MT高数专升本教案1

**用2号字，公式编辑器中，尺寸→定义，（标准12，下上标7，次下上标5，符号18，次符
号12）*2。

第一部分 函数、极限和连续
一、函数的定义域、函数的特性（有界性单调性奇偶性等）
有界：
M x f ≤)(或b x f a <<)(
如：x y x y cos ,sin ==，反三角函数
说明：分段函数一般不是初等函数，但也有特例。

如
2
0x
x x x x
y =
⎩⎨⎧<-≥=
二、极限的概念与计算 1、左极限：
A x f x f x f x x =-==-→-)0()()(lim 00
，
右极限：
A x f x f x f x x =+==+→+)0()()(lim 00
结论:
⇔=→A x f x x )(lim 0
=-→)(lim 0
x f x x A x f x x =+→)(lim 0
2、A x f x =∞
-→)(lim 和A x f x =∞
+→)(lim
结论:
⇔=∞
→A x f x )(lim =-∞
→)(lim x f x A x f x =+∞
→)(lim
三、极限的运算
1、无穷小与有界函数的乘积是无穷小。

例:
x
x x sin lim
∞
→
2、(
型)
例:
93lim
2
3
--→x x x 、
∞=+--→4
532lim
2
1
x x x x
3、(
∞
∞
型)
例：
1352lim
2
2
+-+-∞
→x x x x x 、
n
n n
m m m x b x
b x b a x
a x
a ++++++--∞
→ 1
10110lim
3332323lim
3
22
3
lim
2
1
2=+⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=+-∞
→++∞
→n
n
n n n
n
n n
4、例:
]2
1)
1(2
12
1[
lim 1
2
n
n n -∞
→-++-
(含数列之和,先求和) 四、无穷小与无穷大
1、无穷小与无穷大的判别。

例：
x x x f 1)(2-=
何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？
练习：
1
2)(-=
x x
x f 何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？
2、无穷小的比较：
0)
()(lim
=x x αβ， ∞=)
()(lim
x x αβ， 1)
()(lim
=x x αβ
五、两个重要极限 1、夹逼准则： 若
n n n z x y ≤≤，a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim ， a x n n =∞
→lim
2、第一类重要极限：
1sin lim
=→x
x x
特点：(1)
型 (2)含三角函数或反三角函数
例:
x x
x 3sin lim
→，
322cos 122sin lim
3
22cos 132sin lim
32lim
==
=→→→x
x
x x x x x x
tg x x x ，
2
20
2
2sin 2lim
cos 1lim
x x
x
x x x →→=-，
x
x
x arcsin lim
→,
x
x
x 2sin 3sin lim
→,
π
π
-→x x x sin lim
3、第二类重要极限：
=+
∞
→x
x x
)11(lim e x x x =+→1
)1(lim
特点：(1)底数:
11→+α (2)指数:
∞→α
1
例:求 x
x x 10
)
21(lim
-→，
x
x x x )
1
1(
lim +-∞
→
六、函数的连续性 1、定义
)()(lim 00
x f x f x x =→
例 讨论函数⎩⎨
⎧<≥=0
20)(x x x x
x f 在
0=x 处的连续性。

2、函数的间断点(不连续点)：没有定义、
)
(lim 0
x f x x →不存在、
)()(l i m 00
x f x f x x ≠→
3、初等函数的连续性：一切初等函数在定义区间内是连续的。

4、有界性与最大值最小值定理
5、零点定理
例 证明方程0142
3=+-x x 在区间)
1,0(内至少有一个根
6、介值定理
练习: 1、判定函数
x
x
x f )
32()32()(-
++
=的奇偶性；
2、求极限：x
x x x x sin cos 2lim
2
2
-+∞
→，n
n n
n
)111(lim
2
+
+∞
→，n
n
n n 3
21
3
lim
1-++∞
→，
1
1lim
-+→x x x ，
1
1lim
2
-+∞
-→x x x
3、求极限：
]12
11
1[
lim 2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→
4、讨论极限：
x x x x x e e e
e 11
11
lim
-
-→-+；
5、求函数2
sin x
x x
y -=
的连续区间。

