麻山区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

麻山区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________一、选择题
1． 已知函数f （x ）=，则的值为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．3
2． 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（
）βα,A ．若，，则
B ．若， ，则 α⊥l βα⊥β⊂l α//l βα//β⊂l
C ．若，，则
D ．若，，则α⊥l βα//β⊥l α//l βα⊥β⊥l 3． 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A ．π
B ．3π+4
C ．π+4
D ．2π+4
　4． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．48π5． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（
）A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 2
6． 如图，在正四棱锥S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ∥BD ；②EP ⊥AC ；③EP ⊥面SAC ；④EP ∥面SBD 中恒成立的为（
）
A ．②④
B ．③④
C ．①②
D ．①③7． 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有3x ＞0；命题q ：“x ＞2”是“x ＞4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题
的是（ ）A ．p ∧q B ．￢p ∧￢q C ．￢p ∧q D ．p ∧￢q 8． 分别是的中线，若，且与的夹角为，则=（ ）
,AD BE ABC ∆1AD BE ==AD BE 120 AB AC ⋅ （A ） （ B ） （C ） （D ） 13492389
9． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=
，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（
）A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
　10．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）
A. B ．483
C.D ．16
320311．已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若＝2，则||为AD → DB → CD → （ ）A ．1 B.43
C. D ．25312．过抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2=﹣6，则|AB|为（ ）
A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
二、填空题13．设集合 ,满足{}{}
22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,,求实数__________.
A B =∅ {}|52A B x x =-<≤ a =14．给出下列命题：
①存在实数α，使
②函数
是偶函数
③是函数的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是 ．
15．定义为与中值的较小者，则函数的取值范围是
)}(),(min{x g x f )(x f )(x g },2min{)(2x x x f -=16．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则|AB|等于 ．
17．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（
）= ．
18．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．三、解答题
19．已知函数．
（Ⅰ）若函数f （x ）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最小值．
20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E
上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M 在PD上．
（I）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？
（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．
22．已知函数，，．()x f x e x a =-+21()x g x x a e
=
++a R ∈（1）求函数的单调区间；()f x （2）若存在，使得成立，求的取值范围；
[]0,2x ∈()()f x g x <（3）设，是函数的两个不同零点，求证：．
1x 2x ()f x 121x x e +<23．已知命题p ：“存在实数a ，使直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点”，命题q ：“存在实数a ，使点（a ，1）在椭圆内部”，若命题“p 且¬q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
24．（本小题满分12分）
已知函数.21()(3)ln 2
f x x a x x =
+-+（1）若函数在定义域上是单调增函数，求的最小值；
()f x （2）若方程在区间上有两个不同的实根，求的取值范围.21()()(4)02f x a x a x -+--=1[,]e e
麻山区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（）==﹣2，
=f（﹣2）=3﹣2=．
故选：A．
C
2．【答案】111]
【解析】
考点：线线，线面，面面的位置关系
3．【答案】B
【解析】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）
由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，
故其表面积为S=2×π×12+2×2+×2π×1×2=3π+4
故选：B
【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．
4．【答案】B
【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，
∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，
∴几何体的体积V=π×22×3=12π．
故选B．
【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），
所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．
6．【答案】A
【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
7．【答案】D
【解析】解：p ：根据指数函数的性质可知，对任意x ∈R ，总有3x ＞0成立，即p 为真命题，
q ：“x ＞2”是“x ＞4”的必要不充分条件，即q 为假命题，
则p ∧￢q 为真命题，
故选：D
【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p ，q 的真假是解决本题的关键，比较基础　
8． 【答案】C
【解析】由解得1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 2233,4233AB AD BE AC AD BE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ .22422()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+= 9． 【答案】B
【解析】解：∵f （x ）=f （x+2），∴函数f （x ）为周期为2的周期函数，
函数g （x ）=
，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f （x ）的图象也关于点（2，3）
对称，
函数f （x ）与g （x ）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，
设A ，B ，C ，D 的横坐标分别为a ，b ，c ，d ，
则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，
故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，
即函数y=f （x ）﹣g （x ）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．
故选：B ．
【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．
10．【答案】
【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－×2×2×1＝，故选D.1320311．【答案】
【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ），
∵A （0，1），B （3，2），＝2，AD → DB → ∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），
∴即x ＝2，y ＝，{x ＝6－2x ，y －1＝4－2y )
53∴＝（2，）－（2，0）＝（0，），CD → 5353∴||＝＝，故选C.CD → 02＋（53）25312．【答案】A 【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，
∵抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点
∴|AB|=2﹣（x 1+x 2），
又x 1+x 2=﹣6
∴∴|AB|=2﹣（x 1+x 2）=8
二、填空题
13．【答案】
7
,3
2
a b
=-=
【解析】
考点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 14．【答案】　②③　．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，
②函数=cosx是偶函数，故②正确，
③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
15．【答案】(],1
-∞
试题分析：函数的图象如下图：(){}
2min 2,f x x x =-观察上图可知：的取值范围是。

