广东省佛山市顺德市李兆基中学2020届高三数学下学期考前热身考试试题 理

广东省佛山市顺德市李兆基中学2020届高三数学下学期考前热身考
试试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列复数中虚部最大的是（ ） A ．92i + B ．34i -
C ．
()2
3i + D ．
()
i 45i +
2．已知集合{}
|4 3 A x x =-<-≤，()(){
}250
B x x x =-+<，则A B =I
（ ）
A ．(
)
5,4-
B ．(
)
3,2-
C ．(
)
2,4
D ．[
)
3,2-
3．若角α的终边经过点()
1,23-，则
an 3πt α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．33
7-
B ．
37-
C ．335
D ．35
4．若双曲线2
2
1
y x m -=的一个焦点为
()3,0-，则m =（ ） A ．22
B ．8
C ．9
D ．
5．在ABC △中，sin 32sin B A =，2BC =，且π
4C =
，则AB =（ ）
A ．26
B ．5
C ．33
D ．26
6．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则（ ）
A ．122V V >
B ．122V V =
C ．12163V V -=
D ．12173V V -=
7
．
()7
12x x
-的展开式中2
x 的系数为（ ）
A ．84-
B ．84
C ．280-
D ．280
8．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两）．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）
A ．90，86
B ．94，82
C ．98，78
D ．102，74
9．记不等式组
4
326 4x y x y x y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≥⎩
表示的区域为Ω，点P 的坐标为
(),x y ．有下面四个命题：
1:p P ∀∈Ω，0y ≤；2:p P ∀∈Ω，1
2
2x y -≥；
3:p P ∀∈Ω，
665y -≤≤
；4:p P ∃∈Ω，11
25x y -=
．其中的真命题是（ ） A ．1p ，2p
B ．1p ，3p
C ．2p ，4p
D ．3p ，4p
10．已知底面是正方形的直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为40π，且2AB =，则1AC 与底面ABCD 所成角的正切值为（ ） A ．2
B ．22
C ．3
D ．4
11．已知函数()(
)2ln
1f x x x
=+-，设()3
log 0.2a f =，()02
3
b f -=．，()11
3c f =-．，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
12．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的右焦点F 关于直线34120x y +-=的对称点为P ，点O
为C 的对称中心，直线PO 的斜率为72
79，且C 的长轴不小于4，则C 的离心率（ ） A ．存在最大值，且最大值为1
4 B ．存在最大值，且最大值为1
2 C ．存在最小值，且最小值为1
4
D ．存在最小值，且最小值为1
2
第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．若向量
()
21,k k =-m 与向量
()
4,1=n 共线，则k =__________．
14．若函数()()
1sin 6π0f x a ax a ⎛
⎫=++> ⎪⎝⎭的最大值为3，则()f x 的最小正周期为__________．
15．现有如下假设：
所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险．
下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号）
①所有纺织工都投了健康保险②有些女工投了健康保险③有些女工没有投健康保险④工会的部分成员没有投健康保险
16．若函数()3310
150
2x
x x x f x x a x ⎧-+>⎪=⎨⎛⎫
-++≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，，的最小值为1-，则a 的取值范围为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． （1）证明：{}1
n a +为等比数列；
（2）求{}n a
的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？
18．（12分）根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量N （单位：mm ）对工期的影响如下表：
降水量N 400N <
400600N ≤<
6001000N ≤<
1000N ≥
工期延误天数X
1
3
6
根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得
到降水量的折线图，如下图所示．
（1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数0X =，1，3，6的频率； （2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数X 的分布列及数学期望与方差． 19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，D 为棱1CC 的中点，
11AB A B O =I ．
（1）证明：1C O ∥平面ABD ；
（2）设二面角D AB C --的正切值为2，AC BC ⊥，12A E EB
=u u u u r u u u r
，求异面直线1C O 与CE 所
成角的余弦值．
20．（12分）已知点012
A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，是抛物线21:22C x py p ⎛
⎫=> ⎪
⎝⎭上一点，且A 到C 的焦点的距离为5
8．
（1）求抛物线C 在点A 处的切线方程；
（2）若P 是C 上一动点，且P 不在直线0:29l y x y =+上，过P 作直线1l 垂直于x 轴且交l 于
点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N ．证明：2
AM
AN
为定值，并求该定值． 21．（12分）已知函数()()()
2e e 2x f x ax a =---．
（1）讨论
()
f x 的单调性； （2）当1x >时，()0
f x >，求a 的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α=⎧⎨
=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C
的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=．
（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点
()
0,1P
，点
)Q
，直线l 过点Q 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的
