高考数学难点突破_难点30__概率

难点30 概率
概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法.
●难点
如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2
.
●案例探究
［例1］有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：
［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.
命题意图：本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法.
知识依托：频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法.
错解分析：解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别.
技巧与方法：本题关键在于掌握三种表格的区别与联系.
(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：
［例2］某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ是一个随机变量，它的分布列如下：
设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花
保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题. 知识依托：期望的概念及函数的有关知识.
错解分析：在本题中，求Ey 是一个难点，稍有不慎，就将产生失误.
技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题. 解：设x 为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1≤x ≤12的情况，设电器商每月的
收益为y 元，则y 是随机变量ζ的函数且y =⎩
⎨⎧<--≥x x x x
x ζζζ),(100300,300,电器商平均每月获益
的平均数，即数学期望为：Ey =300x (P x +P x +1+…+P 12)+［300－100(x －1)］P 1+［2×300－100(x
－2)］P 2+…+［300(x －1)－100］P x －1
=300x (12－x +1)121+ 12
1［300×2)1(1002)1(x x x x -⨯
--］ =
3
25
(－2x 2+38x ) 由于x ∈N ,故可求出当x =9或x =10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.
●锦囊妙记
本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.
涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. ●歼灭难点训练 一、选择题
1.甲射击命中目标的概率是
21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是4
1
.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )
10
7
D. 54C. 32 B. 43A. 2.已知随机变量ζ的分布列为：P (ζ=k )=3
1
,k =1,2,3,则P (3ζ+5)等于( )
A.6
B.9
C.3
D.4 二、填空题
3.1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望E ζ=_________.
4.某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.
三、解答题
5.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： (1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率.
6.已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f (x )=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤-≤2 021 1
0x x a x x
(1)求常数a 的值，并画出ζ的概率密度曲线； (2)求P (1＜ζ＜
2
3
). 7.设P 在［0,5］上随机地取值，求方程x 2+px +
2
1
4+p =0有实根的概率. 8.设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。

求一周内期望利润是多少？
参考答案
难点
解：记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ，由已知条件P (A )=0.80, P (B )=0.90,P (C )=0.90.
(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A )P (B )P (C )=0.648,故系统N 1正常工作的概率为0.648
(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A )·［1－P (C B ⋅)］ =P (A )·［1－P (B )P (C )］
=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792 故系统N 2正常工作的概率为0.792 歼灭难点训练
一、1.解析：设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生.
.
4
1)411)(311)(211()](1[)](1[)](1[)()()()(=---=-⋅-⋅-=⋅⋅=⋅⋅∴C P B P A P C P B P A P C B A P
故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )=1－4
3
41= 答案：A
2.解析：E ξ=(1+2+3)·
31=2，E ξ2=(12+22+32)·31=3
14
∴D ξ=E ξ2－(E ξ)2=3
14－22=32.
∴D (3ξ+5)=9E ξ=6. 答案：A
二、3.解析：由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P (ξ=0)=4
3
C C 11219=,
3.0220
1322092449143022012C C C )3(,22092C C C )2(,4492C C C )1(4
12
19
3331219232121913=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξ∴===ξ=⋅==ξ===ξE P P P
答案：0.3
4.解析：因为每组人数为13，因此，每组选1人有
C 113种方法，
所以所求概率为P =452
4
113C )C (. 答案：452
4
113C )C ( 三、5.解：(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A ，“乙射击一次击中目标”叫做事件B .显然事件A 、B 相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.6×0.6=0.36
答：两人都击中目标的概率是0.36
(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.6× (1－0.6)=0.6×0.4=0.24
甲未击中、乙击中的概率是P (A ·B)=P (A )P (B )=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A ·B 与A ·B 互斥，所以恰有一人击中目标的概率是P (A ·B )+P (A ·B )=0.24+0.24=0.48
答：其中恰有一人击中目标的概率是0.48.
(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P =P (A ·B )+［P (A ·B )+P (A )·B ］=0.36+0.48=0.84
答：至少有一人击中目标的概率是0.84.
6.解：(1)因为ξ所在区间上的概率总和为1，所以2
1
(1－a +2－a )·1=1, ∴a =
2
1 概率密度曲线如图：
(2)P (1＜ξ＜
23)=9
323)121(21=⋅+⋅ 7.解：一元二次方程有实数根⇔Δ≥0
而Δ=P 2－4(2
1
4+P )=P 2－P －2=(P +1)(P －2)
解得P ≤－1或P ≥2
故所求概率为P =
5
3
]5,0[)},2[]1,{(]5.0[=+∞--∞的长度的长度 8.解：以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X －B (5，0.2)，于是X 有概率分布
P (X =k )=C k
50.2k 0.85－
k ,k =0,1,2,3,4,5.
以Y 表示一周内所获利润，则
Y =g (X )=⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧≥-===3 22 01
50
10X X X X 若若若若
Y 的概率分布为：
P (Y =10)=P (X =0)=0.85=0.328
P (Y =5)=P (X =1)=C 150.2·0.84
=0.410
P (Y =0)=P (X =2)=C 25·0.22·0.83=0.205
P (Y =－2)=P (X ≥3)=1－P (X =0)－P (X =1)－P (X =2)=0.057 故一周内的期望利润为：
EY =10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元)。