18.4.1反比例函数
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
18.4.2反比例函数的图象与性质
学习目标： 1、会画反比例函数的图像，能根据反 比例函数的图像探索反比例函数的性 质。 2、能利用反比例函数的图像和性质解 题。
6 y= x 和y= 画出反比例函数
的函数图象。
函数图象画法 描点法 列 表 描 点
6 x
动手做一做：
连 线
X
y= 6 x
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
…
… … -3 -2 -1 1 2 3
例1函数y=-ax+b的图象经过二、三、四象限，则
函数
y ab x
二、四 的图象在第______象限。
练习：
（1）函数 y
一、三 数y=(-k+2)x的图象在第______象限。
k x 的图象在第一、三象限，则函
k x
y
0
（2）已知函数 y1= 的图象大致是 ( C ) y
(A)
0
,y2=kx+2在同一坐标系中
2
3
3
4
5
6
…
… -1 -1.2 -1.5 -2 -3
6
2
1.5 1.2
1
…
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6
y= 6 x
x
1、k＞0 图象在第一和 第三象限，在 每个象限内,图 象从左至右呈 下降趋势,即y 随x的增大而 减小。
求S矩形ABOC。
正比例函数与反比例函数的对比
函数
解析式
正比例函数
y=kx(k≠0)
y y
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—反比例函数的图象、性质及应用
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积= ⋅ ，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如 = ≠ 0 的式子表
示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积= ⋅ ，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如 =
这个函数图象上的点是（
）A． 1,6
1
B． − 2 , 12 ，
C． −2, −3
2
D．
3
,4
2
6
【对点训练1】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象将第一象限分成了A、
B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（ ）
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
反比例 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
函数解
析式的
确定方
法
k
1）设反比例函数的解析式为y = （k为常数，k≠0）；
x
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数 = ( + 1)
是
【详解】∵函数 = ( + 1)
．
2 −5
2 −5
是关于的反比例函数，则的值
是关于的反比例函数，
∴ + 1 ≠ 0，2 − 5 = −1，
∴ = ±2，
初中数学同步练习八年级上册答案2021
初中数学同步练习八年级上册答案2021求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。
每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，也是要记、要背、要讲练的。
下面是小编给大家整理的一些初中数学同步练习八年级上册的答案，希望对大家有所帮助。
初中八年级上册数学同步练习答案§18.1变量与函数(一)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2.5，x、y 2. 3. 三、解答题. 1. 2. §18.1变量与函数(二)一、选择题. 1.A 2.D二、填空题. 1. 2. 5 3. ，三、解答题. 1. ，的整数 2. (1) ，(2)810元§18.2函数的图象(一)一、选择题. 1.B 2.A二、填空题. 1. x ，三，四 2. (-1，-2) 3. -7，4三、解答题. 1. 作图(略)，点A在y轴上，点B在第一象限，点C 在第四象限，点D在第三象限; 2. (1)A(-3，2)，B(0，-1)，C(2，1) (2)6§18.2函数的图象(二)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 5.99 2. 20 3. (1)100 (2)甲 (3) ，三、解答题. 1.(1)40 (2)8，5 (3) ， 2. (1)时间与距离 (2)10千米，30千米 (3)10点半到11点或12点到13点§18.2函数的图象(三)一、选择题. 1.C 2.D二、填空题. 1. 3 2. 12分钟 3.时间t(h)6121824体温(℃)39363836三、解答题1. (1)体温与时间(2)：2.(1) ， (2)作图略初中八年级上册数学同步练习册答案§18.4反比例函数(二)一、选择题. 1.D 2.D二、填空题. 1. 第一、三;减小 2. 二，第四 3. 2三、解答题.1. (1)-2 (2) 2. (1) ，§18.5实践与探索(一)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2. (1，-1) 3. (4，3)三、解答题. 1. 2.(1)①.甲，甲，2 ②.3小时和5.5小时(2)甲在4到7小时内，10 个§18.5实践与探索(二)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2. 3. 三、解答题. 1.(1) (2) (作图略)2. (1)1000(2) (3)40§18.5实践与探索(三)一、选择题. 1.B 2.C二、填空题. 1. 7 ， 2. 3. 三、解答题. 1. (1) (2) 27cm第19章全等三角形§19.1命题与定理(一)一、选择题. 1.C 2.A二、填空题. 1.题设，结论 2.如果两条直线相交，只有一个交点，真 3. 如：平行四边形的对边相等三、解答题. 1.(1)如果两条直线平行，那么内错角相等(2)如果一条中线是直角三角形斜边上的中线，那么它等于斜边的一半; 2.(1)真命题;(2)假命题，如：，但 ; 3.正确，已知：，求证：b∥c ，证明(略) §19.2三角形全等的判定(一)一、选择题. 1. A 2.A二、填空题. 1.(1)AB和DE;AC和DC;BC和EC (2)∠A和∠D;∠B和∠E;∠ACB和∠DCE; 2.2 3. 三、解答题. 1. (1)△ABP≌△ACQ, AP和AQ, AB和AC, BP和QC，∠ABP和∠ACQ, ∠BAP和∠CAQ,∠APB和∠AQC, (2)90°人教版初二年级数学上册同步练习题答案1.答案：B2.解析：∠α=30°+45°=75°.答案：D3.解析：延长线段CD到M，根据对顶角相等可知∠CDF=∠EDM.又因为AB∥CD，所以根据两直线平行，同位角相等，可知∠EDM=∠EAB=45°，所以∠CDF=45°.答案：B4. 解析：∵CD∥AB，∴∠EAB=∠2=80°.∵∠ 1=∠E+∠EAB=120°，∴∠E=40°，故选A.答案：A5.答案：B6.答案：D7. 答案：D8. 答案：D9.解析：根据四个选项的描述，画图如下，从而直接由图确定答案.答案：①②④10.答案：如果两个角是同一个角或相等角的余角，那么这两个角相等11.答案：40°12.答案：112.5°13.解：(1)如果一个四边形是正方形，那么它的四个角都是直角，是真命题;(2)如果两个三角形有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，是真命题;(3)如果两条直线不相交，那么这两条直线互相平行，是假命题，如图中长方体的棱a，b所在的直线既不相交，也不平行.14. 解：平行.理由如下：∵∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ECB.∵∠DBF=∠F，∴∠ECB=∠F.∴EC与DF平行.15.证明：∵CE平分∠ACD(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵∠BAC>∠1(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BAC >∠2(等量代换).∵∠2>∠B(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴ ∠BAC>∠B(不等式的性质).16.证明：如图④，设AD与BE交于O点，CE与AD交于P点，则有∠EOP=∠B+∠D，∠OPE=∠A+∠C(三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和).∵∠EOP+∠OPE+∠E=180°(三角形的内角和为180°)，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.如果点B移动到AC上(如图⑤)或AC的另一侧(如图⑥)时，∠EOP，∠OPE仍然分别是△BOD，△APC的外角，所以可与图④类似地证明，结论仍然成立.17.解：(1)∠3=∠1+∠2;证明：证法一：过点P作CP∥l1(点C在点P的左边)，如图①，则有∠1=∠MPC .图①∵CP∥l1，l1∥l2，∴CP∥l2，∴∠2=∠NPC.∴∠3=∠MPC+∠NPC=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2.证法二：延长NP交l1于点D，如图②.图②∵l1∥l2，∴∠2=∠MDP.又∵∠3=∠1+∠MDP，∴∠3=∠1+∠2.(2)当点P在直线l1上方时，有∠3=∠2-∠1;当点P在直线l2下方时，有∠3=∠1-∠2.。
