2023年山东枣庄市数学高一第二学期期末复习检测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为（ ）海里/小时．
A ．6
B ．46
C ．86
D ．166
2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1357920a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．27
B ．36
C ．45
D ．54
3．设,m n 是两条不同的直线，αβ，
是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ ②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥ ③若,
,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥
④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥ A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ） A ．
2
3
B ．
12
C ．
13
D ．
34
5．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN 与BM 所成角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
6．已知θ为第Ⅱ象限角，2
25sin sin 240,θθ+-=则cos
2
θ
的值为（）
A ．
3
5
B ．35
±
C ．
22
D ．45
±
7．已知向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为（） A ．
15
B ．
14
C ．
13
D ．1
8．对于一个给定的数列{}n a ，定义：若(
)11n n n a a a n ∆+=-∈*
N ，称数列{}1n
a ∆为
数列{}n a 的一阶差分数列；若(
)2111n n n a a a n ∆∆∆+=-∈*
N
，称数列{}2n
a ∆为数列
{}n a 的二阶差分数列．若数列{}n a 的二阶差分数列{}2n a ∆的所有项都等于1，且
1820170a a ==，则2018a =（ ）
A ．2018
B ．1009
C ．1000
D ．500
9．已知向量()1,2a =-，()3,1b =，(),4c x =，若()
a b c -⊥，则x =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．化简()1111
2
32
240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
结果为（ ） A ．a B ．b C ．a
b
D ．
b a
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知向量(22)a =-，
，(3)b m =， ，若向量a b + 与a 垂直，则m = __________．
12．已知()tan 2tan αββ+=，,(0,
)2
π
αβ∈，则当α最大时，tan2α=________.
13．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号) 14．若复数满足
（其中为虚数单位），则
________.
15．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是 .
16．在ABC ∆中，三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若角,,A B C 成等差数列，且边,,a b c 成等比数列，则ABC ∆的形状为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知无穷数列{}n a ，{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n N ∈），其中[]
x 表示不超过x 的最大整数，即[]1x x x -<≤.
（1）直接写出数列{}n a ，{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5； （2）若11
,33
n n n n a b +-=
=，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d Z +∈.
18．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数
()()cos 22g x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭图象重合.
（1）求ω和ϕ的值； （2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫
⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，求函数()h x 的单调递减区间及图象的对称轴方程.
19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知
2
23
cos cos 222
C A a c b += （Ⅰ）求证：a b c 、、成等差数列； （Ⅱ）若,433
B S π
=
=，求b .
20．在等差数列中，11760,12.a a =-=- （Ⅰ）求通项
；
（Ⅱ）求此数列前30项的绝对值的和．
21．在相同条件下对自行车运动员甲､乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位:m/s ）的数据如下:
试判断选谁参加某项重大比赛更合适.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解析】
先求出sin15︒的值，再根据正弦定理求出MN 的值，从而求得船的航行速度. 【详解】
由题意64,120PM MPN =∠=︒， 在PMN 中，由正弦定理得
sin sin PM MN
PNM MPN
=∠∠
64
=sin 45sin120MN
︒︒
，得MN =
所以船的航行速度为
1410
MN
=-/小时） 故选C 项. 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，属于简单题. 2、B 【解析】
利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】
依题意1357955520,4a a a a a a a ++++===，所以19
