中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院期末考试线性代数―答题要点

中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院期末考试
考试科目名称：线性代数――答题要点
层次：专升本考试方式：考查
要求：1、独立完成; 2、答题要求正确运用所学本课程知识,同时联系实际进行分析；
3、逻辑清晰，内容完整，文字流畅；
4、抄袭、雷同、非手写稿均记0分。

一、论行列式与线性方程组求解
1.行列式是在解线性方程组时引入的一种记号，如何计算行列式是线性代数中的一个基本问题。

请问对角线法则适用于所有阶的行列式计算吗？
2.利用克莱姆法则求解线性方程组，有条件限制吗？
解答要点：1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式的计算，四阶以上行列式失效；
2.有条件：首先要求方程组中方程的个数等于变量的个数，其次要求系数行列式
不等于零。

二、论向量组的线性相关性
对于维向量组，
1.线性相关的定义是什么？有哪些判别相关不相关的方法？（举出两种方法即可）
2.有关向量组的极大线性无关组是如何定义的？它有什么意义？
3.具体判别下列向量组是否线性相关？
，，。

解答要点：1.线性相关的定义是：存在个不全为零的常数，使线性组合
成立；可用矩阵的秩判别，可用行列式判别；
2.极大线性无关组的定义是：向量组中存在着个向量线性无关，任意个
向量线性相关，则任意个线性无关的向量组成向量组的极大线性无关组；
3.用行列式判别：因为
，
所以向量组线性相关，实际上有：。

三、论矩阵及其运算
1.矩阵也是在解线性方程组时引入的一种记号，请问矩阵有加、减、乘、除运算吗？
2.一个阶方阵可逆的定义是什么？通常有哪几种方法求矩阵的逆矩阵？
3.设阶方阵有个特征值，则与矩阵是否可逆有怎样的
关系？
解答要点： 1.矩阵有加法、减法，有数乘，有矩阵的乘法，但是没有除法，与除法类似的
运算是矩阵的求逆；
2.矩阵可逆的定义是：对方阵，若存在方阵，使（单位矩阵）则称矩阵可逆，且；
3.由特征值的性质可知，特征值的乘积等于矩阵行列式的值，所以当特征值
全不为零时，乘积不等于零，从而矩阵行列式不等于零，可逆。