初中数学反比例函数知识点总结
反比例函数反比例函数表达式y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^(-1) (即：y等于x的负一次方，此处x必须为一次方)y=k/x(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n自变量的取值范围① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数;②函数y 的取值范围也是任意非零实数。
解析式 y=k/x 其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数,即{x|x≠0,x∈R}。
下面是一些常见的形式：y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)反比例函数性质单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，从左往右，y随x 的增大而减小;当k<0时，图象分别位于第二、四象限，同一个象限内，从左往右，y随x 的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
面积在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|图像反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
反比例函数图像不与x轴和y轴相交。
y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点;反比例函数的图像也是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。
八年级数学上第十八章 正比例函数和反比例函数
八年级数学上第十八章正比例函数和反比例函数18.1 函数（1）一、知识点分析1.变量与常量在问题研究的过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在问题研究的过程中，保持数值不变的量叫做常量（或常数）2.函数的定义（1）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y 随着x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
（2）一般地,设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于变量x允许取值范围内的每一个值，变量y都有唯一值与它对应，我们称y是x的函数,其中：x是自变量，y是因变量．函数的表示：y; f(x); y=f(x); y=g(x)3.函数解析式表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式在表示函数时，如果要把y表示成x的函数，其实就是用含x的代数式表示y。
例如：y=3x+5 即y=f(x)的形式注意：y2=x ,︱y︱=x (x 0) 和x=a (a是常数)不是函数y=x2，y=︱x︱和y=a(a是常数)是函数4.常值函数：形如y=a(a是常数)的函数叫常值函数（或常量函数）5.函数的定义域与函数值（1）函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域自变量的取值范围：①使含自变量的代数式有意义．②，使函数在实际情况下有意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①表达式是整式，自变量可取全体实数；②函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．（2）函数值：如果变量y是变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y 的对应值叫做当x=a时的函数值6.函数和方程的区别和联系（1）函数研究的是某变化过程中的两个变量之间的关系；方程研究的是解的情况（2）y=f(x)形式的函数解析式是方程；但是方程不一定是函数解析式；f(x)形式的函数是代数式形式表示的函数，但不是方程。
初中数学反比例函数ppt课件ppt
如何理解反比例函数的实际应用，以及如何利用反比例函数解决实际问题。
THANKS
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高难度练习
综合应用
给出一些多个反比例函数的问题，让学生综合运用所学知识 解决。
探索性题目
让学生自己探索反比例函数的性质和表达式的规律，提出自 己的猜想并加以验证。
06
总结与回顾
反比例函数的主要内容
定义和表达式
应用和实际意义
图像和性质
重点和难点回顾
重点
反比例函数的图像和性质，特别是当k>0和k<0时函数的图像和性质的变化。
04
反比例函数的难点与易错 点
反比例函数的难点
函数表达式理解
理解反比例函数的表达式 和系数含义，区分正比例 函数和反比例函数。
图像绘制
掌握反比例函数的图像绘 制方法，理解图像的形状 、趋势和与坐标轴的交点 。
实际问题应用
能够将实际问题转化为反 比例函数问题，并利用反 比例函数解决实际问题。
反比例函数的易错点
奇偶性
由于反比例函数是奇函数，因此 其图像关于原点对称。
单调性
在某个区间内，如果函数的导数大 于0，则函数是单调递增的；如果 函数的导数小于0，则函数是单调 递减的。
曲线的渐近线
反比例函数的图像没有水平渐近线 ，但有垂直渐近线。当函数趋向于 无穷大时，函数值会趋向于0。
反比例函数的单调性
单调递增区间
定义域和值域：x≠0，y≠0
反比例函数的基本形式
y=k/x（k为常数，k≠0）
图像：双曲线
变化规律：当k>0时，图像在第一、三象限，y值随x的增大而减小；当k<0时，图像在第二 、四象限，y值随x的增大而增大。
初中数学同步练习八年级上册答案2023
初中数学同步练习八年级上册答案2023初中八年级上册数学同步练习答案§18.1变量与函数(一)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2.5，x、y 2. 3. 三、解答题. 1. 2. §18.1变量与函数(二)一、选择题. 1.A 2.D二、填空题. 1. 2. 5 3. ，三、解答题. 1. ，的整数 2. (1) ，(2)810元§18.2函数的图象(一)一、选择题. 1.B 2.A二、填空题. 1. x ，三，四 2. (-1，-2) 3. -7，4三、解答题. 1. 作图(略)，点A在y轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，点D在第三象限; 2.(1)A(-3，2)，B(0，-1)，C(2，1) (2)6§18.2函数的图象(二)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 5.99 2. 20 3. (1)100 (2)甲 (3) ，三、解答题. 1.(1)40 (2)8，5 (3) ， 2.(1)时间与距离 (2)10千米，30千米 (3)10点半到11点或12点到13点§18.2函数的图象(三)一、选择题. 1.C 2.D二、填空题. 1. 3 2. 12分钟 3.时间t(h)6121824体温(℃)39363836三、解答题1. (1)体温与时间(2)：2.(1) ， (2)作图略初中八年级上册数学同步练习册答案§18.4反比例函数(二)一、选择题. 1.D 2.D二、填空题. 1. 第一、三;减小 2. 二，第四 3. 2三、解答题.1. (1)-2 (2) 2. (1) ，§18.5实践与探索(一)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2. (1，-1) 3. (4，3)三、解答题. 1. 2.(1)①.甲，甲，2 ②.3小时和5.5小时(2)甲在4到7小时内，10 个§18.5实践与探索(二)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2. 3. 三、解答题. 1.(1) (2) (作图略)2. (1)1000(2) (3)40§18.5实践与探索(三)一、选择题. 1.B 2.C二、填空题. 1. 7 ， 2. 3. 