若有间断点，试指出间断点的类型；
6．设
)(x f 的定义域为]1,0[，则函数
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+4141x f x f 的定义域是 （ D ） (09年)
A ．]1,0[
B ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-45,41 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,41 7．下列极限存在的是 （ B ） (09年)
A ．
x
x x sin lim
∞
→ B ．
x x 1
2lim ∞
→
C ．2
11lim n
n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∞→ D ．121lim 0-→x
x 8. 若k a n n =∞
→lim （k 为常数），则=∞
→n
n a 2lim k 。

9．设函数
⎩⎨
⎧>+≤=0
,0
,)(x x a x e x f x
在0=x 处连续， 则=a 1 。

(09年) 10．
=-+
-∞
→)
4(1
lim
2
x x x x （05年）
11．lim 2355
n
n
n
n
n →∞++= （06年） 12．设1)(lim =+∞
→x f x ，则)]()2([lim x f x f x --+∞
→= 。

13.计算2
2
lim
x
e
e x x
x -+-→． (09年)
14．设曲线)(x f y =在原点与曲线x y sin =相切，
求⎪⎭
⎫
⎝⎛∞
→n f n
n 2lim
(09年) 15．求极限()()()()()
x b x a x b x a x ---+++∞
→lim
.
（08年）
16..求极限()n
n
n
n
n
n 7
57
32lim
+-++∞
→ （08年）
第二部分 一元函数微分学
一、导数的概念 1、定义：
x
x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)
()(lim
)(000
0)
()(lim
x x x f x f x x --=→
例：
)1(22)
1()21(lim
20
f x
f x f x '-=----→
例
：设函数)(x f y =在点
x x =处可导，则
). ()
2()3(lim
000
=--+→h
h x f h x f h （05年二）
).
(5)( ),( 4)(
),(x 3)( ),()(0'
0'
0'
0'x f D x f C f B x f A
2、几何意义：曲线)(x f y =在0x 处的切线斜率是导数)(0x f '。

3、可导与连续的关系
例：3
)(x x f =在
0=x 处连续但不可导
二、导数的计算
1、函数的和、差、积、商求导
2、复合函数的求导
3、高阶导数
4、隐函数的导数
例 求由方程
02
=+-+e x xy e y 所确定的隐函数的导数y '。

5、由参数方程所确定的函数的导数
设⎩⎨⎧==)
()
(t y t x ψϕ，则有 )()(t t dx dy ϕψ''=
)()()(2
2t t t dx y d ϕϕψ''
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''= 记法：（dt t dx dt t dy )(,)(ϕψ'='=） 三、微分的计算 dx x f dy )('=
四、中值定理：罗尔定理 拉格朗日中值定理 五、洛必达法则
例： 求
x
e
e x x x sin lim
-→-，
x x
x 3sin 2sin lim
0→ ；
x
x x 1)1(lim
-+→α
00
型
例：求
02
lim
2lim
lim
2===+∞→+∞→+∞→x
x x
x x
x e e x
e x
∞
∞型
例：x x x ln lim 2
+
→ ∞⋅0型
例：
)ln 1
1(
lim 1
x x x
x -
-→ ∞-∞型
例：求x x x +
→0
lim （N e N ln = ） 0
0型
六、单调性、极值、凹凸性、拐点判定（列表） 七、最大值与最小值
1、)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值(方法：比较驻点、不可导点与端点的函数值)
2、
)(x f 在),(b a 内的最大值和最小值（驻点唯一）
八、曲线的斜渐近线与垂直渐近线
)(x f y =的斜渐近线b ax y +=：
])([lim ,)
(lim ax x f b x
x f a x x -==∞→∞→
例：讨论函数
x x x x f 323
1)(2
3+-=
的单调性、极值、凹凸性、拐点。

例：（1）当
0>x 时，2
12
x
x e x
+
+≥（单调性）
（2）当0>x 时，132-≥x x x （极值）
练习：
1、设
xy e
y
x =+，求y '， 2、设x
x y +-=11，求)
(n y
3、设
)1ln(2
x
e
y +=，求dy 。

