激光与原理习题解答第二章

激光原理第二章习题答案
1．估算2CO 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆和碰撞线宽系数α。

并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。

解：2CO 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆为
118
2
2
770693103007.16107.161010.61044 0.05310Hz
D T M νν---⨯⎛⎫⎛⎫
∆=⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪
⨯⎝⎭
⎝⎭=⨯ 2CO 气体的碰撞线宽系数α为实验测得，其值为
49KHz/Pa α≈
2CO 气体的碰撞线宽与气压p 的关系近似为
L p να∆=
当L D νν∆=∆时，其气压为
9
3
0.053101081.6Pa 4910D
p να∆⨯===⨯
所以，当气压小于1081.6Pa 的时候以多普勒加宽为主，当气压高于1081.6Pa 的时候，变
为以均匀加宽为主。

2．考虑某二能级工作物质，2E 能级自发辐射寿命为s τ，无辐射跃迁寿命为τ。

假定在t=0时刻能级2E 上的原子数密度为2(0)n ，工作物质的体积为V ，自发辐射光的频率为ν，求：
(1)自发辐射光功率随时间t 的变化规律；
(2)能级2E 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；
(3)自发辐射光子数与初始时刻能级2E 上的粒子数之比2η，2η称为量子产额。

解：(1) 在现在的情况下有
可以解得：
11
(
)22()(0)s t
n t n e
ττ
-+=
可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为2/s n τ，这就是t 时刻自发辐射的光子数密度，所以t 时刻自发辐射的光功率为：
222()()s dn t n n
dt ττ
=-+
(2) 在t dt →时间内自发辐射的光子数为：
所以
(3) 量子产额为：
3
．
根
据红
宝
石的
跃迁几率数据：
71
5
1
3
32
31
2121310.510,310,0.31
0,
S s
A s
A s S S -
--=⨯=
⨯=⨯=估算13W 等于多少时红宝石对694.3nm λ=的光是透明的。

(红宝石，激光上、下能级的统计权重124f f ==，计算中可不计
光的各种损耗。

)
解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为
其中（II ）式可以改写为
3
113332312221210221213321123() (I)()(,)() (II)
l dn nW
n S A dt dn f n n N n A S n S dt f n n n n σννυ=-+=---++++=2212101 (III)()(,) (IV)
l l l Rl dN N f n n N dt f σννυτ⎧⎪⎪
⎪⎪⎨
⎪⎪
⎪=--⎪⎩
2
332121222121()() (V)dn n S B n n n A S dt
ρ=+--+1
1
(
)2
2()(0)
s nr
t
s
s
n h V
P t h V n e
ττννττ-+=
=2
s
n dn Vdt
τ=
11
()222020
()
(0)(0)|(0)
1111()s t s
s s s s s n t n Vn V n Vdt e Vn τττ
ττττ
τττττ
-++∞
+∞-====+++⎰
221
11
(0)()
s s s n n V
τηττ
τττ
=
=
=
++
因为32S 与21A 相比很大，这表示粒子在3E 能级上停留的时间很短，因此可以认为3E 能级上的粒子数30n ≈，因此有3/0dn dt ≈。

这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求解。

由(I)式可得：
代入式(V)得：
因为30n ≈，所以12312 = n n n n n n ++=+ 又因为3120dn dn dn dn
dt dt dt dt
++== 即 所以
红宝石对波长为694.3nm 的光透明，意思是在能量密度为ρ的入射光的作用下，红宝石介质内虽然有受激吸收和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是ρ。

而要使入射光的能量密度等于出射光的能量密度，必须有12()n n -为常数，即21//0dn dt dn dt -=，这样式(VI)变为：
该式应该对于任意大小的ρ均成立，所以只有1212()0B n n ρ-=，即12n n =时才可以。

这样由上式可得：
1321213132()(1/)W A S A S =++
由于210S ≈，所以
这个时候红宝石对694.3nm λ=的光是透明的。

4．有光源一个，单色仪一个，光电倍增管及电源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度19
3
1.910/cm n =⨯，694.3nm 荧光线宽113.310Hz F ν∆=⨯。

113
33231
nW n S A =
+1132
321212*********
()() nW dn S B n n n A S dt S A ρ=+--++21dn dn
dt dt
=-11321
3212122212132312()() (VI)nW dn dn S B n n n A S dt dt S A ρ⎡⎤-=+--+⎢⎥+⎣⎦
113
321212*********
()()0
nW S B n n n A S S A ρ+--+=+53
31
132131327
310(1/)0.310(1)0.31810s 0.510
W A A S -⨯≈+=⨯⨯+=⨯⨯
可用实验测出红宝石的吸收截面、发射截面及荧光寿命，试画出实验方块图，写出实验程序及计算公式。

解：实验方框图如下：
实验程序以及计算公式如下：
(1) 测量小信号中心频率吸收系数m α：移开红宝石棒，微安表读数为1A ，放入红宝石棒，微安表的读数为2A ，由此得到吸收系数为
1
2
1
ln
m A l
A α= 减小入射光光强，使吸收系数最大。