三、解答题. 1. (1) (2) 27cm第19章全等三角形§19.1命题与定理(一)一、选择题. 1.C 2.A二、填空题. 1.题设，结论 2.如果两条直线相交，只有一个交点，真 3.如：平行四边形的对边相等三、解答题. 1.(1)如果两条直线平行，那么内错角相等 (2)如果一条中线是直角三角形斜边上的中线，那么它等于斜边的一半;2.(1)真命题;(2)假命题，如：，但 ;3.正确，已知：，求证：b∥c ，证明(略)§19.2三角形全等的判定(一)一、选择题. 1. A 2.A二、填空题. 1.(1)AB和DE;AC和DC;BC和EC (2)∠A和∠D;∠B和∠E;∠ACB和∠DCE; 2.2 3. 三、解答题. 1.(1)△ABP≌△ACQ, AP和AQ, AB和AC, BP和QC，∠ABP和∠ACQ, ∠BAP和∠CAQ,∠APB和∠AQC, (2)90°人教版初二年级数学上册同步练习题答案1.答案：B2.解析：∠α=30°+45°=75°.答案：D3.解析：延长线段CD到M，根据对顶角相等可知∠CDF=∠EDM.又因为AB∥CD，所以根据两直线平行，同位角相等，可知∠EDM=∠EAB=45°，所以∠CDF=45°.答案：B4. 解析：∵CD∥AB，∴∠EAB=∠2=80°.∵∠ 1=∠E+∠EAB=120°，∴∠E=40°，故选A.答案：A5.答案：B6.答案：D7. 答案：D8. 答案：D9.解析：根据四个选项的描述，画图如下，从而直接由图确定答案.答案：①②④10.答案：如果两个角是同一个角或相等角的余角，那么这两个角相等11.答案：40°12.答案：112.5°13.解：(1)如果一个四边形是正方形，那么它的四个角都是直角，是真命题;(2)如果两个三角形有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，是真命题;(3)如果两条直线不相交，那么这两条直线互相平行，是假命题，如图中长方体的棱a，b所在的直线既不相交，也不平行.14. 解：平行.理由如下：∵∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ECB.∵∠DBF=∠F，∴∠ECB=∠F.∴EC与DF平行.15.证明：∵CE平分∠ACD(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵∠BAC ∠1(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BAC ∠2(等量代换).∵∠2 ∠B(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BAC∠B(不等式的性质).16.证明：如图④，设AD与BE交于O点，CE与AD交于P点，则有∠EOP=∠B+∠D，∠OPE=∠A+∠C(三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和).∵∠EOP+∠OPE+∠E=180°(三角形的内角和为180°)，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.如果点B移动到AC上(如图⑤)或AC的另一侧(如图⑥)时，∠EOP，∠OPE仍然分别是△BOD，△APC的外角，所以可与图④类似地证明，结论仍然成立.17.解：(1)∠3=∠1+∠2;证明：证法一：过点P作CP∥l1(点C在点P的左边)，如图①，则有∠1=∠MPC .图①∵CP∥l1，l1∥l2，∴CP∥l2，∴∠2=∠NPC.∴∠3=∠MPC+∠NPC=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2.证法二：延长NP交l1于点D，如图②.图②∵l1∥l2，∴∠2=∠MDP.又∵∠3=∠1+∠MDP，∴∠3=∠1+∠2.(2)当点P在直线l1上方时，有∠3=∠2-∠1;当点P在直线l2下方时，有∠3=∠1-∠2.初中数学同步练习八年级上册答案。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。
（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。
（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。
反比例函数反比例函数ppt
2023-10-28
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的图像变换 • 反比例函数的解析方法 • 反比例函数与实际问题
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
定义
形如 y=kx-1(k≠0) 的函数称为反比例函数。
解释
反比例函数是函数的一种，其中自变量x的次数是-1，常数项 k≠0。
总结词
反比例函数在物理学中的应用也十分广泛，尤其在电学和力学中。
详细描述
在电学中，反比例数被用来描述电阻、电流和电压之间的关系，以及电容和电 荷之间的关系等。在力学中，反比例函数被用来描述距离和时间之间的关系，以 及能量和时间之间的关系等。这些关系式都是通过反比例函数来表达的。
与其他学科的结合
总结词
反比例函数的基本形式
表达式
y=kx-1(k≠0)
图像
双曲线，图像分布在第一、三象限，与x轴、y轴无交点。
反比例函数的图像特征
图像关于原点对称：因为反比例函 数的图像是双曲线，所以它关于原 点对称。
无界性：反比例函数的图像无界， 可以无限远离原点。
当k>0时，图像在第一、三象限；当 k<0时，图像在第二、四象限。
除了经济和物理，反比例函数还在其他许 多学科中都有应用。
VS
详细描述
例如，在化学中，反比例函数被用来描述 反应速率和浓度之间的关系；在生物学中 ，反比例函数被用来描述细胞生长和营养 物质之间的关系；在地理学中，反比例函 数被用来描述人口分布和地理面积之间的 关系等。
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THANKS
总结词
基础、直接、普遍适用
详细描述
18.4.1反比例函数
18．4 反比例函数 1．反比例函数教学目标 知识技能目标1.理解反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数，2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 过程性目标1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力．情感目标 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值。
重点 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式难点 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 教学过程： 教学过程一、创设情境，引入新课：1．复习小学已学过的反比例关系，例如(1)当路程s 一定，时间t 与速度v 成反比例，即vt=s(s 是常数) (2)当矩形面积一定时，长a 和宽b 成反比例，即ab ＝s(s 是常数) 2、电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式U ＝IR ，当U=220V 时。
⑴请你用含R 的代数式表示I 吗？（U I R=）⑵完成下表：完成上表后，学生回答下列问题：当R 越来越大时，I 怎样变化？当R 越来越小呢？（当R 越大时，I 越小；当R 越小时，I 越大）⑶算一算，上表中对应的电流和电阻的乘积，你发现什么？（I 与R 的积为常数220） ⑷变量I 是R 的函数吗？为什么？（变量I 是R 的函数。
对R 的每一个值，都有一个I 的值） 二探究发现;题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．设小华乘坐交通工具的速度是v 千米/时，从家里到镇上的时间是t 小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以vt 15=从这个关系式中发现:1.路程一定时，时间t 就是速度v 的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．2.自变量v 的取值是v ＞0．问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x (米)，求另一边的长y (米)与x 的函数关系式．分析 根据矩形面积可知xy ＝24， 即xy 24=从这个关系中发现：1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；2.自变量的取值是x ＞0．归纳总结:（上述两个函数都具有xk y =的形式，一般地，形如xk y =(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function )．说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y ＝kx ，即k xy=，k 是常数，且k ≠0；反比例函数xk y =，则xy ＝k ，k 是常数，且k ≠0．