4、求函数
x
x x y )
1(2
+-=的导数。

（05年二）
]
1
)12()1[ln()1(]1)12()1[ln()1(22
2
2
2
)
1ln()
1ln(2
2
2
+--+
+-+-=+--+
+-='=+-=+-+-x x x x x x x x x x x x x x e
y e x x y x
x x x x x x x
5、设
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00
01sin
)(x x x
x x f α
， （α为实数），试问
α
在什么范围
时, （06年二）
（1）)(x f 在点0=x 连续；
（2）)(x f 在点0=x 可导.
第三部分 一元函数积分学
一、不定积分
1、不定积分的概念：
⎰=)(])([x f dx x f dx
d ，
⎰+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡C x f dx x f dx d )()(
2、基本积分公式（直接积分法）
3、第一类换元法（凑微分法） 例：计算下列积分：
（1）
dx x x
⎰+1
2
2； （2）⎰xdx x sin cos ； （3）
⎰
+dx x x 2)
ln 32(1；（4）⎰-dx xe x
22；
（5）
dx x x x )32(132
+++⎰；(6) ⎰
+dx
e
e
x
x
1； （7）
⎰
dx x x
2cos ；
（8）⎰
-dx x
x
2
2
1；
（9）
⎰
+dx x 2
41
； (10) dx x x ⎰+2cos )2(
（11）
dx e x x x
⎰
-+)4(2, （12）⎰dx e
x
；
4、第二类换元法：
（1）被积函数含n
b ax +，令t b ax n =+。

例：求
⎰
-+dx x 121、⎰+dx x
x 31
（2）被积函数含2
2
x
a -，
令
)22(sin π
π
≤
≤-
=t t a x 。

例：求
)0(42
>-⎰
a dx
x
（3）被积函数含2
2
a
x +，令
t a x tan =
例：求
⎰
>+)0(1
2
2
a dx
a
x
（4）被积函数含22a x -，令
t a x sec =
例：求⎰>-)0(1
2
2a dx a x
5、分部积分法
（1）幂函数尽量不凑微分
例：求
⎰xdx
x cos ，
⎰dx e x x 2， ⎰xdx
x ln 2
，
⎰
xdx x arctan
⎰⎰⎰-==xdx
x x x xd xdx x sin sin sin
cos
)1ln (3
1ln 3
1
ln 3
3
3
2
dx x
x
x x xdx xdx x
⎰
⎰⎰-
=
=
（2）单一函数：
⎰
xdx n
ln 、
⎰
xdx arccos
⎰⎰⎰-=-=xdx
x x dx
x
x x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 2
2
2
（3）求
⎰xdx
e
x
sin
6、一些简单有理函数的积分。

例：求
⎰++dx x
x )
1)(1(1
2
⎰⎰
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=++dx x c bx x a
dx x x 11)1)(1(1
22
练习
1、
⎰+dx x
1
1
2
，⎰
+dx x x 1
2
，⎰
+dx x x
1
2
2
，⎰
+dx x x
1
2
3
2、
⎰xdx
cos ，
⎰xdx
2cos
，
⎰xdx 3cos 3、⎰
xdx tan ，⎰xdx 2tan
，⎰xdx
3
tan
4、
⎰+dx x 2
41
，⎰
+dx x
2
41，⎰
-dx x
2
41，
⎰
-dx x 2
4
5、
⎰
⎰+-+=
+dx e
e
e dx e
x
x
x
x
22221111
（05年二）
， ⎰⎰⎰----++-
=+=
+dx e
e d dx e
e
dx e
x
x
x
x
x
222221)
1(2
1
111
(1)
dx x x +⎰
（06年二），
⎰+dx x x
13
2
（08年二）
二、定积分
1、定积分的概念：定积分的定义及其几何意义
2、变上限的定积分
若
⎰
=
x a
dt
t f x F )()(，则
)()(x f x F ='
若
⎰
=
)
()()(x a
dt
t f x F ϕ，则
)()]([)(x x f x F ϕϕ'='
例：求
2
cos 1
2
1
cos 0
2
2
lim lim
x
dt
e x
dt
e x
t
x x
t x ⎰⎰
-→-→-
=
x
x
e
x
x 2sin lim
2
cos
-→=
3、定积分的计算（牛顿一莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）
例：求
dx x
x
⎰
-+11
4
31，⎰-3
2dx x ，
⎰
+-2
2
12dx x x
4、无穷区间的广义积分
例：计算反常积分
⎰
∞+1
x
dx ，
⎰
∞+1
2
x
dx ，
⎰
∞
+∞
-+2
1x
dx
5、平面图形的面积和旋转体的体积
⎰
-=
b a
dx x f x f A )]()([12
⎰
-=b a
dx x f x f V )]()([2
122
π
类似有：
⎰
-=
d c
dy y y A )]()([12ϕϕ，
⎰
-=d c
dy y y V )]()([21
22ϕϕπ
练习：
1、计算下列积分：
（3）
⎰
-2/30
2
3
1dx x x
; （4）⎰1
0dx xe x
;
(5)
dx x
x
⎰
-++
π
π
)1sin 3(2
; （6） ⎰
++30
1
11dx x ;
（7）
⎰
2
cos
π
dx x ; （8）⎰
+π
2cos 1dx x ;
(9)
⎰
e e
dx x x /1ln ;
(10)设
⎩⎨⎧≤<≤≤-=100
1,)(2
x x x x x f , 求dx x f ⎰-11
)(. （11）
⎰-+1
2
)2(dx e x x
x
（05年二）;
⎰-+-0
1
2
2
31
dx x x
（05年一），2
sin x xdx π
⎰
（06
年二），2
220
4x x dx -⎰（07年
二）。

