高一数学向量知识点归纳练习题(K12教育文档)

高一数学向量知识点归纳练习题(word版可编辑修改)
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向量
一、平面向量的加法和乘积
1、向量加法的交换律：a b b a +=+
2、向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++
3、向量乘积的结合律:()()a a λμλμ=
4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+
5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+
二、平面向量的基本定理
如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量,那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对
实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1)我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；
(3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；
(4）基底给定时,分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算
1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--， 1212(,)a b x x y y ⋅=。

2、已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ,则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件
1、平行（共线）:
基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =,则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x 。

2、垂直:
基本定理:a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理:已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x .
五、平面向量的数量积
定义：非零向量a 、b ,它们之间的夹角为θ,则cos a b θ⋅就称作a 与b 的数量积,记作a b ⋅，即有cos a b a b θ⋅=⋅，0θπ≤≤。

性质：非零向量a 、b 的夹角为θ，e 是与b 同向的单位向量，那么
（1）cos a e e a a θ⋅=⋅=； （2）0a b a b ⊥⇔⋅=； （3）2a a a ⋅=或a a a =⋅； （4）cos a b a b θ⋅=⋅；
（5）a b a b ⋅≤⋅。

数乘结合律:()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅
分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅
六、向量的长度、距离和夹角公式
（1）已知11(,)a x y =，则222a x y =+，即2a x =+（长度公式）
（2）已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，AB =（距离公式)
（3)已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，它们之间的夹角为θ，则
21cos a b
x a b θ⋅==+⋅0θπ≤≤。

（夹角公式)
高一数学《平面向量》单元测试
一、 选择题(共8小题，每题5分)
1. 下列命题正确的是 （ ）
A ．单位向量都相等
B ． 任一向量与它的相反向量不相等
C ．平行向量不一定是共线向量
D ．模为0的向量与任意向量共线
2．已知向量a ＝（3，4）,b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ,则tan α等于（ ）
A ．34
B ．34-
C ．43
D ．43
- 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ）
A ．若向量a =（x ，y ）,向量b =（－y ,x )(x 、y ≠0），则a ⊥b
B ．四边形ABCD 是菱形的充要条件是=D
C ，且｜|=|｜
C ．点G 是△ABC 的重心，则++=0
D ．△ABC 中，和的夹角等于180°－A
4．设P （3，-6)，Q （-5,2），R 的纵坐标为-9,且P 、Q 、R 三点共线,则R 点的横坐标为 （ ）
A ．-9
B ．-6
C ．9
D ．6
5．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
6．在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 成立的什么条件（ ）
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
7．若将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)42sin(π-=x y -1的图象,则向量a 可以是: （ ）
A ． )1,8(-π
B ． )1,8
(π- C ． )1,4(π D ．)1,4(--π
8．在△ABC 中，已知S ABC ⋅===∆则,3,1||,4||的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2
二、 填空题（共4小题，每题5分）
9．已知向量a 、b 的模分别为3,4，则｜a -b |的取值范围为 ．
10．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O
,而a 在e 方向上的投影为－2，则 a = . 11．设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是 60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e 12．在ABC 中，a =5,b=3，C=0120,则=A sin 三、 解答题(共40分)
13．设21,e e 是两个垂直的单位向量，且2121,)2(e e b e e a λ-=+-=
(1)若∥，求λ的值； (2）若⊥，求λ的值.(12分)
14．设函数x f ⋅=)(，其中向量a =(2cos x ，1），b =（cos x , 3sin2x )，x ∈R.
(1）若f(x)=1－3且x ∈[－
3π，3π］，求x ； (2）若函数y =2sin2x 的图象按向量=(m ，n) （|m ｜〈
2
π)平移后得到函数y=f(x ）的图象，求实数m 、n 的值. （14分）
15. 已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量
)2sin ,2(cos C C =，)2
sin ,2(cos C C n -=，且n m 与的夹角为.3π (1）求角C 的值； (2）已知2
7=c ,△ABC 的面积233=S ,求b a +的值. (14分）。