2022年河南省平顶山市中考数学一模试卷(含答案)

2022年河南省平顶山市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是（）
A．B．C．2022D．﹣2022
2．（3分）自2015年北京成功申办冬奥会以来，截止到2021年10月，全国冰雪运动参与人数为3.46亿人，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标．把数据“3.46亿”用科学记数法表示为（）
A．3.46×108B．3.46×109C．34.6×107D．0.346×109
3．（3分）某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其俯视图大致为（）
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．a3﹣a2＝a B．（2a+b）2＝4a2+b2
C．﹣3a﹣2•a2＝﹣3D．（﹣3a3b）2＝6a6b2
5．（3分）如图，AB∥CD，EF＝DF，若∠A＝50°，则∠E等于（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
6．（3分）甲、乙两支仪仗队队员的平均身高均为1.8米，要想知道哪支仪仗队队员的身高更为整齐，通常需要比较他们身高的（）
A．众数B．方差C．平均数D．中位数
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
9．（3分）如图，AB平行于x轴，点B的坐标为（2，2），△OAB的面积为5．若反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值为（）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
10．（3分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点．点P从点A出发以1cm/s的速度向点B运动．连接DP，BD，图2表示DP的长度y（cm）与点P运动的时间t（s）的函数关系图象（点A为图象的最低点），则BD的长度为（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若根式有意义，则实数x的取值范围是．
12．（3分）不等式组的最大整数解是．
13．（3分）现有两个不透明的箱子，一个装有2个红球和1个白球，另一个装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从两个箱子中各随机摸出1个球，摸出1红1白的概率是．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，AB＝AC＝6，∠C＝30°．点P是上一动点，当点P到点D的距离最大时，的长为．
15．（3分）如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD 为直角三角形时，线段AF的长为．
三、解答题（共8小题，75分）
16．（10分）（1）化简：；
（2）计算：．
17．（9分）2021年7月24日，教育部官网正式发布由中共中央办公厅，国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》秋季开学后，某市教
育主管部门为了了解学校“减轻学生作业负担”情况，在甲和乙两所初级中学中各随机
抽查了50名学生完成书面作业所用的时间，并绘制了如下统计图表：甲学校50名学生完成书面作业时间统计表
根据以上图表信息回答下列问题：
（1）统计表中m＝，n＝；
（2）乙学校在调查的50名学生中，需要90分钟以上才能完成书面作业的有人；
（3）设a为甲学校抽取的50名学生完成书面作业时间的中位数，b为乙学校抽取的50名学生完成书面作业时间的中位数，则a b．（填“＞”或“＝”或“＜”）
（4）若该市有初中在校生15000人，根据对甲、乙两所学校调查的情况，估计能在国家规定的90分钟（含90分钟）内完成书面作业的人数．
18．（9分）某商场以30元/台的价格购进500台新型电子产品，在销售过程中发现，其日销售量y（单位：台）与销售单价x（单位：元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）按物价部门规定，产品的利润率不得超过80%，该电子产品每台最高售价为元，
此时的日销售量为台；
（3）若按照日销售获得最大利润时的售价，计算商场销售完这批电子产品获得的总利润．
19．（9分）始建于北宋皇祐元年的开封铁塔，至今已有近千年的历史，被誉为“天下第一塔”．为了测量铁塔的高度，甲、乙两同学分别在塔的东西两侧的A，B两处（点A，C，B在同一条直线上），测得塔顶D的仰角分别为45°和65°，已知两人之间的距离约为82米，求塔CD的高度．（精确到1米）
（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝10．点C是半圆O上一点，连接AC，BC，作OF⊥AC，垂足为F．过点C作半圆O的切线交AB的延长线于D，交OF的延长线于E，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）①连接OC，当AC＝CD时，△OBC的形状是；
②若BC＝6，则线段CD＝．
21．（9分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，已知AB＝4．
（1）点A，B的坐标分别为，；
（2）c的值为，抛物线的顶点坐标为；
（3）设点P是y轴右侧抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，当PM ≥2时，求点P的横坐标x P的取值范围．
22．（10分）点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．（1）发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是；
（2）探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由．
（3）拓展
在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF 的长．
23．（10分）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了y＝（x＞0）和y＝﹣x+5的图象，两个函数图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1）．在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：
（1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为（x1＜x＜x2）；
（2）为了进一步的研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：
