第一二章状态空间

1.1 线性系统的数学描述
系统描述中常用的基本概念
系统的外部描述 传递函数
系统的内部描述 状态空间描述
状态方程 输出方程
1.1.1 状态空间的基本概念
1.状态:表征系统运动的信息和行为。
2.状态变量：完全表征系统运动状 态的最小一 组变量。
3.状态向量：
x ( t ) [ x1 ( t ), x 2 ( t ), , x n ( t )]
0 0 A 0 a 0
1 0 0 a1
0 1 0 a2

0 1 a n 1 0
0 0 B 0 b 0

C 1
0

0
2
u R a ia L a
Ce
d dt
由转矩平衡定律：
C m ia J
d
2
f
d dt
dt
转动惯量， 粘性摩擦常数， 电磁转矩常数， 电势常数 f Cm Ce
J
令 x1 , x 2 , x 3 i a
x1 x 2 x2 x3 f J Ce La x2 x2 Cm J Ra La x3 x3 u La
x 2
1 c
0
x 2
0
y 0
x 1
1
பைடு நூலகம்
x 2
xxT 为状态向量 令 x 1 2
则：

x

R L

1 L
1
x
L
u ( t )
1 c
0
1 x
0
y 0
例3.试求用电枢电压控制的他激电动机的状 态空间表达式
Ra

La

ia
J
u
解： 由电压定理：
uf
Rf
Lf
i f c o n st

di a dt
D
u (k )
H
x ( k 1)
I Z
x(k )

C


y (k )

G
线性离散系统状态变量
结构图
x2
状 态 轨迹
A
( x1 ( t 0 ), x 2 ( t 0 ))
( x1 ( t1 ), x 2 ( t1 ))
B
0
x1 ( t ) x (t ) x 2 (t )
x1 0 x 0 2 x3 6
a0
1 0 8
a1
0 x1 0 x 0 u 1 2 5 x3 3
a2
0
y 1
0
x1 0 x2 x3
x y 代数方程 u
y ( t ) g [ x ( t ), u ( t ), t ]
y ( t k ) g [ x ( t k ), u ( t k ), t k ]
7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}
x f ( x, u , t) y (t ) g ( x , u , t )
y x1
0 x1 x2 0 x3 0
1 f J Ce La
x1 0 x2 x3
0 Cm J Ra La
0 x1 x2 0 x3 1 La
u
y 1
0
1.2 线性定常连续系统的状态空间表达式 由微分方程、传递函数、结构图求 {A，B，C，D} 1. 由系统微分方程建立状态空间表达式
1）系统输入量中不含导数项
y
(n) ( n 1 ) (n2)
a n 1 y
an2 y
a1 y a 0 y b 0 u
x
C

y
A
线性连续系统状态变量
D
结构图
u (k )
H
x ( k 1)
I Z
x(k )

C


y (k )

G
线性离散系统状态变量
结构图
x2
状 态 轨迹
A
( x1 ( t 0 ), x 2 ( t 0 ))
( x1 ( t1 ), x 2 ( t1 ))
B
0
x1 ( t ) x (t ) x 2 (t )
x ( t k 1 ) f ( x , u , t k ) y (tk ) g ( x , u , t k )
f,g-线 性 函 数 线 性 系 统
线性时变系统 线性定常系统
x (t ) A (t ) x (t ) B (t )u (t ) y (t ) C (t ) x (t ) D (t )u (t )

*2）系统输入量中含有导数项
如果单输入—单输出系统的微分方程为：
y
(n)
a n 1 y
( n 1 )
a1 y a 0 y
bn u
(n)
b n 1u
( n 1 )
b1 u b 0 u
一般输入量中导数项的次数小于或等于系统 的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导 数项，可以选择如下的一组状态变量。 设 b n 0 ，选取：
x Ax Bu , y Cx Du
x ( k 1) Gx ( k ) Hu ( k )
线性定常离散系统
( t k kT , T 采 样 周 期 ）
y ( k ) Cx ( k ) Du ( k )
8.状 态 变 量 结 构 图
D

u
B

x
I S
T
4.状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组 成的n维空间.
一阶微分方程 5.状态方程：x u 一阶差分方程
x ( t ) f [ x ( t ), u ( t ), t ],
x ( t k 1 ) f [ x ( t k ), u ( t k ), t k ]
6.输出方程：
联立求解：
x
mg M