（12）计算()x
dt
e
e
x
t
t
x cos 12lim
--+⎰-→（08年二）
2、证明：（1）⎰
π
π
2
sin
xdx
n
=
⎰
20
sin
π
xdx
n
t x -=π
⎰
⎰
⎰⎰=
=
-=20
20
2
2
sin
sin sin sin
π
π
ππ
πxdx
tdt tdt xdx n
n
n
n
（2）设
⎰=
π
sin xdx
I n
n ，证明：
21--=
n n I n
n I
（3）证明：
0cos
1
2=⎰
+π
xdx n ,
⎰
⎰
⎰
++++
=
ππ
π
π
2
1
220
1
20
1
2cos
cos cos
xdx
xdx xdx n n n
=⎰
π
2cos
xdx n
⎰2
2cos
2π
xdx
n
⎰
⎰
⎰
+
=
ππ
π
π
2
220
20
1
2cos cos
cos
xdx
xdx xdx n
n
n
3、求
1,==x x y 与x 轴围成图形的面积，并求此图形分别绕x 轴和y 轴
旋转所得的体积。

第四部分 无穷级数
一、数项级数 1、数项级数
级数收敛的必要条件：若
∑∞
=1
n n
u
收敛，
则
0lim =∞
→n n u
例 几何级数
)0(1
1
≠∑∞
=-aq aq
n n 的收敛性
例：级数
∑∞
=1n n
u
收敛的必要条件为 . （07二 ）
例：设级数∑∞=1
n n
a
和级数
∑∞
=1
n n
b
都发散，则级数
∑∞
=+1
)(n n n
b a
是
（ ）. （05一）
)(A 发散， )(B 条件收敛， )(C 绝对收敛，)( D 可能发散或者可能收敛.
2、比较判别法：设
∑∞
=1
n n
u ，∑∞=1
n n
v
是两个正项级数，且
n n v u ≤
（1）若
∑∞
=1
n n
v
收敛，则
∑∞
=1n n
u
收敛；
（2）若
∑∞
=1
n n
u
发散，则
∑∞
=1n n
v
发散。

例：判定
∑∞
=+1
2
1
n n
n
、
∑∞
=-1
121
n n 、∑∞
=+1
121
n n 、∑∞
=+
1
1n n
n 、
∑∞
=1
2
2
sec
n n
n
n
、
∑∞
=1
1
n n
n
的收敛性。

例：判别正项级数
∑
∞
=+
1
2
)1
1ln(n n
n 的敛散性. （06二）
结论：对于p 级数，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

（熟记此结论）
当1=p 时， +++++n
1
31211称为调和级数。

（调和级数发散） 例：若级数31
1
1n n
α∞
-=∑
收敛，则α的取值范围是 . （06二）
定理（比较审敛法的极限形式）：设
∑∞
=1
n n
u ，∑∞=1
n n
v
是两个正项级数，
（1）若
)0(lim
+∞<≤=∞
→l l v u n n n ，且∑∞
=1
n n v 收敛，则∑∞
=1
n n
u 收敛。

（2）若0l i m
>=∞
→l v u n
n n 或+∞
=∞
→n
n n v u lim
，且
∑∞
=1
n n
v
发散，则
∑∞
=1
n n
u
发
散。

