《1.1.2余弦定理》课件(人教高中数学必修五)

B a CB a C
B aC
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
勾股定理仍成立吗？
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b A
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
c
b2c22bccos A
D
B 同理有：b2 a2c22accos B
c2a2b22abcosC
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。
归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
剖析 剖 析 定 理
（3）已知a、b、c（三边），可
以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
变形
cosA= b2+c2 - a2 2bc
cosB= c2+a2 - b2 2ca
cosC= a2+b2 - c2 2ab
想一想：余弦定理在直角三角
形中是否仍然成立？
cosC=
a2+b2-c2 2ab
C=90°
a2+b2=c2
cosA=
b2+c2-a2 2bc
cosB=
c2+a2-b2 2ca
cosA= —cb cos B= —c
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
联想 是寻找解题思路的最佳途径
A
c b
c=∣AB∣
B aC
c2=
AB= AC+ CB
=AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
算一算试试！
A=b,求AB 边 c.
﹚
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A
得 : a 2Rsin A b 2RsinB c 2RsinC 代入a2 b2 c2 2bc cos A并化简得 :
sin2 A sin2 B sin2 C 2sinB sinC cos A
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
a2 b2 2abcosC
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦的
积的两倍。
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC
复习回顾 正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2ac
cosC a 2 b2 c 2 2ab
A 900 a2 b2 c2
A 900 a2 b2 c2
A 900 a2 b2 c2
解决实际问题
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
AC2 AB2 BC 2 2AB BC cos B
剖析 剖 析 定 理
问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广.
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的 四个元素，知三求一.（方程思想）
思考：
已知两边及一边的对角时， 我们知道可用正弦定理来解三 角形，想一想能不能用余弦定 理来解这个三角形？
sin2 600 3 4
62 3.42 2 6 3.4 cos120o
C
67.96
AC 8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子a2 b2 c2 2bccos A 转化为角的关系式？
分析： 由 正 弦 定 理: a b c 2R sin A sin B sinC
情景问题
千岛湖
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
情景问题
千岛湖
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
岛B 屿B
A岛屿A
120°
?
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
对余弦定理，
还有其他证明
方法吗?
﹚
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
余弦定理
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点