9599362
a a S a +=⨯==，故选B. 【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.
3、A 【解析】
根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确． 【详解】
如图正方体1111ABCD A B C D -，
平面ABCD 是平面α，平面11BCC B 是平面β，但两直线BC 与1B C 不垂直，①错； 平面ABCD 是平面α，平面1111D C B A 是平面β，但两直线11B C 与AB 不平行，②错； 直线11A B 是直线m ，直线BC 是直线n ，满足m n ⊥，但平面11A B CD 与平面ABCD 不垂直，③错；
由,m n m α⊥∥得n α⊥，∵n β，过n 作平面γ与平面β交于直线l ，则//n l ，于是l α⊥，∴αβ⊥，④正确． ∴只有一个命题正确． 故选A ．
【点睛】
本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明． 4、A 【解析】
甲、乙、丙三人随意坐下有3A 63
=种结果，
乙坐中间则有2A
22
=，乙不坐中间有624-=种情况，
概率为
42
63
=，故选A. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 5、C 【解析】
把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE 和CN 平行且相等，故∠EBM (或其补角)为所求.再由△BEM 是等边三角形，可得∠EBM =60°,从而得出结论. 【详解】
把展开图再还原成正方体如图所示:
由于BE 和CN 平行且相等，故异面直线CN 与BM 所成的角就是BE 和BM 所成的角，故∠EBM (或其补角)为所求,
再由∆BEM 是等边三角形，可得∠EBM =60, 故选：C 【点睛】
本题主要考查了求异面直线所成的角，体现了转化的数学思想，属于中档题. 6、B 【解析】
首先由225sin sin 240θθ+-=，解出sin θ，求出cos θ，再利用二倍角公式以及2
θ
所在位置，即可求出． 【详解】
因为225sin sin 240θθ+-=，所以24
sin 25
θ=
或sin 1θ=-， 又θ为第Ⅱ象限角，故24sin 25θ=，7
cos 25
θ=-．
因为θ为第Ⅱ象限角即222
k k π
πθππ+<<+，k Z ∈
所以
422k k πθπ
ππ+<
<
+，k Z ∈，即
2
θ
为第Ⅰ，Ⅲ象限角．
由于27cos 2cos
1225θθ=-=-，解得3cos 25
θ=±，故选B ． 【点睛】
本题主要考查二倍角公式的应用以及象限角的集合应用． 7、D 【解析】
直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，向量(3,1)a =-，(3,1)b =，
则a 在b 方向上的投影为：31
12
a b b
⋅-=
=． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8、C 【解析】
根据题目给出的定义，分析出其数列的特点为等差数列，利用等差数列求解. 【详解】
依题意知{}1n a ∆是公差为1的等差数列，设其首项为a ， 则()1111n a a n n a ∆=+-⨯=+-，即11n n a a n a +-=+-， 利用累加法可得()()()()()()1112111122
n n n n n a a n a a n a ---=+--+
=+-+，
由于182017
0a a ==，即11
171360,
2016201510080,a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩ 解得1016a =-，117136a =，故
()201820162017
171362017101610002
a ⨯=+⨯-+
=．选C.
【点睛】
本题考查新定义数列和等差数列，属于难度题. 9、A 【解析】
利用坐标表示出a b -，根据垂直关系可知()
0a b c -⋅=，解方程求得结果. 【详解】
()1,2a =-，()3,1b = ()4,1a b ∴-=-
()a b c -⊥ ()440a b c x ∴-⋅=-+=，解得：1x =
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题. 10、A 【解析】
根据指数幂运算法则进行化简即可. 【详解】
11
1131113111
2
32
2424242244
a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查指数幂的运算，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、1- 【解析】
()1,2a b m +=+，所以()2420a b a m +⋅=-++=，解得1m =-．
12、
7
【解析】
根据正切的和角公式，将tan α用tan β的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的tan α，再用倍角公式即可求解. 【详解】
0,,0,22
ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
tan 0,tan 0αβ∴>>
tan()2tan αββ+=
故可得
tan tan 2tan 1tan tan αβ
βαβ
+=- 则
2
tan 112tan 1
12tan 422
2tan tan β
αβ
ββ
=
=≤
=
++
当且仅当
1
2tan tan ββ=，即2tan 2β=时， max 2
tan 4
α=
此时有22
22tan 424tan 221tan 7
116
ααα⨯
==
=-- 故答案为：42
7
. 【点睛】
本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用. 13、①②④ 【解析】
用正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．
14、 【解析】 设
，则由
，得
，
则，解得，即，即.
152 【解析】
()()0a c b c -⋅-=，
20a b a c b c c ∴⋅-⋅-⋅+=，
,a b 是平面内两个相互垂直的单位向量，
∴0a b ⋅=， ∴2()a b c c +⋅=，
2cos (),||a b c a b c c ∴++=，
cos c a b θ∴=+，θ为a b +与c 的夹角，
∵,a b 是平面内两个相互垂直的单位向量 ∴2a b +=
，即2cos c θ=，
所以当cos 1θ=时，即a b +与c 共线时，
c 取得最大值为22.