然后维持在此光强，微调单色仪鼓轮以改变入射波长，使吸收系数最大，此最大吸收系数即为小信号中心频率吸收系数m α。

(2) 计算：由于21120,,n n n f f ≈≈=，所以 发射截面和吸收截面为：
121122
1
ln A nl A σσ==
荧光寿命为：
22
0222
2
2121012144ln(/)
F F nl A A A λυτπσννπνη===∆∆
5．已知某均匀加宽二能级(21f f =)饱和吸收染料在其吸收谱线中心频率0ν=694.3nm 处的吸收截面-16
2
8.110cm σ=⨯，其上能级寿命1222210s τ-=⨯，试求此染料的饱和光强s I 。

解：若入射光频率为0ν，光强为I ，则
222102
0dn n I
n dt h σντ=-∆-= (1) 由 12n n n +=，21n n n -=∆ 可以得到
21
()2
n n n =
+∆
代入(1)式可得
1s
n n I ∆∆=
+ 式中0
n n ∆=-，所以有：
348-2
01611926-2
1 6.62610310W/cm
228.110 2.210694.310 810W/cm s h I νστ----⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 6．推导图4.2所示能级系统2—0跃迁的中心频率大信号吸收系数及饱和光强s I 。

假设该工作物质具有均匀加宽线型，吸收截面02σ已知，10KT h ν<<，1021ττ<<。

图4.2
解：设入射光频率为20→跃迁的中心频率02ν，光强为I ，可列出速率方程如下：
220202121
2110
120 (1) (2) (3)
dn n I
n dt h dn n n dt n n n n σντττ=∆-=-++= 式中
022 (4)f n n n f ∆=-
2
2021
111
τττ=+
在稳态的情况下，应该有
21
0dn dn dt dt
==，由(2)式可以得到：
2n f 0n f
10
12
21
n n ττ= 因为10τ远小于21τ，KT 远小于10h ν，所以10n ≈，这样根据式(3)、(4)可得：
2
202
()f n n n f f =
-∆+ (5)
将式(5)代入式(1)可得：
1S
n n I I ∆=
+
其中
02
202022
S h f I f f νστ=
+
中心频率大信号吸收系数为
1m
S
I I αα=
+ 其中02m n ασ=。

7．设有两束频率分别为0νδν+和0νδν-，光强为1I 及2I 的强光沿相同方向[图()a ]或沿相反方向[图()b ]通过中心频率为0ν的非均匀加宽增益介质，12I I >。

试分别画出两种情况下反转粒子数按速度分布曲线，并标出烧孔位置。

解：若有一频率为ν的光沿z 向传播，粒子的中心频率表现为00(1/)z v c νν'=+。

当0νν'=时粒子产生受激辐射，所以产生受激辐射的粒子具有速度00()/z v c ννν=-，同样的可以得到，如果该光沿-z 方向传播，这个速度应该为00()/z v c ννν=-。

根据这个分析就可以得到本题目中
所述的两种情况下反转集居数密度按速度z v 的分布曲线，分别见下图的(a)和(b)。

图中(1)孔的深度为0011(/)/()s n c I I I δνν∆+，(2)孔的深度为0022(/)/()s n c I I I δνν∆-+，(3)孔德深度为001212(/)()/()s n c I I I I I δνν∆+++。

2
0)
(a )
(b
(a)
(b)
8．若红宝石被光泵激励，求激光能级跃迁的饱和光强。

解：首先列出稳态时的三能级速率方程如下：
3
11333132()0dn nW n A S dt
=-+= (1) 2
21022121332(,)()0dn n N n A S n S dt
σννυ=-∆-++= (2) 123n n n n ++= (3)
21n n n ∆=- (4)
由于31A 远小于32S ，由(1)式可得：
113332nW n S = 321330S W n >>⇒=
即：1212120dn dn dn dn dn n n n dt dt dt dt dt
+=⇒
+==⇒=-
所以，由(1)~(4)式可以得到：
21
2210221213322102212121312121132131212113221213322102121132132122(,)2()22(,)()()
()()22(,)
()(dn dn dn d n n N n A S n S dt dt dt dt
I
n n A S n W n A S W h n W n A S W n A S n S I n n A S W h n W A S νν
σννυσννν
σννν
∆=-==-∆-++=-∆-+-++++-++-++=-∆-∆+++--21121211311321021211321321211132121210212113132121)()22(,)
()()()02(,)
()()n A S W nW I n n A S W h n W A S n W A S I n n A S W h n W A S ν
ν
σννν
σννν
-+++=-∆-∆+++--+--=-∆-∆++=---
式中，I ν为波长为694.3nm 的光强。

由上式可得：
21002121132
2
00
220(,)12
()
[()()]
2 ()()(1)
2H H S
n n I h A S W n I I ν
νσννννννν
νν∆∆≈
+++∆-+=∆∆-++ 其中
0132121212113
()
n W A S n A S W --∆=
++
013212
1
()2S h I W νστ=
+ 22121
1
A S τ=
+。