课时作业7：9.3 圆的方程

9.3 圆的方程
一、选择题
1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
2．(2015·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()
A．8B．－4
C．6 D．无法确定
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为()
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
4．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是()
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()
A．5 2 B．102
C．15 2 D．202
二、填空题
7．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为__________．
8．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________．
9．圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________．
三、解答题
10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆． (1)求t 的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．
11．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；
(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．
12．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB →
的取值范围．
答案
一、选择题 1．
【解析】 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . ∵|CA |2＝|CB |2，
∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2. ∴a ＝1，b ＝1.∴r ＝2. ∴方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 【答案】 C 2．
【解析】 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点， 则x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m 2，0，即－m
2＋3＝0，∴m ＝6. 【答案】 C 3．
【解析】 将已知直线化为y －2＝(a －1)(x ＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 【答案】 C 4．
【解析】 设圆上任一点为Q (x 0
，y 0
)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧
x ＝4＋x
2
，y ＝－2＋y
2
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.
因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 2
0＝4，
即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 【答案】 A 5．
【解析】 设圆心为O ，则O (0,0)，则以OP 为直径的圆为△ABP 的外接圆． 圆心为(2,1)．半径r ＝|OP |2＝ 5.
∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 【答案】 D 6．
【解析】 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内， 故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25 (注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)， 过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210， 且AC ⊥BD ，
因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝1
2×210×25＝102，选B.
【答案】 B 二、填空题 7．
【解析】 方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆， 设x －2y ＝m ，则圆心到直线x －2y －m ＝0的距离d ＝|5－m |
5∈[0，5]，
解得m 的最大值为10. 【答案】 10 8．
【解析】 ∵圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)， ∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上． 又已知圆心在2x －y －7＝0上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3，2x －y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－3，
即圆心C (2，－3)， 半径r ＝|AC |＝22＋[－3－－4]2＝5， ∴所求圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝5 9．
【解析】 如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分， 所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝15
32＋4
2＝3， 在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.
【答案】 x 2＋y 2＝36
三、解答题 10．
【解析】 (1)由(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2 ＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，∴－1
7＜t ＜1.
(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝
－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167
， ∴当t ＝37∈⎝⎛⎭⎫－17，1时，r max ＝4
77. 此时圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝16
7
. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×4t 2＋16t 4＋9＜0时，点P 在圆内， ∴8t 2－6t ＜0，即0＜t ＜3
4.
11．
【解析】 由题意可知点(x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上， (1)方法一：圆
x 2＋(y －1)2＝1
的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，
∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1， ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.
方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距， 当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |
5＝1.
∴b ＝1±5，
∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.
(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＋1， ∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c ， ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0， ∴c 的取值范围为c ≥2－1. 12．
【解析】 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝
|4|
1＋3
＝2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.
(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．
设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得，
x ＋2
2
＋y 2·x －2
2
＋y 2＝x 2＋y 2，
即x 2－y 2＝2. P A →·PB →
＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，
由于点P 在圆O 内，故⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2.
由此得0≤y 2＜1，
所以P A →·PB →
的取值范围为[－2,0)．。