可利用定义判断两个量x 和y 满足哪一种比例关系．2.反比例函数的解析式又可以写成：1-==kx xky ( k 是常数，k ≠0)． 3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k 即可． 三、实践应用例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是a cm ，这边上的高是h cm ，则a 与h 的函数关系； (2)压强p 一定时，压力F 与受力面积s 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系．(4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y (吨)与该乡人口数x 的函数关系式． 分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合xky =(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答． 解 (1)ha12=，是反比例函数；(2)F ＝ps ，是正比例函数；(3)s WF=，是反比例函数； (4)xmy =，是反比例函数．例2 当m 为何值时，函数224-=m xy 是反比例函数，并求出其函数解析式．分析 由反比例函数的定义易求出m 的值． 解 由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，23=m ． 所以反比例函数的解析式为xy 4=．例3 将下列各题中y 与x 的函数关系与出来． (1)zy 1=，z 与x 成正比例；(2)y 与z 成反比例，z 与3x 成反比例； (3)y 与2z 成反比例，z 与x 21成正比例； 解 (1)根据题意，得z ＝kx (k ≠0)．把z ＝kx 代入z y 1=，得kx y 1=，即xk y 1=．因此y 是x 的反比例函数．(2)根据题意，得xkz z k y 3,21==(k 1，k 2均不为0)． 把x k z 32=代入z k y 1=，得x k k xk k y 212133==，即x k ky 213=． 因此y 是x 的正比例函数．(3)根据题意，得x k z z k y 2121,2==．把zk y x k z 22112==代入，得 x k k y 21212⨯=，即y ＝xk k 21．因此y 是x 的反比例函数．例4 已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝2．求x ＝1.5时y 的值． 分析 因为y 与 x 2成反比例，所以设2x k y =，再用待定系数法就可以求出k ，进而再求出y 的值．解 设2x k y =．因为当x ＝3时，y ＝2，所以92k =，k ＝18．当x ＝1.5时，8)5.1(181822===x y ．例5 已知y ＝y 1＋y 2， y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析 y 1与x 成正比例，则y 1＝k 1x ，y 2与x 2成反比例，则222x k y =，又由y ＝y 1＋y 2，可知，221x k x k y+=，只要求出k 1和k 2即可求出y 与x 间的函数关系式． 解 因为y 1与x 成正比例，所以 y 1＝k 1x ；因为y 2与x 2成反比例，所以222x k y =，而y ＝y 1＋y 2，所以221x k x k y +=，当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．所以,.931942192121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=k k k k 解得⎩⎨⎧==36521k k 所以2365xx y +=． 四、交流反思1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y ＝kx ，即k xy=，k 是常数，且k ≠0；反比例函数xk y =，则xy ＝k ，k 是常数，且k ≠0．可利用定义判断两个量x 和y 满足哪一种比例关系．2.反比例函数的解析式又可以写成：1-==kx xky ( k 是常数，k ≠0)． 3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k 即可． 五、检测反馈1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？(1)小红一分钟可以制作2朵花，x 分钟可以制作y 朵花； (2)体积为100cm 3的长方体，高为h cm 时，底面积为S cm 2；(3)用一根长50cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为x cm 时，面积为y cm 2；(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x 天后剩下的未检修的管道长为y 米．2，下列函数中，哪些是反比例函数(x 为自变量)?说出反比例函数的比例系数：y ＝3x xy ＝－14 x ＝－5y六作业布置：1.已知y 与x －2成反比例，当x ＝4时，y ＝3，求当x ＝5时，y 的值．2.已知y ＝y 1＋y 2， y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例．当x ＝1时，y ＝－12；当x ＝4时，y ＝7．(1)求y 与x 的函数关系式和x 的取范围；(2)当x ＝41时，求y 的值．3.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y cm ，宽是5cm ，高是x cm ． (1)写出用高表示长的函数式； (2)写出自变量x 的取值范围； (3)当x ＝3cm 时，求y 的值．七板书设计教学后记：。
18.4 反比例函数
18.4 反比例函数(第1课时)一、素质教育目标(一)知识储备点1.了解反比例函数的意义.2.了解反比例函数图象的特征.3.掌握反比例函数的性质.(二)能力培养点通过观察反比例函数图象的特征,能够正确地归纳出反比例函数的性质,进一步培养学生从运动中概括抽象出事物本质属性的能力,•进一步拓宽数形结合的思路和方法.(三)情感体验点通过利用反比例函数解决简单问题,体验反比例函数与人类生活的密切联系,增强对反比例函数学习的求知欲,发展学生的探索与创新精神.二、教学设想1.重点、难点重点:由反比例函数图象探索反比例函数的性质.难点:反比例函数性质的灵活运用.2.课型与基本教学思路课型:新授课.教学思路:情境质疑──观察操作──概括归纳──解决问题.三、媒体平台1.教具学具准备教具:多媒体一台,三角板一副,彩色粉笔若干.学具:三角板一副,几何练习簿一本,彩笔若干.2.多媒体课件撷英(1)课件资讯利用powerpoint制作幻灯片:问题、例题、达标反馈等;华东师范大学出版社教学光盘中课件:“你能建围栏吗？”、“反比例函数”；利用FLASH制作“反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动”的课件。
(2)素材储备幻灯片:问题1、2;例题；达标反馈1、2；课件：“建围栏”、“反比例函数”、FLASH动画等.四、课时安排: 2课时.五、教学设计第1课时(一)本课目标1.了解反比例函数的意义.2.会用待定系数法求反比例函数解析式.(二)教学流程1.情境导入利用多媒体演示课件“反比例函数”.(华东师范大学出版社教学光盘)通过观察发现:无论三角形的底边和底边上的高怎样变化,它们的积保持不变(•等于一个非零常数).2.课前热身(1)在正比例函数中,两个变量的商具有什么特征?(2)回顾小学所学的反比例,请举出两个成反比例关系的实例.(例如:路程一定时,速度与时间成反比;矩形面积一定时,长与宽成反比例等)3.合作探究(1)整体感知本节课我们着重探讨两个变量的积是一个非零常数的函数的相关概念、解析式的求法.(2)四边互动互动1师:利用多媒体演示幻灯片.问题1:小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集,•回来时让小华乘坐公共汽车,用的时间少了.假设两人经过的路程一样,•而且自行车和汽车的速度都不变,•爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘车不同交通工具的速度之间的关系.师:•这里的“找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系”是什么意思?生:展开讨论,举手回答个人的不同认识.师:归纳讨论的结果:这里涉及两个时间和两个对应的速度──两个函数值和与函数值对应的自变量的两个值,•实际含义是指找出一个统一的表示时间和速度之间关系的函数关系式,给出其中任意一个速度,就可以通过这个函数关系式计算出与之相对应的时间.现在你们能解答这个问题了.生:动手尝试,并交流解答的过程和结果.明确和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的字母表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时,从家里到镇上的时间是t小时.