①列表：
表中m＝，n＝；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点．
③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝时，y的最大值
为．
（3）应用：已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系W＝﹣+20，求m取最大值时矩形的对角线长．
2022年河南省平顶山市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是（）
A．B．C．2022D．﹣2022
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：B．
【点评】此题考查的是相反数，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解决此题关键．
2．（3分）自2015年北京成功申办冬奥会以来，截止到2021年10月，全国冰雪运动参与人数为3.46亿人，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标．把数据“3.46亿”用科学记数法表示为（）
A．3.46×108B．3.46×109C．34.6×107D．0.346×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：3.46亿＝346000000＝3.46×108．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其俯视图大致为（）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看，是一列两个相邻的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．a3﹣a2＝a B．（2a+b）2＝4a2+b2
C．﹣3a﹣2•a2＝﹣3D．（﹣3a3b）2＝6a6b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、合并同类项和完全平方公式分别化简判断即可．
【解答】解：A、a3和a2不能合并，故此选项不符合题意；
B、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故此选项不符合题意；
C、﹣3a﹣2•a2＝﹣3，故此选项符合题意；
D、（﹣3a3b）2＝9a6b2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算、合并同类项和完全平方公式等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，AB∥CD，EF＝DF，若∠A＝50°，则∠E等于（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】首先利用平行线的性质求得∠EFD的度数，然后利用等腰三角形的性质求得∠E的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，AB∥CD，
∴∠EFD＝∠A＝50°，
∵EF＝DF，
∴∠E＝∠D＝65°，
故选：D．
【点评】考查了平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠EFD的度数，难度不大．
6．（3分）甲、乙两支仪仗队队员的平均身高均为1.8米，要想知道哪支仪仗队队员的身高更为整齐，通常需要比较他们身高的（）
A．众数B．方差C．平均数D．中位数
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：要想知道哪支仪仗队队员的身高更为整齐，通常需要比较他们身高的方差，故选：B．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握方差的意义．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
【分析】由矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意；
B、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠1＝∠2，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
9．（3分）如图，AB平行于x轴，点B的坐标为（2，2），△OAB的面积为5．若反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值为（）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
【分析】设A（x，y），根据AB∥x轴可得A（x，2），即可求得AB的长，再利用两点间的距离及三角形的面积可得A点坐标，进而可求解k值．
【解答】解：设A（x，y），
∵AB∥x轴，B（2，2），
∴y＝2，
∴AB＝2﹣x，
∵△AOB的面积为5，
∴•（2﹣x）×2＝5，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，2）
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的特征，三角形的面积，求解A点坐标是解题的关键．
10．（3分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点．点P从点A出发以1cm/s的速度向点B运动．连接DP，BD，图2表示DP的长度y（cm）与点P运动的时间t（s）的函数关系图象（点A为图象的最低点），则BD的长度为（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】点D是AC的中点得出BD＝AD，由点P由点A出发向B运动过程中，DP长度先变小再变大，借助函数图象确定出DP取最小值时的位置，然后用勾股定理计算AD 即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝CD，
又∵点P由点A出发向B运动过程中，DP长度先变小再变大，
当DP⊥AB时，DP长度最小，如图所示：
此时由函数图象可得最低点坐标为（4，3），即当t＝4时，y＝3，
∴AP＝4×1＝4（cm），DP＝3（cm），
∴在Rt△APD中，AD＝＝＝5（cm），
即BD＝AD＝5cm，
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图象确定最低点时P的位置．二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若根式有意义，则实数x的取值范围是x≤2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2﹣x≥0，
