高二数学下学期期中试题文word版本

吉林省长白山高级中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文
时间：120分 分值：150分
一． 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的) 1．点()
3,1-P ，则它的极坐标是 （ ） A ．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛3,
2π B ．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛-34,2π
2．若直线的参数方程为12()23x t
t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为 （）
A ．
23 B ．23- C ．32 D ．32
- 3．复数2
21⎪⎭
⎫ ⎝⎛-i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2
的值为 ()
A ．0
B ．－1
C ．2
D ． 1
4.用反证法证明命题“2
2
0,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是( ) A. a 、b 中只有一个为0 B. a 、b 至少有一个不为0 C. a 、b 全不为0 D. a 、b 至少有一个为0
5．已知
则y 与x 的线性回归方程为+=a x b y 必过点( )
A . (1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2)
6. 曲线⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 4cos 5y x (θ为参数)的焦距是 ( ) A.6 B.3 C. 8 D. 10
7．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i
的值为
（ ）
A ．4
B ．3
C ．5
D ．6
8. 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极
轴上，则a 等于
( )
A. 32
B. 22
C. 1
2
D ．2
9．在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ）
⎪⎩⎪⎨⎧==''
23.A y y x x ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 23.B '
'
⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 213.C ''⎪⎩⎪⎨⎧==''213.D y
y x x 10．设,,a b c 大于0，则3个数：1a b +，1b c +，1
c a
+的值 ( )
A ．都大于2
B ．至多有一个不大于2
C ．都小于2
D ．至少有一个不小于2
11．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）。

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A ．①； B ．①②③； C ．①②；
D ．③。

12．对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设
R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p ( )
A. )0,2( B .)0,4( C.)2,0( D.)4,0(-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．把演绎推理：“所有9的倍数都是3的倍数，某个奇数是9的倍数，故这个奇数是3
的倍数”，改写成三段论的形式其中大前提：，小前提： ，结论：
14．计算：12⨯|3＋4i|－10⨯（i
2010
+i
2011
+i
2012
＋i
2013
）＝
______ . （其中i 为虚数单位）
15．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|=。

16.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步,跳远,铅球比赛,每人参加一项,每项都要有人参加,他们的身高各不同,现了解到以下情况:
(1)甲不是最高的；(2)最高的是没报铅球；(3)最矮的参加了跳远；(4)乙不是最矮的,也没参加跑步. 可以判断丙参加的比赛项目是______ .
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2
-5m+6)+(m 2
-3m)i
是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
18．（12分）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，
S 4－b 4＝10.
(Ⅰ)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (Ⅱ)求 T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *
19．(12分)今年春节黄金周，记者通过随机询问某景区110游客对景区的服务是否满意，得到如
(1)从这50名女游客中对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取2名做深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率．
(参考公式：K 2
＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d)
20．(12分)如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是
直角梯形，//AB DC ，
45=∠ABC ，1DC =，
A B
C
D
P
M
2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．
（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：⊥BC 平面PAC ；
（3）若M 是PC 的中点，求三棱锥M —ACD 的体积．
21.（12分） 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含f(n)个小正方形
.
（Ⅰ）求出 f(5)；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想” 归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，
（Ⅲ）根据你得到的关系式求f(n )的表达式. 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2
sin
θ＝cos a θ（a ＞0），过点(2,4)P --的直线l 的参数方
程为2,,x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＝－4（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）若｜PA ｜·｜PB ｜＝｜AB ｜2
，求a 的值．
参考答案
一、选择题
二、填空题
的倍数，这个奇数是3的倍数 ； 17.解：
（1）当m 2
-3m=0, （1分）即m 1=0或m 2=3时，z 是实数；（3分）
（2）当m 2
-3m ≠0，（4分）即m 1≠0或m 2≠3时，z 是虚数；（6分）
（3）当,3032,0
30652
2⎩⎨⎧≠≠==⎩⎨⎧≠-=+-m m m m m m m m 或或解得（8分）即m=2时z 是纯数；（10分）
18.解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3
，S 4＝8＋6d .由条件，
得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q3＝27，8＋6d －2q3＝10，解得⎩
⎪⎨⎪⎧d ＝3，
q ＝2.4分
所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *
. 6分 (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得T n ＝2a n ＋22
a n －1＋23
a n －2＋ (2)
a 1，①
2T n ＝22
a n ＋23
a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1
a 1.②
由②－①，得9分
T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2
＝
12（1－2n －1）1－2
＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n
－6n －10. 11分
所以T n ＝10×2n
－6n －10. 12分
19．解： (1)由题意知，样本中满意的女游客为550×30＝3(名)，不满意的女游客为5
50×20
＝2(名)．3分
(2)记样本中对景区的服务满意的3名女游客分别为a 1，a 2，a 3；对景区的服务不满意的2
名女游客分别为b 1，b 2.从5名女游客中随机选取2名，共有10个基本条件，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)．
其中事件A ：选到满意与不满意的女游客各1名包含了6个基本事件，分别为(a 1，b 1)(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)．
所以所求概率P(A)＝610＝3
5
. 8分
(3)假设H 0：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则k 2
应该很小．根据题目中列联表得：
k 2
＝110×（50×20－30×10）280×30×60×50＝53972
≈7.486.
由P(k 2
≥6.635)＝0.010可知：有99%的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关． 12分 20.（1）证明：
//AB DC ，且AB ⊄平面PCD ，DC PCD ⊂平面
∴//AB 平面PCD .…………3分
（2）证明：在直角梯形ABCD 中，过C 作AB CE ⊥于点E ， 则四边形ADCE 为矩形∴1AE DC ==，又2=AB ，∴1=BE ，
在Rt △BEC 中，
45=∠ABC ，∴1==BE CE ，2=CB …………4分
∴1==CE AD ，则222=+=DC AD AC ，2
22AB BC AC =+
∴AC BC ⊥…………6分 又 ABCD PA 平面⊥
∴BC PA ⊥…………7分
A AC PA =⋂∴⊥BC 平面PAC …………9分
（3）∵M 是PC 中点，∴M 到面ADC 的距离是P 到面ADC 距离的一半.…10分
12121)1121(31)21(31=⨯⨯⨯⨯=⋅=
∆-PA S V ACD ACD M ………12分
21.解：（Ⅰ）f(1)=1, f(2)=5, f(3)=13, f(4)=25,
∴f(5)=25+4×4=41. 4分 （Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(2)-f(1)=4×1,
f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3,
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2) , f(n)-f(n-1)=4·(n-1)
∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n, 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f(n)=2n 2
-2n+1 12分
22. 解：（Ⅰ）由2sin cos (0)a a ρθθ=>得22sin cos (0)a a ρθρθ=>. ∴曲线C 的直角坐标方程为2
(0)y ax a =>.…………………………2分 直线l 的普通方程为2y x =-. ………………………………………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程2
(0)y ax a =>中，
得28)4(8)0t a t a -+++=. 设A B 、两点对应的参数分别为12,t t ,
则有12128),4(8).t t a t t a +=
+⋅=+………………………………6分
∵2
PA PB AB ⋅=，∴21212()t t t t -=⋅ 即21212()5t t t t +=⋅.……………9分
∴2)]20(8),a a +=+解之得：2a =或8a =- (舍去),∴a 的值为2. 12分。