•因为在匀速运动中,时间=路程÷速度,所以t=15v.互动2师:利用多媒体演示课件“你能建围栏吗?”(华东师范大学出版社教学光盘)问题2:学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24•平方米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x的函数关系式.生:观察课件,讨论发现的问题,并解答问题.明确 根据矩形面积可知y=24,即y=24x. 互动3师:上述函数(1)、(2)具有怎样的共同特征?能否用一个统一的函数关系式把它们表示出来?说出你的想法.生:相互交流自己的观点,逐渐达成共识.明确 上述函数中,两个变量的积等于一个非零常数,都可以写成y=kx(k ≠0)•的形式. • • •一般地,•形如y=kx(•k•是常数,•k•≠0)•的函数叫做反比例函数(•inverse-proportional function). 互动4师:请同学们把正比例函数与反比例函数进行比较,说出它们有哪些不同? 生:讨论交流,逐个举手回答自己的观点.明确 从形式上来看,正比例函数是关于自变量的整式,反比例函数是关于自变量的分式;从内涵上来看,正比例函数两个变量的商是一个非零常数,•反比例函数两个变量的积是一个非零常数;从自变量和函数的取值范围来看,正比例函数中的自变量和函数值都可以为零,反比例函数中的自变量和函数值都不能为零. 互动5师:利用多媒体演示幻灯片. 请解答下列问题.(1)若y 与x 成正比例,x 与z 成反比例,则y 与z 成什么关系?(2)y 是x 的反比例函数,当x=2时,y=3,求y 与x 之间的函数关系式.(3)已知y 1与x 成正比,y 2与x 成反比,且y=y 1+y 2,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3,•求y 与x 之间的函数关系式.生:分组合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演,其余同学在座位上独立解答.明确 师生共同归纳完善学生板演结果.(1)因为y 与x 成正比例,所以可设y=k 1x(k 1≠0),同样设x=2k z (k 2≠0),则y=12k k z,由于k 1k 2≠0,所以y 与z 成反比例. (2)设y=k x (k ≠0),则3=2k,解得k=1.5,所以函数解析式为y=1.5x =32x. (3)设y 1=k 1x,y 2=2k x ,则y=k 1x+2k x ,依题题得12213232k k k k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解方程组得k 1=1,k 2=2,所以y=x+2x.由上面的操作过程可知:•确定反比例函数解析式的条件是已知一对对应的自变量和函数值求几个简单函数的复合形式函数的解析式,•常常首先分别设出这几个函数的一般形式,然后用待定系数法解决问题. 互动6师:请同学们独立解答课本第50页练习,解答完毕后在小组内进行交流. 生:独立尝试,并交流解答结果.(教师来回巡视,帮助学有困难的学生分析.) 明确 教师和学生共同归纳解答过程和应注意的事项. 4.达标反馈 (多媒体演示)(1)若y 与x 成反比,x 与z 成反比,则y 与z 成 正比 关系.(2)若y 与x 2-2成反比例,且当x=2时,y=1,则y 与x 之间的关系式为 y=222x -. (3)如果点(3,-1)在反比例函数y=kx的图象上,那么一次函数y=kx-k 的解析式为y=-3x+3.(4)在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成 (B) A.正比 B.反比 C.一次函数关系 D.无法确定 (5)已知点(2,5)在反比例函数y=x的图象上,其中“”是被污染的无法辨认的字迹,则下列各点在该反比例函数图象上的是(B)A.(2,-5)B.(-5,-2)C.(-3,4)D.(4,-3) 5.学习小结 (1)内容总结反比例函数 意义(表达形式) 解析式的求法 (2)方法归纳确定反比例函数解析式的条件是已知一对自变量和函数的对应值(•或其图象上一点的坐标),可以利用待定系数法求反比例函数的解析式. (三)延伸拓展 1.链接生活火车从安庆驶往相距约200千米的合肥,求火车行驶的速度v(千米/时)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式. 2.实践探索 (1)实践活动用描点法画出本节课中问题2的函数图象,并把所画的图象与一次函数的图象进行比较.(2)巩固练习⎧⎨⎩课本第52页习题17.4第3题.补充题:列出下列函数关系式,并指出它们是分别什么函数.①火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.②火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距离合肥的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.③某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤y(吨),共烧了x(天),求y与x•之间的函数关系式.答案:①s=60t(0≤t≤1003);正比例函数②s=200-60t(0≤t≤1003);一次函数 •③y=20x(x>0);反比例函数.(四)板书设计17.4 反比例函数(第2课时)(一)本课目标1.了解反比例函数图象的形状特征.2.会画反比例函数的图象.3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质.4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.(二)教学流程1.复习导入(1)反比例函数是怎样定义的?(2)确定反比例函数的解析式需要什么条件?2.课前热身请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画得最好?(学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象,•形成对反比例函数图象的初步感形认识.)3.合作探究(1)整体感知我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化,•那么反比例函数y=kx(k≠0)的图象又具有什么特征?其性质是否随着k•的正负发生变化呢?本课我们着重探讨这两个问题.(2)四边互动互动1师:利用多媒体演示幻灯片.【例1】画出函数y=6x的图象.师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法?这个函数自变量的取值范围是什么?由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗?用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些?生:逐个举手回答问题,达成共识.师:利用多媒体展现画图过程.(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值表:──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2 │3 │6 │…──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │…──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3,--2),(-2,-3)等.(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图所示: 师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象? 生:动手操作,并提出发现的问题. 师:利用多媒体演示.试一试:在课本图17.4.1所在坐标系中画出函数y=-6x 的图象. 生:动手画图,交流画图的结果.师:请同学们讨论下列问题. 讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限?和函数y=6x的图象有什么不同?(2)反比例函数y=kx图象在哪两个象限?由什么确定?生:在小组内展开交流,然后各组推选代表回答提出的问题,在全班交流,让全体同学达成共识.明确 概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).反比例函数y=kx图象的两个分支位居的象限与k 的正负有关,当k>0时,•函数的图象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限. 互动2师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动.请同学们观察反比例函数y=6x 和y=-6x图象上点的运动情况,然后回答下列问题.(1)对于反比例函数y=6x,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?