∴x≤2，
故答案为：x≤2．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
12．（3分）不等式组的最大整数解是3．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出最大整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜4，即整数解为﹣1，0，1，2，3，
则不等式组的最大整数解是3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
13．（3分）现有两个不透明的箱子，一个装有2个红球和1个白球，另一个装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从两个箱子中各随机摸出1个球，摸出1红1
白的概率是．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人摸出1红1白的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中摸出1红1白的情况有5种，
所以摸出1红1白的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，AB＝AC＝6，∠C＝30°．点P是上一动点，当点P到点D的距离最大时，的长为4π．
【分析】连接AD并且延长交圆于点P，连接CP，此时点P到点D的距离最大，根据等腰三角形的性质和含30°的直角三角形的性质，以及弧长公式可求的长．
【解答】解：如图，连接AD并且延长交圆于点P，连接CP，此时点P到点D的距离最
大，
在△ABC中，点D为边BC的中点，AB＝AC＝6，∠ACB＝30°，
∴AP⊥BC，
∴AP是直径，
∴∠ACP＝90°，
∴∠APC＝30°，∠PCB＝60°，
∴AP＝2AC＝12，所对的圆心角为120°，
∴的长为＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质和含30°的直角三角形的性质，关键是求出点P到点D的距离最大时所对的圆心角．
15．（3分）如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD 为直角三角形时，线段AF的长为2﹣2或2．
【分析】根据已知条件说明∠A′CD＜90°，所以当△A'CD为直角三角形时，有∠DA'C ＝90°和∠A′DC＝90°两种情况：当∠A′DC＝90°时，点A′在DE上，当∠DA′C ＝90°时，取CD中点H，连接A′H，分两种情形分别计算即可．
【解答】解：∵点E是菱形ABCD边AB的中点，
∴AE＝BE＝AB＝BC＝2，
∴点A′在以AB为直径的半圆上，
∵∠B＝120°，
∴∠A＝∠BCD＝60°，
∴∠A′CD＜90°，
∴当△A'CD为直角三角形时，
有∠DA'C＝90°和∠A′DC＝90°两种情况：
①如图，连接DE，DB，
在菱形ABCD中，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE＝EB，
∴DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
∴∠EDC＝90°，
当∠A′DC＝90°时，点A′在DE上，
由翻折可知：∠AEF＝∠A′EF＝AED＝45°，过点F作FG⊥AB于点G，
∴FG＝EG，∠AFG＝30°，
∴AF＝2AG，
∴FG＝AG，
∵AG+EG＝AE＝2，
∴AG+AG＝2，
解得AG＝﹣1，
∴AF＝2AG＝2﹣2；
②如图，当∠DA′C＝90°时，取CD中点H，连接A′H，
∴A′H＝CD＝2，
∵AE＝A′E＝2，
∴A′E+A′H＝4，
∴E，A′，H在同一条直线上，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴∠AEH＝120°，
∴∠AEF＝∠A′EF＝AEH＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF＝AE＝2．
综上所述：线段AF的长为2﹣2或2．
故答案为：2﹣2或2．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题（共8小题，75分）
16．（10分）（1）化简：；
（2）计算：．
【分析】（1）先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可；
（2）先利用平方差公式运算，二次根式的除法运算，负整数指数幂，再进行加减即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝2﹣1﹣2+3
＝2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
17．（9分）2021年7月24日，教育部官网正式发布由中共中央办公厅，国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》秋季开学后，某市教
育主管部门为了了解学校“减轻学生作业负担”情况，在甲和乙两所初级中学中各随机抽查了50名学生完成书面作业所用的时间，并绘制了如下统计图表：
甲学校50名学生完成书面作业时间统计表
根据以上图表信息回答下列问题：
（1）统计表中m＝24，n＝0.04；
（2）乙学校在调查的50名学生中，需要90分钟以上才能完成书面作业的有2人；
（3）设a为甲学校抽取的50名学生完成书面作业时间的中位数，b为乙学校抽取的50名学生完成书面作业时间的中位数，则a＞b．（填“＞”或“＝”或“＜”）
（4）若该市有初中在校生15000人，根据对甲、乙两所学校调查的情况，估计能在国家规定的90分钟（含90分钟）内完成书面作业的人数．
【分析】（1）根据各组频数之和等于数据总数可得m的值，根据频率＝频数÷数据总数可得n的值；
（2）用50乘以乙学校样本中需要90分钟以上才能完成书面作业的学生所占的百分比即可；
（3）根据中位数的定义分别求出甲、乙两所学校抽取的50名学生完成书面作业时间的中位数，再比较即可；
（4）利用样本估计总体的思想，用该市初中在校生总人数乘以样本中甲、乙两所学校的学生能在国家规定的90分钟（含90分钟）内完成书面作业的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）由题意可得，m＝50﹣（3+21+2）＝24，n＝＝0.04．
故答案为：24，0.04；
（2）由题意可得，50×（1﹣6%﹣50%﹣40%）＝2（人）．
即乙学校在调查的50名学生中，需要90分钟以上才能完成书面作业的有2人．
故答案为：2；
（3）将甲学校的50个数据按从小到大的顺序排列后，第25、26个数均落在C组（60＜t≤90），即60＜a≤90，
将乙学校的50个数据按从小到大的顺序排列后，第25、26个数均落在F组（30＜t≤60），即30＜b≤60，
∴a＞b．
故答案为：＞；
（4）15000×＝14400（人）．