()f x (],1-∞考点：函数图象的应用。

16．【答案】　6　．
【解析】解：由抛物线y 2=4x 可得p=2．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
∵线段AB 的中点M 的横坐标为2，∴x 1+x 2=2×2=4．
∵直线AB 过焦点F ，
∴|AB|=x 1+x 2+p=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
17．【答案】　4　．
【解析】解：∵f ′（x ）=3cosx+4sinx ，
∴f ′（）=3cos +4sin =4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．
18．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=
=1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点
（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，
故本命题不正确．
故答案为：BC．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=．
要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需≥0在[1，+∞）上恒成立．
结合a＞0可知，只需a，x∈[1，+∞）即可．
易知，此时=1，所以只需a≥1即可．
（2）结合（1），令f′（x）==0得．
当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0；
当时，，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上f′（x）＞0，
所以此时f（x）在上递减，在上递增，所以f（x）min=f（）=1﹣lna﹣；
当时，，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，
所以f（x）min=f（e）=．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．
20．【答案】
【解析】解：（1）由题得=，=1，又a2=b2+c2，
解得a2=8，b2=4．
∴椭圆方程为：．
（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），
∴，=1，
两式相减得=0，
∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，=k，
代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，
∴直线l：x+y﹣3=0．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB．
（II ）解：由（I ）可知，AD ⊥平面PAB ，又E 为PA 的中点，
当M 为PD 的中点时，EM ∥AD ，
∴EM ⊥平面PAB ，∵EM ⊂平面BEM ，
∴平面BEM ⊥平面PAB ．此时，．
（III ）设CD 的中点为F ，连接BF ，FM
由（II ）可知，M 为PD 的中点．
∴FM ∥PC ．
∵AB ∥FD ，FD=AB ，
∴ABFD 为平行四边形．
∴AD ∥BF ，又∵EM ∥AD ，
∴EM ∥BF ．
∴B ，E ，M ，F 四点共面．
∴FM ⊂平面BEM ，又PC ⊄平面BEM ，
∴PC ∥平面BEM ．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
22．【答案】（１）的单调递增区间为，单调递减区间为；（２）或；（３）()f x (0,)+∞(,0)-∞1a >0a <证明见解析．【解析】
试
题解析： （1）．'()1x
f x e =-令，得，则的单调递增区间为；]
'()0f x >0x >()f x (0,)+∞令，得，则的单调递减区间为．
'()0f x <0x <()f x (,0)-∞
（2）记，则，()()()F x f x g x =-21()2x x F x e x a a e
=--+-．1'()2x x F x e e =+
-
∵，∴，1220x x e e +-≥-='()0F x ≥∴函数为上的增函数，
()F x (,)-∞+∞∴当时，的最小值为．[]0,2x ∈()F x 2(0)F a a =-∵存在，使得成立，
[]0,2x ∈()()f x g x <∴的最小值小于0，即，解得或．1
()F x 20a a -<1a >0a <（3）由（1）知，是函数的极小值点，也是最小值点，即最小值为，
0x =()f x (0)1f a =+则只有时，函数由两个零点，不妨设，
1a <-()f x 12x x <易知，，
10x <20x >∴，1222()()()()f x f x f x f x -=--2222()()x x e x a e
x a -=-+-++2222x x e e x -=--令（），
()2x x h x e e x -=--0x ≥
考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．
23．【答案】
【解析】解：∵直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点∴≤1⇒a 2≥1，即a ≥1或a ≤﹣1，
命题p 为真命题时，a ≥1或a ≤﹣1；
∵点（a ，1）在椭圆
内部，∴
，
命题q 为真命题时，﹣2＜a ＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p 且¬q ”是真命题，则命题p ，￢q 都是真命题
即p 真q 假，则⇒a ≥2或a ≤﹣2．故所求a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
24．【答案】（1）；（2）.1111]
01a <<【解析】
则
对恒成立，即对恒成立，'()0f x ≥0x >1(3a x x
≥-++0x >而当时，，0x >1()3231x x
-++≤-+=∴.
1a ≥若函数在上递减，
()f x (0,)+∞则对恒成立，即对恒成立，
'()0f x ≤0x >1()3a x x
≤-++0x >这是不可能的.
综上，.
1a ≥的最小值为1. 1
（2）由，
21()()(2)2ln 02f x a x a x x =-+-+=得，2
1
()(2)2ln 2a x a x x -+-=即，令，，2ln x x a x +=2ln ()x x r x x +=233
1(1)2(ln )12ln '()x x x x x x x r x x x +-+--==得的根为1，
12ln 0x x --
=考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.。