福鼎市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

福鼎市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
2． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．
π21 C ．π121- D ．π
2141- 【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
3． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）
A ．21a 和22a
B ．22a 和23a
C ．23a 和24a
D ．24a 和25a 4． 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ＞0），则{x|f （x ﹣1）＞0}等于（ ）
A ．{x|x ＞3}
B ．{x|﹣1＜x ＜1}
C ．{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3}
D ．{x|x ＜﹣1}
5． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，
.
若
,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为
A[] B[]
C[
] D
A
B
C
O
D[]
6． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 7． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
8． 已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（ ） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN << 9． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b
的等比中项，则+的最小值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
10．已知集合{}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
12．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
13．已知集合},052|{2
Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ）
A ．1-
B ．
C ．1-或
D ．1-或2-
14．下列函数中，与函数()3
x x
e e
f x --=的奇偶性、单调性相同的是（ ）
A ．(ln y x =
B ．2y x =
C ．tan y x =
D ．x
y e =
15．设x ，y 满足线性约束条件，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a
的值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
二、填空题
16．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长
为 ．
17．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3
π
，则|2|+=a b ．
18．S n =
+
+…+
= ．
19．设函数f （x ）=若f[f （a ）]，则a 的取值范围是 ．
三、解答题
20．已知数列{a n }共有2k （k ≥2，k ∈Z ）项，a 1=1，前n 项和为S n ，前n 项乘积为T n ，且a n+1=（a ﹣1）S n +2（n=1，
2，…，2k ﹣1），其中a=2，数列{b n }满足b n =log 2
，
（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式；
（Ⅱ）若|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|≤，求k 的值．
21．由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数． （1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ （2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？
（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．
22．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *
），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．
（1）求a n 和b n ；
（2）设c n =（n ∈N *
），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
23．（本小题满分12分）
已知函数()
23cos cos 2
f x x x x =++
. （1）当6
3x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；
（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间23
6π
π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．
24．已知函数f （x ）=lnx ﹣kx+1（k ∈R ）．
（Ⅰ）若x 轴是曲线f （x ）=lnx ﹣kx+1一条切线，求k 的值； （Ⅱ）若f （x ）≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围．
25．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．
福鼎市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x 是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B 2． 【答案】C
【解析】设圆O 的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 3． 【答案】C 【解析】
考
点：等差数列的通项公式． 4． 【答案】C
【解析】解：当x ＞0时，由f （x ）＞0得2x
﹣4＞0，得x ＞2，
∵函数f （x ）是奇函数， 当x ＜0时，﹣x ＞0，则f （﹣x ）=2﹣x
﹣4=﹣f （x ），
即f （x ）=4﹣2﹣x
，x ＜0，
当x ＜0时，由f （x ）＞0得4﹣2﹣x
＞0，得﹣2＜x ＜0， 即f （x ）＞0得解为x ＞2或﹣2＜x ＜0， 由x ﹣1＞2或﹣2＜x ﹣1＜0，
得x ＞3或﹣1＜x ＜1， 即{x|f （x ﹣1）＞0}的解集为{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3}，
故选：C ．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出f （x ）＞0的解集是解决本题的关键．
5．【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。

6．【答案】A
【解析】
考点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推
理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“
10
a>，0
d<”判断前项和的符号问题是解答的关键．7．【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；
∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B ．
8． 【答案】A 【解析】
试题分析：取BC 的中点E ，连接,ME NE ，2,3ME NE ==，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以15MN <<，故选A ．
考点：点、线、面之间的距离的计算．1
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题． 9． 【答案】B 【解析】解：∵
是5a 与5b
的等比中项， ∴5a •5b
=（
）2
=5，
即5a+b =5， 则a+b=1，
则
+=（+）（a+b ）=1+1++≥2+2
=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即
+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．
10．【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
11．【答案】A
【解析】解：∵sinC=2
sinB ，∴c=2
b ，
∵a 2﹣b 2
=
bc ，∴cosA=
=
=
∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选A ．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30° 故选D ．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
13．【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 14．【答案】A 【解析】
试题分析：()()f x f x -=-所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与()f x 不相同，D 为非奇非偶函数，故选A.
考点：函数的单调性与奇偶性． 15．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax ﹣y （a ＞0）得y=ax ﹣z ， ∵a ＞0，∴目标函数的斜率k=a ＞0． 平移直线y=ax ﹣z ，
由图象可知当直线y=ax ﹣z 和直线2x ﹣y+2=0平行时，当直线经过B 时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax ﹣z 和直线x ﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．
此时a=． 故选：B ．
二、填空题
16．【答案】 4 ．
【解析】解：由已知可得直线AF 的方程为y=（x ﹣1），
联立直线与抛物线方程消元得：3x 2
﹣10x+3=0，解之得：x 1=3，x 2=（据题意应舍去），
由抛物线定义可得：AF=x 1+=3+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23
π
，1⋅=-a b ，
∴|2|+=
a b 2=．
18．【答案】
【解析】解：∵ ==（
﹣
），
∴S n =
+
+…+
= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣
）=（1﹣
）
=，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
19．【答案】 或a=1 ．
【解析】解：当时，
．
∵，由
，解得：
，所以；
当
，f （a ）=2（1﹣a ），
∵0≤2（1﹣a ）≤1，若，则
，
分析可得a=1．
若，即，因为2[1﹣2（1﹣a ）]=4a ﹣2，
由，得：．
综上得：或a=1．
故答案为：或a=1．
【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为
中档题．
三、解答题
20．【答案】
【解析】（本小题满分13分）
解：（1）当n=1时，a 2=2a ，则
；
当2≤n ≤2k ﹣1时，a n+1=（a ﹣1）S n +2，a n =（a ﹣1）S n ﹣1+2，
所以a n+1﹣a n =（a ﹣1）a n ，故
=a ，即数列{a n }是等比数列，
，
∴T n =a 1×a 2×…×a n =2n a
1+2+…+（n ﹣1）
=，
b n ==
．…
（2）令，则n≤k+，又n∈N*，故当n≤k时，，
当n≥k+1时，．…
|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|
=+（）+…+（）…
=（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+b k）
=[+k]﹣[]
=，
由，得2k2﹣6k+3≤0，解得，…
又k≥2，且k∈N*，所以k=2．…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．
21．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．
【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；
又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个；
（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，
取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；
（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，
此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，
则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，
故x=0不成立；
当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，
则每个数字用了=18次，
则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否两种情况讨论．
22．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），a1=2，
∴，，，
∴b1=1，=2q＞0，=2q2，
又b3=3+b2．∴23=2q2，解得q=2．
∴a n=2n．
∴=a1•a2•a3…a n=2×22×…×2n=，
∴．
（2）c n===﹣
=，
∴数列{c n }的前n 项和为S n
=
﹣+…
+
=﹣
2
=﹣
2+
=
﹣
﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．【答案】（1）332⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，；（2）．
【解析】
试题分析：（1）化简()sin 226f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，结合取值范围可得1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭⇒值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）
易得()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，，由()g x 在23
6π
π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，上是增函数⇒222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤
-
++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，⇒ 22332
26
32k k ωππ
ππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨
⎪+≤+⎪⎩⇒534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩⇒151212k -<<，Z k ∈⇒0k =⇒1ω≤⇒ω的最大值为.
考点：三角函数的图象与性质.
24．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k=0，
∴x=，
由ln﹣1+1=0，可得k=1；
（2）当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0，
则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．
k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
∵f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立，
则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
25．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，
令n=1，得，即a1=1，
又4S n+1=（a n+1+1）2，
∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．
∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，
则b1+b2+…+b n=
=
=．。