结论：若
)0(lim
+∞<<=∞
→l l v u n
n n ，且∑∞
=1
n n v 与∑∞
=1
n n
u 收敛性相同。

例：级数
∑
∞
=+1
)
1(1n n n 是发散，
∑∞
=+1
2
2
1
sin n n
n
的收敛
3、比值判别法：设
∑∞
=1
n n
u
为正项级数，
若
ρ=+∞
→n
n n u u 1lim
，则
（1）当
1<ρ时级数收敛；
（2）当
1>ρ或+∞
=ρ时级数发散；
（3）当1=ρ时，不能确定。

说明：比值判别法比较适合用于一般项中含
n
a
n ,!的级数。

例：判断级数
∑∞
=1
10
!
n n
n 的收敛性。

4、交错级数：
0,)
1(1
1
>-∑∞
=-n n n n u u
定理（莱布尼兹判别法）：设交错级数满足条件 （1） ≥≥≥321u u u ,即数列}{n u 单调减少；
（2）
0lim =∞
→n n u 。

则交错级数收敛。

5、一般级数
绝对收敛：
∑
∞
=1n n
u 收敛，
条件收敛：
∑
∞
=1n n
u 发散而
∑∞
=1
n n
u
收敛。

例：判断级数
∑∞
=--1
1
1)
1(n n n
、
∑∞
=--1
2
1
1)
1(n n n
的收敛性。

例：对于级数
∑∞
=-1
1)
1(n p
n
n
，下列说法中正确的为（ ）（07二）
(A ）当
1<p 时，发散
(B) 当
1<p 时，条件收敛
(C) 当1>p 时，条件收敛 (D) 当
1>p 时，绝对收敛
例：级数0
cos 1
n n n π∞
=+∑
为（ ）. （06二）
()A 绝对收敛 ()B 条件收敛 ()C 发散 ()D 无法判断
例：判定
∑
∞
=+-1
1
2)1(n n
n n 、
∑∞
=-+-1
3
1)
1(n n n
n n
的收敛性。

例：确定级数
∑
∞
=1
3
!
sin n n n
n 的收敛性. （07二）
二、幂级数：
+++++=∑∞
=n
n n n
n
x a x a x a a x
a
2
2100
1、幂级数的收敛半径与收敛区间
定理：若
ρ=+∞
→n
n n a a 1lim
，则收敛半径：
ρ1=R ， ⎪⎩
⎪
⎨⎧∞+=0
1ρ
R
例：幂级数
()
∑
∞
=-0
2
2n n
n
x 的收敛半径为.________________（08二）
例：确定幂级数
∑∞
=-1
1
1
n n n
x
na
收敛半径及收敛域，其中
a 为正常数. （07二）
例：求幂级数 20
3n n n x ∞
=∑的收敛半径与收敛区间.（06二）
2、函数展开为幂级数
)1||(1112<+++++=-x x x x x
n
+++++=!
!212
n x
x
x e n
x
)|(|)!
12()
1(!
5!3sin 1
25
3
+∞<++-+-+
-=+x n x
x
x
x x n n
)
|(|)!
2()
1(!
4!
21cos 24
2
+∞<+-+-+
-
=x n x
x
x
x n
n
例：将函数()()x x x f +=1ln 2
展开成x 的幂级数. （08一）
例：将函数x y arctan =展开为麦克劳林级数. （07二）
练习：1、判断级数
∑
3
sin n
n α、
∑
--1
43)1(n n n
、
∑
∞
=-1
)1(n n
n
n π
、
∑∞
=--1
2
1
1)
1(n n n
的收敛性。

2、判别级数∑∞
=+12
)1(2
n n
n 、∑
∞
=1
!
2
n n
n 的收敛性。

3、求幂级数
∑∞
=+0
1n n
n x
和 ∑∞
=-1
1
2n n nx
的收敛区间。

4、将函数
()x
x x f --=
31在点
10=x 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不
考虑）。

（07一） 5、将函数
x y ln =展成1-x 的幂级数并指出收敛区间. （06二）
6、把函数
1
1+=
x y 展开成
1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间. （05一）
7、将函数())23ln(2
++=x x x f 展开成x 的幂级数，并指出收敛半径。

