2011高考数学萃取精华试题(21)新人教A版

2011高考数学萃取精华30套（21）
1某某市六校二模
20.已知函数a x x g x x f +-=
+=1
1
)(),1ln()(2
2
， （1）求)(x g 在))2(,2(g P 处的切线方程l ；
（2）若)(x f 的一个极值点到直线l 的距离为1，求a 的值； （3）求方程)()(x g x f =的根的个数.
21.设),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
x a y 上的两点，已知),(11a y b x m =，
),(
22a
y b x n =，若0=⋅n m 且椭圆的离心率23
=e ，短轴长为2，O 为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB 过椭圆的焦点),0(c F （c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：AOB ∆的面积是否为定值，如果是，请给予证明，如果不是，请说明理由. 22.已知数列{}n a 是首项为2，公比为
2
1
的等比数列，n S 是它的前n 项和. (1) 用n S 表示1+n S ； （2）是否存在自然数c 和k 使得
21>--+c
S c
S k k 成立.
（3）令1
1)1ln()(2
2
--
+=x x x h ，则))1(111(2)1(212)(222222'
-++=-++=x x x x x x x x h ∴当[)()0)(,11,0'
≥+∞∈x ，h x 时 ∴当()()0)(0,11,'
<--∞-∈x ，h x 时
故)(x h 在()()，上0,1,1,--∞-单调递减，[)()
在+∞,11,0，
又)(x h 为偶函数，当)1,1(-∈x 时)(x h 的极小值为1)0(=h
)(x h 的图象如图所示 )()()(x h a x g x f =⇒=
②当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为b kx y +=，与1422
=+x y 联立得： 042)4(2
2
2
=-+++b kbx x k ，4
4
,422221221+-=⋅+-=+k b x x k kb x x
04
))((041
21212121=+++⋅⇒=⋅+
⋅b kx b kx x x y y x x ， 代入得：422
2
=-k b
故不存在自然数k c ,，使
21>--+c
S c
S k k 成立.
2东营市二模
20．（本小题满分12分）
已知函数2
3()ln(23)2
f x x x =+-
． （1）求()f x 在[0，1]上的单调区间；
（2）若对任意1
[,1]3
x ∈，不等式|()|ln 5a f x ->，某某数a 的取值X 围． 20．（1）函数f （x ）的定义域为2{|}3
x x >-，
233693(1)(31)
'()3232332
x x x x f x x x x x ---+-=-==+++…………3分
∴在[0，1]上，当0)(,3
1
0<'<≤x f x 时时，()f x 单调递增； 当
1
13
x <≤时，0)(<'x f ，()f x 单调递减． ∴()f x 在[0，1]上的增区间是1[0,]3，减区间是1
[1]3
，．
（开闭均可）…………6分 （2）由|()|ln 5a f x ->，可得()ln5a f x ->或()ln 5a f x --<， 即()ln5a f x >+或()ln5a f x -<．…………7分 由（1）当1
[,1]3x ∈时，11()()ln 336
nmx f x f ==-
， min 3
()(1)ln 52
f x f ==-
．…………9分 ∵()ln5a f x >+恒成立，∴1
ln156a >-，
∵()ln5a f x <-恒成立，∴3
2a <-．
a ∴的取值X 围为：23
6115ln <->a a 或…………12分
21．（本小题满分12分）
已知可行域0,
20,0,
y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨+-≤的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段
A 1A 2
为长轴，离心率2
e =
． （1）求圆C 及椭圆C 1的方程；
（2）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的垂线
交直线x =Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．
21．（1）由题意可知，可行域是以12(2,0),(2,0)A A -
及点M 为顶点的三角形，
∵12A M A M ⊥，∴12A A M ∆为直角三角形，…………2分
∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段A 1A 2为直径，故其方程为22
4x y +=． ∵2a =4，∴a =2．
又2
e =
，∴2=c
，可得b = ∴所求椭圆C 1的方程是22
142
x y +=．…………6分 （2）直线PQ 与圆C 相切．
设000(,)(2)P x y x ≠±，则22
004y x =-．
当0x =1),0,22(),2,2(-=⋅±PQ OP k k Q P ，∴OP PQ ⊥；
当0x ≠0
0002
,2
y x k x y k OQ PF --
=∴-=
∴直线OQ
的方程为00
x y x y =-
．…………8分 因此，点Q 的坐标为)4
22,22(0
0x y x --
．
∵,)
22()22()
22(422224
20
0000002
00
00y x x y x x x y y x x y y x k PQ -
=--=
-+-=
----
=
…………10分 ∴当00x =时，0PQ k =，OP PQ ⊥； 当00x ≠时候，0
OP y k x =
，∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥． 综上，当02x ≠±时候，OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆C 相切．…………12分 22．（本小题满分14分）
已知在数列{a n }中，2
12,a t a t ==（t>0且t≠1
）．x =是函数
311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．
（1）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）记1
2(1)n n
b a =-
，当t =2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值； （3）当t =2时，是否存在指数函数g （x ），使得对于任意的正整数n 有
∑=+<++k
k k k a a k g 1131
)
1)(1()(成立？若存在，求出满足条件的一个g （x ）；若不存在，请说明理由．
22．（1）2
11'()33[(1)](2)n n n f x a x t a a n -+=-+-≥．
由题意0)(='t f
，即21133[(1)](2)n n n a t a a n -+-+-≥．…………1分 ∴11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥
∵0t >且1t ≠，∴数列1{}n n a a +-是以2
t t -为首项，t 为公比的等比数列， …………2分
1
122312121)1(,)1(,)1(,)1()(---+-=-⋅-=--=-∴⋅-=-=-∴n n n n n n n t t a a t t a a t t a a t t t t t a a
以上各式两边分别相加得211(1)()n n a a t t t t --=-++…，∴(2)n
n a t n =≥， 当1n =时，上式也成立，∴n
n a t =…………5分
（2）当t=2时，1
2(21)1
222n n n n b --==- 2
1121
12)2
121211(212--
-
=++++-=∴-n n n n n S .2
1
222)211(22n n n n ⋅+-=--=…………7分
由2008n S >，得1222()20082
n
n -+>，
1
()10052
n n +>，…………8分
当1500)2
1(,1005,1005)21(,1400>+≥<+≤n
n n n n n 时当时，
因此n 的最小值为1005．…………10分
（3）∵
11111111
()(1)(1)(21)(21)22121
k k k k k k k a a +++==-++++++
令()2k
g k =，则有：
11()11
(1)(1)2121
k k k k g k a a ++=-++++
则11111()11
(()(1)(1)2
121n
n
k
k k k k k g k a a ++==+=-++++∑∑ 2231111111(
)()()212121212121n n +=-+-++-++++++ (1111)
3213
n +=-<+ …………13分
即函数()2x
g k =满足条件．
3某某市二模
18．（本小题满分13分）
已知(4,2)A 是曲线22
122:1x y C a b
+=（0a b >>与曲线）
22:2(0)C y px p =>的一个共点，F 为曲线2C 的焦点。