16、等边三角形 【解析】
分析：角、、A B C 成等差数列解得3
B π
=，边a b c 、、成等比数列，则2b ac =，再
根据余弦定理得出a c 、的关系式．
详解：角、、A B C 成等差数列，则2,B A C A B C π=+++=解得3
B π
=，边a b c
、、成等比数列，则2b ac =，余弦定理可知
2222b 2()0a c a c accosB ac a c =+-=⇒-=⇒=
故为等边三角形．
点睛：判断三角形形状，是根据题意推导边角关系的恒等式．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）23n n -；（3）证明见解析 【解析】
（1）根据定义，选择{}n a ，{}n b 的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑{}n a ，{}n b 的前3n 项的规律，然后根据计算[]x 的运算规律计算3n S ；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可. 【详解】
（1）由{}n c 的前4项为：2，3，4，5，选{}n a 、{}n b 的前4项为正整数：{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；
（2）将{}n a 的前3n 项列举出：(0,1,1,1,2,2,2,...,1,,)n n n -；将{}n b 的前3n 项列举出：(0,0,0,1,1,1,...,1,1,1)n n n ---；
则2
3(11)(1)(11)(1)323322n n n n n S n n n ⎡+--⎤⎡+--⎤⎛⎫⎛⎫=++=-
⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎣⎦； （3）充分性：取1,33
n n n n
a b +=
=-，此时120d d +=，将{}n a 的前3项列举出：
0,1,1，将{}n b 前3项列出：1,1,1---，此时{}n c 的前3项为：1,0,0-，显然{}n c 不是等差数列，充分性不满足；必要性：设11(1)n a a n d =+-，12(1)n b b n d =+-，当{}n c 为等差数列时，因为[][]n n n c a b =+，所以n c Z ∈ ，又因为
1100[][](1)()n c a b n d d Z =++-∈，所以有：
1101112[][](1)[(1)][(1)]a b n d a n d b n d ++-=+-++-，且[]1x x x -<≤，所以110110110(1)2[][](1)(1)a b n d a b n d a b n d ++--<++-≤++-；
111211121112
(1)(1)2[(1)][(1)](1)(1)a n d b n d a n d b n d a n d b n d +-++--<+-++-≤+-++-，
110110110
111211121112(1)2[][](1)(1)(1)()2[(1)][(1)](1)()
a b n d a b n d a b n d a b n d d a n d b n d a b n d d ++--<++-≤++-⎧⎨
++-+-<+-++-≤++-+⎩，
不妨令1101112[][](1)[(1)][(1)]a b n d a n d b n d S ++-=+-++-=，则有如下不等式：
110110
11121112(1)2(1)(*)(1)()2(1)()
a b n d S a b n d a b n d d S a b n d d ++--<≤++-⎧⎨
++-+-<≤++-+⎩； 当120d d d +>时，令120(0)d d d m m +=+>，则当2
1n m
->
时， 1112110(1)()2(1)a b n d d a b n d ++-+->++-，此时(*)无解；
当120d d d +<时，令120(0)d d d m m +=->，则当2
1n m
-<
时， 1112110(1)()(1)2a b n d d a b n d ++-+<++--，此时(*)无解；
所以必有：120d d d Z +=∈，故：必要性满足；
综上：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d Z +∈ 【点睛】
本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题. 18、（1）2ω=，3
π
ϕ=
；（2）减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
，对称轴方程为
()212
k x k Z ππ
=
+∈ 【解析】
(1)先根据平移后周期不变求得2ω=,再根据三角函数的平移方法求得3
π
ϕ=即可.
(2)根据(1)中()sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
,()cos 23g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
代入可得()h x ,利用辅助角公式求得(
)23h x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可.
【详解】
（1）因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪
⎝
⎭
的图象向左平移2
π
个单位长度后与函数
()()cos 22g x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭图象重合,
所以2ω=.
5sin 2sin 2cos 222663f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+=+-=+
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
所以()cos 2cos 23x x πϕ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭,
因为2
π
ϕ<
,所以3
π
ϕ=
.
（2）由（1）()sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
,()cos 23g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
, 所以()88h x f x g x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
, sin 2cos 22sin 212123x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
令
()32222
3
2k x k k Z π
π
πππ+≤+
≤+
∈,解得()71212
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
.
令()23
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈,可得图象的对称轴方程为()212
k x k Z ππ
=
+∈. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题. 19、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4. 【解析】
试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件
（3）解决三角形问题时，根据边角
关系灵活的选用定理和公式.（4）在解决三角形的问题中，面积公式
最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正
弦定理、余弦定理联系起来.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：2
23
sin cos sin cos sin 222
C A A C B += 即1cos 1cos 3
sin sin sin 222
C A A
C B +++=2分 ∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++= 即sin sin sin()3sin A C A C B +++=4分
∵sin()sin A C B +=
∴sin sin 2sin A C B +=即2a c b += ∴,,a b c 成等差数列. 6分
（Ⅱ）∵13
sin 4324
S ac B ac ===∴
8分
又2
2
2
2
2
2
2cos (+)3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=-10分 由（Ⅰ）得：2a c b +=∴224484b b b =-⇒=12分 考点：三角函数与解三角形. 20、（Ⅰ）363n a n =-；（Ⅱ）765 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意11760,12.a a =-=-可得：
进而得到数列通项公式为
363n a n =-；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得当21n ≤时，0n a ≤，所以
采用分组求
和即可
试题解析：（Ⅰ）∵即
．
∴．
∴．
（Ⅱ）由，则
．
∴
=
．
考点：1．求数列通项公式；2．数列求和 21、乙，理由见解析. 【解析】
分别求解两人的测试数据的平均数和方差，然后进行判定. 【详解】
甲的平均数为：11
(273830373531)336
x =
+++++=，方差为：
2222221147[(2733)(3833)(3033)(3733)(3533)(3133)]63
S =-+-+-+-+-+-=
;
乙的平均数为：21
(332938342836)336
x =
+++++=，方差为：2222222138[(3333)(2933)(3833)(3433)(2833)(3633)]63
S =-+-+-+-+-+-=
;
因为12x x =，12S S >，所以选择乙参加比赛较为合适. 【点睛】
本题主要考查统计量的求解及决策问题，平均数表示平均水平的高低，方差表示稳定性，侧重考查数据分析的核心素养.。