中点为M ，求
PM
的值．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数
()23
f x x x =-++．
（1）求不等式()15
f x ≤的解集；
（2）若()
2x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
2020届李兆基中学高考考前适应性考试
数学（理科）答案
1.【解析】对于A ，虚部是2；对于B ，虚部是4-；对于C ，
()2
3i 96i 186i
+=+-=+，虚部
是6；对于D ，
()i 45i 54i
+=-+，虚部是4．∴虚部最大的是C ，故选C ．
2.【解析】{}{}|43|34A x x x x =-<-≤=-≤<Q ，()(){}()|2505,2B x x x =-+<=-， 所以
[)
3,2A B =-I ，选D ．
3．【解析】由题意可得：
23
tan 231α=
=--，
则：()
tan tan
23333tan 3712331t π
ππan tan 3ααα+-+⎛⎫+=
==- ⎪⎝
⎭--⨯-．本题选择B 选项．
4．【解析】因为双曲线2
2
1y x m -=的一个焦点为()3,0-，所以()21398m m +=-=⇒=，故选B ．
5．【解析】由正弦定理知32b a =，又2a =知，6b =，所以由余弦定理知：2222cos
264π
c a b ab =+-=，所以26c =，故选A ．
6．【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长
为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为
3
18446416V =-⨯⨯=； 由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为21
999243
3V =⨯⨯⨯=，∴12416243173V V -=-=，故选D ．
7．【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k k k n T a b -+=，得()7
12x -展开式的
通项为
()172C k
k k
k T x
+=-，则
()7
12x x
-展开式的通项为
()1
172C k
k k k T x
-+=-，由12k -=，得3k =，
所以所求2
x 的系数为
()3
372C 280-=-．故选C ． 8．【解析】执行程序框图，86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，
27s ≠；98x =，78y =，27s =，结束循环，输出的x ，y 分别为98，78，故选C ．
9．【解析】根据不等式组画出可行域如图所示：
由图可得，P ∀∈Ω，0y ≤，故1p 正确，则3p 错误；令
12z x y =
-，即1
2y x z =-，由图可得，
当直线
12y x z =
-经过点()4,0时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小，则min 1
422z =⨯=，
故2p 正确，4p 错误．故选A ．
10．【解析】设四棱柱的高为h ，则2
2
224π40πh ++=，解得6h =，则1AC 与底面ABCD
所成角的正切值为16
32CC AC ==．
11．【解析】∵())2ln
1f x x x
=+，
∴())
)
()
2221ln
1ln
ln
11f x x x x x f x x x
=+==+=-++， ∴()()
f x f x =-，∴函数
()f x 是偶函数，∴当0x >时，易得
())2ln
1f x x x
=+为增函数，
∴
()()
33log 0.2log 5a f f ==，
()()
1111
33c f f =-=．．，
∵31log 52<<，02031-<<．，1133>．，∴()()()
1102
33log 53f f f ->>．．，
∴c a b >>，故选D ．
12．【解析】设(),P x y ，(),0F c ，则13
341222y x c x c y ⎧=-+⋅+⋅=⎪⎪⎨
⎪⎪⎩，解得()77225424625c x c y +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则72179y c x =⇒=，
24a ≥Q ，2a ∴≥，
10,2c e a ⎛⎤=
∈ ⎥⎝⎦，即C 的离心率存在最大值，
且最大值为1
2，选B ．
13．【解析】因为向量
()
21,k k =-m 与向量
()
4,1=n 共线，所以2140k k --=，
12k =-
．
14．【解析】因为函数()()
1sin 6π0f x a ax a ⎛
⎫=++> ⎪⎝⎭的最大值为1a +，13a ∴+=，2a =，
因此()f x 的最小正周期为2π
πa =．
15．【解析】∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险
∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确；∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工∴有些女工投了健康保险，故②正确；
∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险∴有些女工没有投健康保险，故③正确； ∵所有工会成员都投了健康保险∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误． 故答案为①②③． 16．【解析】当0x >时，()233
f x x '=-，所以当01x <<时，
()0
f x '<；
当1x >时，()0f x '>；此时()()min 11
f x f ==-
当0x <时，
()0
f x '<，
()()min 011
f x f a ==+≥-，2a ∴≥-．
17．【解析】∵37a =，3232a a =-，∴23a =，
∴121n n a a -=+，∴11a =，()111122
2211
n n n n a a n a a -+-++==≥++，又112a +=Q ，214a +=，
∴
{}1n a +是首项为2公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）知，12n n a +=，∴21n
n a =-，
∴1
1222212n n n S n n ++-=-=---，∴()
12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，
即n ，n a ，n S 成等差数列．
18．【解析】（1）∵400mm N <的天数为10，∴0X =的频率为10
05
20=.； ∵400mm 600mm N ≤<的天数为6，∴1X =的频率为6
03
20=.； ∵600mm 1000mm N ≤<的天数为2，∴3X =的频率为2
01
20=.； ∵1000mm N ≥的天数为2，∴6X =的频率为2
01
20=.．
（2）X 的分布列为
X 0 1 3 6 P
0.5
0.3 0.1
0.1
()00510330160112
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.....．
()()()()()2
2
2
2
01205112033120161201
D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯.．.．....