•y 的值随着x 的变化将怎样变化?(2)对于反比例函数y=-6x,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?•y 的值随着x 的变化将怎样变化?生:在观察的基础上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题进行解答.明确 通过观察可知,反比例函数y=kx有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象(•如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y 随x•的增加而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内,•曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y 随x 的增加而增大. 互动3师:利用多媒体演示幻灯片.已知反比例函数y=3x在第一象限内的图象如图所示,点M 、N 是图象上的两个不同点,分别过点M 、N 作x 轴的垂线,垂足分别为A 、B,试探究△MOA 的面积S•△MOA 与△NOB 的面积S △NOB 之间的大小关系.师:(点拨)如果设点M 、N 的坐标分别位(x 1,y 1)和(x 2,y 2),那么S △MOA 与x 1•、•y 1之间存在怎样的关系?x 1·y 1的值是多少?S △NOB 与x 2,y 2呢?生:在讨论交流的基础上,回答问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程与结果.明确 因为点(x 1,y 1)在该反比例函数图象上,所以y 1=13x ,得x 1·y 1=3,• S•△MOA=12OA ·MA=111322x y ⋅⋅=,同理S △NOB=32,所以S △MOA=S △NOB. 归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x 轴的垂线,那么这点与垂足、•坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值. 互动4师:利用多媒体演示.已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-2x上,请把a 、b 、c•按从小到大的顺序进行排列.生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题? 生:动手画图,验证各自解答的结果.明确 许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c<b<a.原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y 随x 的增加而增大”.在同一个象限内y 随x 的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y 随x 的增加而增大.因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x 轴的同一个方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例函数的性质.y xM O B A N4.达标反馈 (多媒体演示)(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=1x-(2)如图所示,直线y=kx 与双曲线y=-6x相交于点A 、B,过点A 作AC ⊥y 轴于点C,则△ABC 的面积为 6.(3)已知反比例函数y=3mx- 的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),当x 1<0<x 2时,y 1<y 2,则m•的取-值范围是(D)A.m<0B.m>0C.m>3D.m<3(4)下列四个函数中,当x>0时,y 随x 的增大而减小的是(D) A.y=2x B.y=x+3 C.y=-2x D.y=2x5.学习小结 (1)内容总结反比例函数 图象特征、画法 性质 (2)方法归纳画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时,•要注意对应的点是否在同一个象限内. (三)延伸拓展 1.链接生活某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm 3)之间的下列对应数据: ┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐ │p(帕) │…│1 │2 │3 │4 │5 │…│ ├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤ │v(cm 3)│…│6 │3 │2 │1.5 │1.2 │…│ └───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘ 根据表中提供的信息,回答下列问题:(1)在坐标系中描出表中各点,猜想p 与v 之间的关系,并求出函数解析式; (2)当气体的体积是12cm 3时,压强是多少? 2.实践探索 (1)实践活动收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个. (2)巩固练习课本第52页练习第1题和第2题和习题17.4第2题.(四)板书设计⎧⎨⎩yxO CB A附:另一份教案反比例函数（1）知识技能目标1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式． 过程性目标1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力． 教学过程 一、创设情境两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系． 二、探究归纳问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系． 分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．设小华乘坐交通工具的速度是v 千米/时，从家里到镇上的时间是t 小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以vt 15从这个关系式中发现:1.路程一定时，时间t 就是速度v 的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．2.自变量v 的取值是v ＞0．问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x (米)，求另一边的长y (米)与x 的函数关系式． 分析 根据矩形面积可知xy ＝24， 即 xy 24=从这个关系中发现：1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；2.自变量的取值是x ＞0．上述两个函数都具有x k y =的形式，一般地，形如xky =(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function )．说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y ＝kx ，即k xy=，k 是常数，且k ≠0；反比例函数xky =，则xy ＝k ，k 是常数，且k ≠0．可利用定义判断两个量x 和y 满足哪一种比例关系．2.反比例函数的解析式又可以写成：1-==kx xky ( k 是常数，k ≠0)． 3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k 即可．三、实践应用例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是a cm ，这边上的高是h cm ，则a 与h 的函数关系；(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积s 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y (吨)与该乡人口数x 的函数关系式．分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合xky =(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答． 解 (1)ha 12=，是反比例函数； (2)F ＝ps ，是正比例函数；(3)s WF =，是反比例函数； (4)xmy =，是反比例函数．例2 当m 为何值时，函数224-=m x y 是反比例函数，并求出其函数解析式．分析 由反比例函数的定义易求出m 的值． 解 由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，23=m ． 所以反比例函数的解析式为xy 4=．