（06一）
*4、求
+-++-+-n
n x
x x x 2642)1(1的和函数，并由
求
π的值。

求幂级数
∑∞
=+1
2)12(n n
n
x
，
∑
∞
=-+1
1
3
)
2(n n
n x n 的收敛区间
)1||()(1112<+-+-+-=+x x x x x n
)1||()
(11124
2
2
<+-+-+-=+x x x x x
n
())
1ln(21ln 2ln )
1ln()2ln()23ln(2
++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=+++==++=x x x x x x x f
第五部分 常微分方程
一、一阶微分方程
1、微分方程的概念：微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解
2、可分离变量的方程：dx x dy y g )()(ϕ=
解法:
(１)分离变量：dx x f dy y g )()(=
(２)两边积分
dx x f dy y g )()(⎰
⎰=
例:
xy
dx
dy
2=，
1tan =-y dx
dy x
，0sin =-'x e y y
，
y
x
y
x e
xe xe
y 2
2
=='+
y
x
e
xe
dx dy 2
=，
dx xe dy e
x
y
2
=-
02)
6(2
=+-y dx
dy x y （交换变量）
例
：
)(x f 在
)
,1[+∞具有连续导数，且满足
⎰
=+-
x dt t f t x f x 1
2
2
1)()1()(，求)(x f .（07二）
例：计算微分方程
)
1()1(22
x y y x dx
dy
++=
满足初始条件 (0)1y =的特解. （06二）
例：微分方程y
x x e
x dx
dy -++=2
)12(的通解y = （06一）
3、一阶线性方程：
)()(x Q y x P y =+'通解为：
])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-
也可表示为：
y Y y +=
例：求解微分方程x e x y y sin cos -=+'.（07二）
例：求微分方程
x y x dx
dy x
sin )(sin cos =+的通解. （05二）
二、二阶线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程：0)()(=+'+''y x q y x p y
特征方程
02
=++q pr r
特征根： 2
1,r r
（1）若特征方程有两个不相等的实根2
1,r r
通解为：
x
r x r e c e
c y 2121+=（21,c c 是任意常数） （2）若特征方程有两个相等的实根r r r ==2
1
通解为：
rx
e
x c c y )(21+=（21
,c c 是任意常数）
（3）若特征方程有一对共轭虚根
β
αβαi r i r -=+=21,
通解为：
)sin cos (21x c x c e
y x
ββα+=
例：求微分方程
02
2
=+dx
dy dx
y
d 的通解. （08二）
例：微分方程 450y y y '''-+=的通解为 .（06二）
例：任给有理数
a ，函数()x f 满足
()()10
+-=
⎰
x dt t a f x f ，求()x f （07一）
2、二阶常系数非齐次线性微分方程：)(x f qy y p y =+'+''
（1）x
m e
x p qy y p y λ)(=+'+''
若
λ不是特征方程02
=++q pr r 的根， x
m e x Q y λ)(=
若λ是特征方程的单根，特解为
x
m
e x xQ y λ)(=
若λ是特征方程的重根，特解
x
m e x Q x y λ)(2=
（2）]sin cos [x B x A e qy y p y x
ωωλ+=+'+'' 当i ωλ±不是特征根时，
]sin cos [x b x a e y x
ωωλ+= 当i ωλ±是特征根时,
]sin cos [x b x a xe
y x
ωωλ+=.
例：求下列方程的特解
（1）
x y y 3sin 2=+'' （2）x y y cos 2=+'' （3）x x y y y 2cos 52sin 62+=-'-''
例：求微分方程
x
e
dx
dy dx
y
d =+
2
2
的通解. （08一）
例：求微分方程x
e y y y 252=+'+''的通解. （07二）
例：求微分方程
2
2
3
22x
d y dy y
e dx
dx
-+=满足
0,
10
====x x dx
dy y
的特解。

