课程自学资料41

可理解为f (x)在[a,b]上所有函数值的平均值 这
是有限个数的算术平均值的推广.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
例3
求
f ( x) cos x
在
π 2
,
π 2
上的平均值.
解 所求的平均值为
f ( ) 1
π
2 cos x dx
π 2
1
sin x
π 2
π
2
2. π
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
定理9.8（推广的积分第一中值定理）
若 f , g 在 [a, b] 上连续, 且 g( x) 在 [a, b] 上不变号,
则 [a, b], 使
b
f (x)g( x)d x
f ()
b
g( x)d x.
b a a
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
因此
1
b a
b
f (x)dx
1
a
b a
b 1 a b a
b a
f
(t )dt dx
1
b
f ( x)dx,
矛盾;
b a a
或
1
b
1
f (x)dx
b
f ( x)dx,
矛盾.
b a a
b a a
注2 积分第一中值定理的几何意义如下图所示:
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
y
f ()
定积分的性质
积分中值定理
O
a
b
x
图中y f (x) 在 [a,b]上的曲边梯形的面积 等于
以 [a,b]为底, f ( ) 为高的矩形面积.而
f ( ) 1
b
f (x)d x
b a a
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
若
b
g( x)d x 0 :
因 g( x)非负、连续,
于是有
a
g( x) 0, x [a, b].
从而
b
a f ( x)g( x)dx 0.
此时任取 [a, b], 有
b f (x)g( x)d x 0
f ()
b
g( x)d x .
注 定理中的必能在开区间(a,b)中取得（见习题8）.
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
第九讲 积分第一中值定理
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
定理9.7（积分第一中值定理）
若 f 在 [a, b]上连续, 则存在 [a,b],使
b f (x)dx f ( )(b a). a
证 因 f 在 [a, b]上连续，故存在最大值 M 和最小值 m.
a
a
证 不妨设 g(x) 0, x [a,b]. 若m, M分别是 f ( x)
在 [a, b] 上的下确界与上确界,则
mg( x) f ( x)g( x) Mg( x), x [a, b].
b
b
b
ma g( x)dx a f ( x)g( x)dx M a g( x)d x.
数学分析 第九章 定积分
a
a
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的b g( x)dx 0 : 则 a
b f (x)g( x)d x
m a b
M.
a g( x)d x
由连续函数的介值性定理,存在 [a,b], 使得
b f (x)g( x)d x
f ( ) a b
,
a g( x)d x
由于 m f ( x) M , x [a, b], 因此
b
b
m(b a) a mdx a f (x)dx
b
a Mdx M (b a),
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
即
m 1
b
f ( x)dx M .
b a a
由连续函数的介值性定理， [a, b], 使
f ( ) 1
b
f (x)dx.
b a a
注1 还可以在(a, b) 内取到. 事实上, 若
x (a, b), f ( x) 1
b
f (t)dt,
b a a
则由连续函数的介值定理, 必恒有
1b
f ( x) b a a f (t)dt, x (a, b),
或恒有 f ( x) 1
b
f (t)dt, x (a, b).