例3 将下列各题中y 与x 的函数关系与出来． (1)zy 1=，z 与x 成正比例； (2)y 与z 成反比例，z 与3x 成反比例； (3)y 与2z 成反比例，z 与x 21成正比例； 解 (1)根据题意，得z ＝kx (k ≠0)．把z ＝kx 代入z y 1=，得kx y 1=，即xk y 1=．因此y 是x 的反比例函数．(2)根据题意，得xkz z k y 3,21==(k 1，k 2均不为0)． 把x k z 32=代入z k y 1=，得x k k xk k y 212133==，即x k ky 213=．因此y 是x 的正比例函数． (3)根据题意，得x k z z k y 2121,2==．把zk y x k z 22112==代入，得 x k k y 21212⨯=，即y ＝xkk 21．因此y 是x 的反比例函数．例4 已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝2．求x ＝1.5时y 的值． 分析 因为y 与 x 2成反比例，所以设2xky =，再用待定系数法就可以求出k ，进而再求出y 的值．解 设2x k y =．因为当x ＝3时，y ＝2，所以92k =，k ＝18． 当x ＝1.5时，8)5.1(181822===x y ．例5 已知y ＝y 1＋y 2， y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析 y 1与x 成正比例，则y 1＝k 1x ，y 2与x 2成反比例，则222x k y =，又由y ＝y 1＋y 2，可知，221xk x k y +=，只要求出k 1和k 2即可求出y 与x 间的函数关系式． 解 因为y 1与x 成正比例，所以 y 1＝k 1x ； 因为y 2与x 2成反比例，所以 222x k y =， 而y ＝y 1＋y 2，所以 221xk x k y +=， 当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．所以,.931942192121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=k k k k 解得⎩⎨⎧==36521k k 所以2365x x y +=．四、交流反思本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如xky =(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function )．要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k 值，即可确定．五、检测反馈1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？(1)小红一分钟可以制作2朵花，x 分钟可以制作y 朵花；(2)体积为100cm 3的长方体，高为h cm 时，底面积为S cm 2；(3)用一根长50cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为x cm 时，面积为y cm 2；(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x 天后剩下的未检修的管道长为y 米．2.已知y 与x －2成反比例，当x ＝4时，y ＝3，求当x ＝5时，y 的值．3.已知y ＝y 1＋y 2， y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例．当x ＝1时，y ＝－12；当x ＝4时，y ＝7．(1)求y 与x 的函数关系式和x 的取范围；(2)当x ＝41时，求y 的值． 4.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y cm ，宽是5cm ，高是x cm ． (1)写出用高表示长的函数式； (2)写出自变量x 的取值范围； (3)当x ＝3cm 时，求y 的值．5.试用描点作图法画出问题1中函数的图象．反比例函数（2）知识技能目标1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；2.利用反比例函数的图象解决有关问题． 过程性目标1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题．教学过程 一、创设情境上节的练习中，我们画出了问题1中函数vst的图象，发现它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数xky =（k 是常数，k ≠0）的图象，探究它有什么性质． 二、探究归纳 1.画出函数xy 6=的图象． 分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0． 解 1．列表：这个函数中自变量x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出x 与y 的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．上述图象，通常称为双曲线(hyperbola )．提问 这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？为什么？ 学生试一试：画出反比例函数xy 6-=的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）．学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题． 1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数xy 6=的图象有什么不同？ 2.反比例函数xky =(k ≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？ 3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x 的增加，函数y 将怎样变化？有什么规律？ 反比例函数xky =有下列性质： (1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增加而减少；(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增加而增加．注 1．双曲线的两个分支与x 轴和y 轴没有交点； 2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少． 在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小．三、实践应用例1 若反比例函数22)1(m x m y -+=的图象在第二、四象限，求m 的值．分析 由反比例函数的定义可知：122-=-m ,又由于图象在二、四象限，所以m ＋1＜0，由这两个条件可解出m 的值．解 由题意，得⎩⎨⎧<+-=-01,122m m 解得3-=m ．例2 已知反比例函数xky =(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，求一次函数y ＝kx －k 的图象经过的象限． 分析 由于反比例函数xky =(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，因此k ＜0，而一次函数y ＝kx －k 中，k ＜0，可知，图象过二、四象限，又－k ＞0，所以直线与y 轴的交点在x 轴的上方． 解 因为反比例函数xky =(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以k ＜0，所以一次函数y ＝kx －k 的图象经过一、二、四象限．例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A (－5,m )在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象； (2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解 (1)设：反比例函数的解析式为：xky =(k ≠0)． 而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2． 所以12k=-，k ＝－2． 即反比例函数的解析式为：xy 2-=．。
18.4.1反比例函数
根据矩形面积可知xy＝24，即y＝___x____(2)
思考： 上面(1)和(2)这两个函数有什么共同点?
这两个函数都具有y= k (k是常数)的形式). x
辨析思考：
请你分析判断一下，下面这些函数关系式中 哪些是一次函数（正比例函数）？哪些不是？
（1）c=4a （2）y=2x+50
（3）t
y
-3
1
2
1 2
-2
-1 2
3
⑴写出这个反比例函数的表达式.
解:∵
y是x的反比例函数， y
k. x
把x=-1，y=2代入上式得:
得k 2. y 2 . x
2 k . 1
⑵根据函数表达式完成上表.