即可估计能在国家规定的90分钟（含90分钟）内完成书面作业的人数为14400人．【点评】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据统计图表得出解题所需数据及中位数的意义、样本估计总体思想的运用．18．（9分）某商场以30元/台的价格购进500台新型电子产品，在销售过程中发现，其日销售量y（单位：台）与销售单价x（单位：元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）按物价部门规定，产品的利润率不得超过80%，该电子产品每台最高售价为54元，此时的日销售量为100台；
（3）若按照日销售获得最大利润时的售价，计算商场销售完这批电子产品获得的总利润．
【分析】（1）由图可知，y与x的函数关系为一次函数关系，设为y＝kx+b，将（42，160），（45，145）代入表达式即可；
（2）根据利润率的公式列出式子，解不等式即可；
（3）设日利润为w元，列出w与x的函数表达式，利用二次函数的性质可求出最值，求出对应的x的值，进而可求出总利润．
【解答】解：（1）由图可知，y与x的函数关系为一次函数关系，设为y＝kx+b，
将（42，160），（45，145）代入表达式可得，，解得，
∴y＝﹣5x+370．
（2）根据题意可知，≤80%，解得x≤54，
∴30≤x≤54，
∴电子产品每台最高售价为54元，
此时y＝﹣5×54+370＝100（元）；
故答案为：54；100．
（3）设日利润为w元，
∴w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣5x+370）＝﹣5（x﹣52）2+2520，
∴当x＝52时，日利润最大，
∴总利润为：（52﹣30）×500＝11000（元）．
∴商场销售完这批电子产品获得的总利润为11000元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．（9分）始建于北宋皇祐元年的开封铁塔，至今已有近千年的历史，被誉为“天下第一塔”．为了测量铁塔的高度，甲、乙两同学分别在塔的东西两侧的A，B两处（点A，C，B在同一条直线上），测得塔顶D的仰角分别为45°和65°，已知两人之间的距离约为82米，求塔CD的高度．（精确到1米）
（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
【分析】设CD＝x米，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义表示出AC，从而表示出BC，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设CD＝x米，
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴AC＝＝＝x米，
∵AB＝82米，
∴BC＝AB﹣AC＝（82﹣x）米，
在Rt△BCD中，∠B＝65°，
∴tan65°＝＝≈2.14，
∴x≈56，
∴塔CD的高度为56米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝10．点C是半圆O上一点，连接AC，BC，作OF⊥AC，垂足为F．过点C作半圆O的切线交AB的延长线于D，交OF的延长线于E，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）①连接OC，当AC＝CD时，△OBC的形状是等边三角形；
②若BC＝6，则线段CD＝．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠ECO＝90°，根据全等三角形的性质得到∠EAO＝∠ECO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）①根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠D，∠CAO＝∠ACO，根据三角形的外角的性质得到∠COD＝∠CAO+∠ACO＝2∠CAO＝2∠D，求得∠COD＝60°，于是得到△OCB是等边三角形；
②根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝8，根据
相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠ECO＝90°，
∵OA＝OC，OF⊥AC，
∴∠AOE＝∠COE，
在△AEO与△CEO中，
，
∴△AEO≌△CEO（SAS），
∴∠EAO＝∠ECO＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：①当AC＝CD时，△OBC的形状是等边三角形，理由：∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠D，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠COD＝∠CAO+∠ACO＝2∠CAO＝2∠D，
∵∠OCD＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴△OCB是等边三角形；
②∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵∠ACB＝∠OCD＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB＝∠CAD，
∵∠D＝∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝＝＝，
∴设CD＝4x，BD＝3x，
∵△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴CD＝，
故答案为：①等边三角形；②．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．21．（9分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，已知AB＝4．
（1）点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）；
（2）c的值为﹣3，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（3）设点P是y轴右侧抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，当PM ≥2时，求点P的横坐标x P的取值范围．
【分析】（1）设A（x，0），则B（x+4，0），代入y＝x2﹣2x+c，求出x，c的值，即可求解；
（2）由（1）可得c的值为﹣3，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，即可得抛物线的顶点坐标；（3）求出直线BC的解析式y＝x﹣3，设P（m，m2﹣2m﹣3），根据PM∥x轴交直线BC 于点M可得M（m2﹣2m，m2﹣2m﹣3），则PM＝|m2﹣2m﹣m|＝|m2﹣3m|，由PM≥2即可求解．