1 M
u
( M m ) g 1 u Ml Ml
消元后： x ( 4 )

(M m ) g Ml
x
1 M
u
g Ml
u
选取状态变量：
x1 x 2
x1 x , x 2 x1 , x 3 , x 4 x 3
x1 y h 0 u x i x i 1 h i 1u ， i 2 ,3 , , n
其 中 h 0 , h1 , , h n 1是 n 个 待 定 系 数
x1 y h 0 u x 2 x 1 h1 u

x2 y
k m
y
b m

y
1 m
u (t )

k m
x1
b m
x2
1 m
u (t )
y x1
状态空间表达式为：
x1 x 2
0 k m
1 x1 0 1 u b m x2 m
a 0 , a 1 , a n 1 , b 0已知
y , u －输出
/ 输入 ,
y ( 0 ), y ( 0 ), y
( n 1 )
( 0 ), u ( t )( t t 0 ) 给定
选取： x 1 y , x 2 y , , x n y
x1 x 2
y 1
x1 0 x2
例2求图示RLC回路的状态空间表达式
R + u (t)
输入
L + + _C y _
i(t)
u c (t)
输出
_
解：以 it 作为中间变量，列写该回路的微分方程 ( )
Ri L
di dt
t ) ( ) ( ut u c
1
u t ( ) c
t
x1
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
y 牛顿力学定律 m u b y ky
y(t)
m b k y u (t ) y y

阻 尼 系 数
b
位移
令
x1 y

x2 y
动态方程如下

x1 x 2
x 2 1 x x x3 x4 x4
mg M
x3
1 M
u
( M m ) g x 1 u 3 x 3 Ml Ml
y x x1
8.状 态 变 量 结 构 图
D

u
B

x
I S
x
C

y
A
线性连续系统状态变量
结构图
d
2
x
2
m
d dt
2 2
( x l s in ) u
dt
2 ( M m ) m l c o s m l s in u x
在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡
d ( x l s in ) l c o s m g l s in m 2 dt
2
即:
2 2 c o s l c o s l s in c o s g s in x 2 s in 0 , c o s 1, 很 小 时 ， 忽 略 项
则有：
（ M m ) m l u x
l g x
x2 x3
( n 1 )
x n 1 x n
x n a 0 x1 a 1 x 2 a n 1 x n b 0 u y x1

状态空间表达式： x Ax bu
y Cu
x1 x2 x x n 1 x n
t
x1
0 x1 x2 0 x3 0
1 f J Ce La
x1 0 x2 x3
0 Cm J Ra La
0 x1 x2 0 x3 1 La
第一章
控制系统的状态空间描述
1.1 线性系统的数学描述 1.2 状态空间的基本概念 1.3 线性定常连续系统的状态空间表达式 1.4 线性离散系统的状态空间表达式 1.5 状态空间的线性变换 1.6 线性定常连续系统状态方程的解
1.7 传递函数矩阵
教学要求： 1. 正确理解线性系统的数学描述，状态空间 的基本概念。
idt c
x 2
1 c
选
x i 1
idt
为系统两状态变量，则原方程可化成
x 1


di dt

R L
x 1
1 L
( t ) x 1u 2
L
x 1 x 2 1
c
t ) y x u( c 2
写成矩阵—向量的形式为：

x 1



R L

1 L
x 1
1

L
u ( t )
状态变量结构图
例1 设
y 5 8 y 6 y 3 u y
求（A，B，C，D）
.
解：选
x1 y
..
x2 y
x3 y
则：
x1 x 2
x2 x3
x 3 6 x1 8 x 2 5 x 3 3 u
y x1
状态空间表达式为
u
y 1
0
例4. 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰 链安装在质量为M的小车上，小车受电机操 纵，在水平方向施加控制力u，相对参考坐 标系产生位移x。要求建立该系统的状态空 间表达式。

x
m
l
u
M
设小车瞬时位置为 x 摆心瞬时位置为 ( x l s i n ) 在水平方向，由牛顿第二定律 即： M
2. 熟练掌握状态空间的表达式，线性变换。
3. 线性定常系统状态方程的求解方法，了解 线性离散系统状态方程的求解方法。
重点内容： • 状态空间表达式的建立，状态状态转移矩 阵和状态方程的求解，线性变换的基本性 质，传递函数矩阵的定义。
• 要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和 结构图建立电路、机电系统的状态空间表 达式，并画出状态变量图，以及可控、可 观、对角和约当标准型。