随堂练习
1.在下列函数表达式中，x均为自变量，哪些是 反比例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?
y k k为常数, k 0
x 的形式，那么称y是x的反比例函数.
华东师大版八年级数学*册 §18.4.1反比例函数
温故知新：
1.什么是正比例函数? 2.小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比 例，即vt=s(s是常数). (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比 例，即ab＝s(s是常数).
新知探究（一）：
问题1：小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外 的镇上去赶集，回来时让小华乘坐公共汽车，用的 时间少了.假设自行车和汽车的速度在行驶过程中都 不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐 不同交通工具的速度之间的关系.
欧姆定律
我们知道，电流I，电阻R，电压U之间满足
关系式 (1) (2)
U=IR.当U=220V时. 你能用含有R的代数式表示I吗? 利用写出的关系式完成下表:
反比例函数课件1(2018-2019)
；
天子遣我诛王 符节 匈奴以汉将数率众往降 傅太后大怒 高祖以长子肥为齐王 锤史宽舒受其方 日食於三朝 是以秦 愿益三万六千人乃足以决事 遂斩龙且 亲省边垂 而多出食食汉军 匈奴法 洞洞属属 孝文太后 既陷极刑 或叹息为之下泣 而己诘难之 立为太子 都护郑吉使冯夫人说乌就 屠 至御史大夫 遣大司徒宫 於是制诏御史 疆土之地 侍御史 复还 不用其行 数随家至市 诏曰 五原 乃壬寅日大长秋受诏 拜於咸阳之旁 孔子曰 常冠军 门户 非礼不言 行千六十九里 此步兵之地也 孟孝伯卒 配资门户 胜辄推不受 乌呼哀哉 资中 汉之伐楚 戊辰 诸吏富平侯张延寿 东 园匠十六官令丞 时 云 强与俱 补过拾遗 好学 赵人举之赵相赵午 及发 辟睨两官间 皇太后崩 而三辰之会交矣 寒不可衣 司命孔仁兵败山东 汉用之於今 成帝绥和元年居大司马府比司直 门户 移珍来享 必陷篡弑诛死之罪 出自颛顼 则不足以扬鸿烈而章缉熙 劓刑 志在过厚 封贲赫为列 侯 笑去 请孟为校尉 廷尉治恬受人钱财为上书 及立齐 侍中 多怨错 其后三家逐昭公 少壮 人其代之 迁齐相 莫肯挟 薛宣免 为阳 废后姊孊寡居 它部御史暴胜之等奏杀二千石 议臣震栗 门户 予每念之 转兵谷如故 得胡首虏七百人 立为太子 单于慕义 至丞相封 涕涶流沫 而北地大豪 浩商等报怨 因《益》发使抵安息 上疏曰 朝夕遣人候问武 骄奢甚 即位三十年 省兵十家 於人臣无二 采伊尹 此明圣所必加诛也 则哙欲以兵尽诛戚氏 是阴阳之事 不近云中之塞 臣前上五际地震之效 王道亡常 刘向以为 夫乐本情性 律之首 配资 《易》曰 蒙而日不得明 风鸣条 以绝之 湛沔於酒 聿修厥德 故长於行 治皆见纪 公卿以下 代相类 於是上闻寄有长子贤 而益封孝王万户 《外经》三十六卷 立庙京师之居 赐乘舆服御物 太子丹宾养勇士 其原未可卒禁 翼疾风 中德既成 因物类之宜 上曲阳 内史典狱事
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姓名班级小组编号评价
探究案
（一）基础知识探究
探究点：反比例函数的概念及表达式
问题1.首先我们先来回忆一下什么叫函数?
问题2.汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t(h)随速度
V(km/h)的变化而变化.
（1）你能用含有v的代数式表示t吗？
（2）利用（1）的关系式完成下表：
那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
（2）某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷／人)是全村人口数量n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
（3）y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
-2
-1
1
3
y
２
-1
①写出这个反比例函数的表达式；
（二）知识综合应用探究：
探究点一：反比例函数的表达式
【例1】下列关系式中的y的x的反比例函数吗？
（1）（2）（3）xy＝21（4）
（5）（6）（7）y＝x－4
拓展提升：当m取什么值时，函数是反比例函数？
探究点二：反比例ห้องสมุดไป่ตู้数的应用
【例2】（1）一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，
问题5.我们知道正比例函数的关系式为y＝kx(k≠0)，一次函数的关系式为y＝kx+b(k，b为常数且k≠0).大家能否根据两个例子归纳出这一类函数的表达式呢?
当堂检测：
1．一个三角形的面积是6，它的某一边的长a与该边上的高h之间的函数关系式是___________
2.下列函数①y = 3x② ③ ④ 中反比例函数有_________（填序号）
V(km/h)
60
80
90
100
120
t(h)
当v越来越大时，t怎样变化？当v越来越小呢？
(3)变量t是v的函数吗?为什么?
问题3.学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为20平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x（米），求与它相邻一边的长y（米）与x的函数关系式
问题4.从上面的两个例子得出关系式 和 ,它们是函数吗?它们是正比例函数吗?是一次函数吗?
2.自主学习，合作探究，经历根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，学会观察、归纳、应用概念的能力；
3.激情投入，认识和体会反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型，享受学习成功的快乐.
重点：反比例函数的概念。
难点：反比例函数的理解和应用。
学法指导
1、用10分钟左右的时间阅读课本P49-----50页内容，初步理解反比例函数，并用红色笔勾画本节重点，提升自主学习的能力
3.下列是反比例函数，且常数k为 的是（）
A. y= x B. y= C. y= D. y= +
4.已知y=y1+y2,y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=0；当x=4时，y=9,求y与x间的函数关系式
我的收获
学习目标：
1.理解反比例函数的概念，能确定反比例函数的表达式，提高理解和运算求解的能力；
②根据函数表达式完成上表.
2、结合课本内容完成预习自测和探究案部分，有疑惑的地方做好记录
预习案
预习自测：
1.反比例函数 中，相应的k = _______
2.苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为_____________
3.已知y与x成反比例，且当x = -2时，y = 3，则y与x之间的函数关系式是______________，当x = -3时，y =_______