（I ） 求曲线2C 的方程
（II ）
设2
2
m a b =+，求当m 取得最小值时的曲线
1C 的另一个焦点为B ，与曲线2C 的另一个焦
点为C ，求AFB ∆与∆AFC 的面积之比。

19．（本小题满分13分）
设函数2
()ln()2f x x a x =++。

（I ） 若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值；
（II ）
在（I ）的条件下，方程2
ln()20x a x m ++-=恰好有三个零点，求m 的取值X 围；
（III ）
当01a <<时，解不等式(21)ln f x a -<
20．（本小题满分14分）
如图，在距离为600m 的两条平行直道1l 、2l 之间的B 处有一重点文化古迹，该古迹到直
道1l 的距离是其到直道2l 的距离地两倍。

为丰富当地居民的文化生活和开发当地的旅游资源，准备在两直道间修建一个恰好以B 为其中的一个顶点、形状呈菱形的公园ABCD 。

为安全起见，要求直道1l 与公园最近点C 的距离为100m ，直到2l 与公园最近点A 的距离为50m ，设直道1l 与BC 所在直线的夹角为α，直道2l 与边AB 所在直线的夹角为β，ABC θ∠=。

（I ） 若o
30β=，求θ。

（II ）
如果整个公园都建在古迹B 的右侧（如图1），tan y n =，试探求y 一关于θ的函数关系式（不要求求出定义域）
（III ）
如果公园分布在古迹B 的左右两侧（如图2），试探求公园面积S 关于θ的函数并求其最小值。