072001203242304336=+++=.....．
19．【解析】（1）证明：取AB 的中点F ，连接OF ，DF ，
∵侧面11ABB A 为平行四边形，∴O 为1AB 的中点，∴112OF BB ∥，又11
1
2C D BB ∥，∴1OF C D ∥，
∴四边形1OFDC 为平行四边形，则1C O DF ∥．
∵1C O ⊄平面ABD ，DF ⊂平面ABD ，∴1C O ∥平面ABD ．
（2）解：过C 作CH AB ⊥于H ，连接DH ，则DHC ∠即为二面角D AB C --的平面角．
∵2CH =2
tan 2CD DHC CH ∠=
=，∴1CD =．以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，
如图所示， 则()
10,0,2C ，
()
0,2,0B ，
()
0,0,1D ，
()
12,0,2A ，
则
()
1,1,1O ，11222,,3333BE BA ⎛⎫==- ⎪⎝⎭uu u r uuu r ，242,,333CE BE BC ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
uu u r uu u r uu u r ．
∵()11,11C O =-,uuu r ，∴
111423cos 3263,3
C O CE C O CE C O CE ⋅<>==
=⋅⨯uuu r uuu r uu uu u r
uu u r uu u u r r ， ∴异面直线1C O 与CE 所成角的余弦值为2
3．
20．
【解析】（1）依题意得
00124528py p y ⎧
⎪=+⎨
=⎪⎪⎪⎩， ∴15828p p +=．∵12p >，∴1p =，故C 的方程为2
2x y =． 由2
2x y =得
22x y =，y x '=，∴1
2
1 2
x y =-
'=-
，
又
018y =
，∴所示切线的方程为111822y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即1128y x =--．
（2）设2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭（12m ≠-，且92m ≠），则M 的横坐标为m ，152AM +． 由题可知()21:22m PN y x m -=--，与928y x =+联立可得，
21954N x m m ⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭， 所以2
219151554252AN m m m ⎫⎫
=+-++⎪⎪
⎭⎭
，则
2
55
AM
AN
=为定值．
21．【解析】（1）()()2e x
f x ax a '=-+，
当0a =时，()2e 0x f x '=-<，∴()f x 在R 上单调递减．
当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2a x a ->．
∴()f x 的单调递减区间为2a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，，单调递增区间为2a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2a x a -<．
∴()f x 的单调递减区间为2a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为
2a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． （2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意．
当0a <时，()()()()222222e e 22e e 2e 2e 0f a a a =---=--+<，不合题意．
当1a ≥时，()()2e 0x f x ax a '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，
∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意．
当01a <<时，()f x 在
21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意．
综上，a 的取值范围为[)1,+∞．
22．【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，
由2sin 230ρθθ-=得22sin 23cos 0ρθρθ-=，
所以曲线C 的直角坐标方程为223y x =．
（2）易得点P 在l 上，所以3tan 30PQ k α===-，所以5π6α=，
所以l 的参数方程为3112x y t ⎧⎪⎪⎨==+⎪⎪
⎩，
代入2y =中，得21640t t ++=，设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t ， 则12082t t t +==-，所以08PM t ==．
23．【解析】（1）因为
()213532
212x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，，，， 所以当3x <-时，由
()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由
()15f x ≤得32x -≤≤；当2x >时，由()15f x ≤得27x <≤． 综上，()15f x ≤的解集为
[]8,7-． （2）由
()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+， 因为()()()235
f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5．
所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，
故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞．。