（06一）
例：求二阶微分方程
x y dx
dy dx
y
d =+-2
2
2
的通解. （05一）
例： 若函数0
()()()x x
f x x t f t dt e =-+⎰
，求()f x . （06二）
例：对于
x xe x y x y x y x
sin )(2)(2)(=+'+''，其特解可以假设
为 . （07二）
练习：
1、求微分方程x
xe y y y 265=+'-''的通解
2、解微分方程 0|,1|2002='=='+''==-x x x
y y e y y 3、解方程 x y y 2cos =+''
4、设
2
,,1x y x y y ===为微分方程)(x f qy y p y =+'+''的三个解，则)(x f qy y p y =+'+''的通解为
1)1()1(2
21+-+-=x c x c y
)(111
x f qy y p y =+'+'' )(222
x f qy y p y =+'+'' 5、若
x x y sin =，x y sin =分别为非齐次线性方程)(x f qy y p y =+'+''的解，则x x y sin )1(+=为下列方程中
（ B ）的解：（07二）
(A ）
0=+'+''qy y p y
（B ）
)(2x f qy y p y =+'+''
(C) )(x f qy y p y =+'+'' (D) )(x xf qy y p y =+'+''
6、.已知y=f (x ) 连续可导且满足:
1sin )(2cos )(0
+=⋅+⎰x tdt t f x x f x
, 求f (x )．
7、.已知y=f (x ) 连续可导且满足:1
()2()f xt dt f x =⎰,
f (1)=1,求f (x )．
一阶线性方程：
)()(x Q y x P y =+'通解为：
])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-
也可表示为：y Y y +=
第六部分 空间解析几何与向量代数
一、向量代数
1、向量的概念：向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦
(1)与向量
a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量:|
|a a
e =
(2)非零向量a 平行于b 的充要条件是：存在唯一的实数λ，使 b =λa.
(3)已知
),,(1111z y x P ,),,(2222z y x P ，则
)
,,()())(12121212121221z z y y x x k z z j y y i x x P P ---=-+-+-=，
(4)方向角与方向余弦
方向角：r 与Oz
Oy Ox ,,轴正向的夹角（分别记为
γ
βα,,.规定
πγβα≤≤,,0）.
设
),,(z y x k z j y i x OM r =++==，则
2
22z
y x OM r ++=
=
方向余弦：方向角的余弦
2
22|
|cos z
y x x r x ++=
=
α，
r
y =
βcos ，
r
z
=
γcos
关系式：
1cos cos
cos 2
2
2
=++γβα
(5)向量在坐标轴上的投影
OM
r =在
u 轴上的投影:λ==u u r r j )(Pr ,
其中
e M O λ='
性质:
ϕcos ||)(Pr a a a j u u ==
2、向量的线性运算：加法 减法 向量的数乘
3、向量的数量积 (1)定义： θ
cos ||||b a b a =⋅ 。

数积又称点积、内积。

(2)结论：
0=⋅⇔⊥b a b a 4、二向量的向量积 (1)定义：
θ
sin ||||||b a b a =⨯ ,
b a ⨯垂直于a 和b 所在的平面，
它的正向由右手定则确定。

向量积又称叉积、外积。

(2)结论： a ∥
b ⇔b a b a λ=⇔=⨯0
(3)运算法则
设
k
a j a i a a z y x ++=，
k
b j b i b b z y x ++=，
则:
z
y
x
z y x
b b b a a a k j i
b a =⨯
练习：
1.已知平面过三点
)7,1,3(,)5,4,2(,)1,0,1(C B A -，求与此平面垂直的向量。

2.已知k j i b k j i a 236,22++=--=，
求b a ⋅、a 与b 的夹角
3. 求以
)1,0,1(,)2,1,1(,)0,2,2(--C B A 为顶点的三角形的面积。

二、平面
1、点法式方程:
0)()()(000=-+-+-z z y y B x x A
2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax
其中
k C j B i A n ++=称为该平面的法线向量。

3、平面平行、垂直的条件：1n ∥2n ，2
1n n ⊥
4、点到平面的距离 三、空间直线
1、一般式方程：⎩⎨⎧=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A
2、标准式方程（又称对称式方程或点向方程）、数式方程：
p
z z n
y y m
x x 0
-=
-=
-，
k p j n i m s ++=称为L 的方向向量。

3、两直线平行、直的条件：1s ∥2s ，2
1s
s ⊥
4、简单的二次曲面
球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面
练习：
1、将直线的一般式：⎩⎨⎧+=-=7
65
2z y z x 化为对称式方程、参数方程。

2、求过点)1,1,0(,)1,1,1(21-M M 且垂直于平面0
=++z y x 的平面方程。

3、求过点
)3,1,2(且与直线
1
2
11
1-=
-=
+z
y x 垂直相交的直线方程。

4、下列方程表示什么曲面？
92
2
2
=++z y x ，2
2
2
a
y x =+，
z y x =+2
2，
2
2
2
z
y x =+
5．求经过点
()1,1,1且平行于直线
⎩⎨
⎧=--=--1
520
32z y x z y x 的直线方程。

（07年） 6．设平面∏过点()1,0,1-且与平面
0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程
为 （08年）。