
1(1)(1)(2)
[(1)1]m
x x x x x x m A +=+--+-+==右边，
因此②11()m m m x x x A mA A x m -*
++=∈∈R N ，成立．
（3）332
(1)(2)32x A x x x x x x =--=-+
先求导数，得3
2()362x
A x x '=-+．
令23620x x -+>，解得x <
或x >
因此，当x ⎛∈- ⎝⎭∞时，函数为增函数，
当x ⎫∈+⎪⎪⎝⎭
∞时，函数也为增函数，
令23620x x -+≤x ，
因此，当x ∈⎣⎦
时，函数为减函数，
∴函数3x A 的增区间为⎛- ⎝⎭∞，⎫+⎪⎪⎝⎭∞；减区间为⎣⎦
．。