【解答】解：（1）设A（x，0），则B（x+4，0），代入y＝x2﹣2x+c得，
，解得，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3，A（﹣1，0），B（3，0），
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；
（2）由（1）可得c的值为﹣3，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
故答案为：﹣3，（1，﹣4）；
（3）设直线BC的解析式y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得，
∴直线BC的解析式y＝x﹣3，
设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM∥x轴交直线BC于点M，
∴M（m2﹣2m，m2﹣2m﹣3），
∴PM＝|m2﹣2m﹣m|＝|m2﹣3m|，
∵PM≥2，
∴|m2﹣3m|≥2，解得m≥或m≤（舍去）或1≤m≤2．
∴点P的横坐标x P的取值范围为x P≥或1≤x P≤2．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，两点的距离等，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
22．（10分）点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．（1）发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是DH＝HF；
（2）探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由．
（3）拓展
在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF 的长．
【分析】（1）证△GCF≌△BEC（AAS），得BC＝GF，则CD＝GF，则证△HCD≌△HGF （ASA），得出DH＝HF即可；
（2）证△FCG∽△CEB，则＝＝n，由矩形的性质得出＝n，证△HCD≌△HGF （ASA），即可得出DH＝HF；
（3）根据矩形的性质和已知得n＝＝，则CE＝CF，分两种情况，根据勾股定理和平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）DH＝HF；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠EBC＝∠BCD＝90°，
∴CD⊥BC，
∵FG⊥BC，∠ECF＝90°，
∴CD∥GF，∠CGF＝∠ECF＝∠EBC＝90°，
∴∠GCF+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠GCF＝∠BEC，
在△GCF和△BEC中，，
∴△GCF≌△BEC（AAS），
∴BC＝GF，
∴CD＝GF，
∵CD∥GF，
∴∠HDC＝∠HFG，∠HCD＝∠HGF，
在△HCD和△HGF中，，
∴△HCD≌△HGF（ASA），
∴DH＝HF，
故答案为：DH＝HF；
（2）DH＝HF仍然成立；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，FG⊥BC，∠ECF＝90°，∴∠CGF＝∠ECF＝∠EBC＝90°，
∴∠FCG+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠FCG＝∠CEB，
∴△FCG∽△CEB，
∴＝＝n，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝nAD，
∴＝n，
∴＝，
∴GF＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴CD∥GF，
∴∠HDC＝∠HFG，∠HCD＝∠HGF，
在△HCD和△HGF中，，
∴△HCD≌△HGF（ASA），
∴DH＝HF；
（3）如图3所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，∠RDC＝90°，RD∥CH，
∵AB＝nAD，CF＝nCE，
∴n＝＝，
∴CE＝CF，
分两种情况：
①当AR＝AD时，
∵AD＝3，
∴AR＝1，DR＝2，
在Rt△CDR中，由勾股定理得：CR＝＝＝2，∵RD∥CH，DH＝FH，
∴RC＝CF＝2，
∴CE＝×2＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝；
②当DR＝AD时，同理可得：DR＝1，RC＝，CF＝RC＝，CE＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝；
综上所述，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则线段EF的长为或．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了y＝（x＞0）和y＝﹣x+5的图象，两个函数图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1）．在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：
（1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+5﹣
（x1＜x＜x2）；
（2）为了进一步的研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：
①列表：
表中m＝，n＝；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点．
③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝1时，y的最大值为3．（3）应用：已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关
系W＝﹣+20，求m取最大值时矩形的对角线长．
【分析】（1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式；
（2）①将x＝和x＝3分别代入函数解析式即可；
②③通过描点、连线，观察图象可得答案；
（3）将W＝2（m+n）代入W＝﹣+20中，得出m关于n的函数解析式，再根据（2）中结论求出最大值，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵点P的横坐标为x，
∴P（x，﹣x+5），Q（x，），
∴y＝﹣x+5﹣，
故答案为：y＝﹣x+5﹣；
（2）①当x＝时，m＝﹣+5﹣2＝，
当x＝3，n＝﹣3+5﹣＝，
故答案为：，；
②③如图所示，。