2020江苏高考理科数学二轮练习：高考热点追踪(三) 数列 Word版含解析

高考热点追踪(三)
交汇性试题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线，这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识分析和解决数学问题的能力．下面举例说明数列的交汇性运用，请同学们赏析．
一、数列与几何图形交汇
(2019·南通模拟)如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分
别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示)，并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形 (如图②中阴影部分所示)，同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作： 连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……，如此下去．记第n 次操作后剩余图形的总面积为a n ．
(1)求a 1、a 2；
(2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的1
4，问至少经过多少次操作？
(3)求第n 次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和S n ． 【解】 (1)a 1＝34，a 2＝9
16
．
(2)因为{a n }是以34为首项，以3
4为公比的等比数列，
所以a n ＝⎝⎛⎭⎫
34n
． 由⎝⎛⎭⎫34n
<14
，得3n <4n －1． 因为31>40，32>41，33>42，34>43，35<44， 所以当n ＝5时，⎝⎛⎭⎫34n
<14．
所以至少经过5次操作，可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14
．
(3)设第n 次操作挖去b n 个三角形，则{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 即b n ＝3n －1．
所以所有三角形上所贴标签上的数字的和S n ＝1×1＋2×3＋…＋n ×3n －1， 则3S n ＝1×3＋2×32＋…＋n ×3n ，两式相减， 得－2S n ＝(1＋3＋32＋…＋3n －1)－n ×3n ＝3n －1
2
－n ×3n ， 故S n ＝⎝⎛⎭⎫n 2－14×3n ＋14
． [名师点评] 本题把几何问题与代数解法自然联系起来．从运算到推理，都要有很强的思维判断性和熟练的解题技能．合理的推断，能使解题简捷、运算简单，节约大量的解题时间，反之，则会因运算繁杂不断出错而无法进行下去，这体现了有较高的思维水平者因能善于运用思维而赢得解题时间，是高层次的解决问题能力的标志．
二、数列与三角函数交汇
已知函数f (x )＝
32
sin ⎝⎛
⎭⎫2x ＋π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6． (1)求函数f (x )的最小正周期与单调递减区间；
(2)若函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2，x >0且函数g (x )的图象与直线y ＝3
2交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2，…，x n ，求数列{x n }的前100项和．
【解】 f (x )＝
32
sin ⎝⎛
⎭⎫2x ＋π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6－π
6＝sin 2x ． (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π．
令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得k π＋π4≤x ≤k π＋3π
4
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π
4，k ∈Z ． (2)法一：因为g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫
x 2，所以g (x )＝sin x ，x >0． 由sin x ＝
32，x >0，得x ＝2k π＋π3，k ∈N 或x ＝2k π＋2π
3
，k ∈N ，
所以x 1＋x 2＋…＋x 99＋x 100
＝(x 1＋x 3＋x 5＋…＋x 99)＋(x 2＋x 4＋x 6＋…＋x 100) ＝⎣⎡⎦
⎤π
3＋⎝⎛⎭⎫2π＋π3＋⎝⎛⎭⎫4π＋π3＋…＋⎝
⎛⎭⎫98π＋π3＋ ⎣⎡⎦⎤2π3＋⎝
⎛⎭⎫2π＋2π3＋⎝⎛⎭⎫4π＋2π3＋…＋⎝⎛⎭⎫98π＋2π3
＝50⎝⎛⎭⎫π3＋98π＋π32＋50⎝⎛⎭⎫2π3＋98π＋2π32
＝
50×198π2
＝4 950π．
法二：因为g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫
x 2，所以g (x )＝sin x ，x >0． 由正弦函数的对称性、周期性，可知
x 1＋x 22＝π2，x 3＋x 42＝2π＋π2，x 5＋x 62＝4π＋π2，…，x 99＋x 1002＝98π＋π
2，所以x 1＋x 2＋…＋x 99＋x 100＝π＋5π＋…＋193π＋197π＝50×（π＋197π）
2
＝4 950π．
[名师点评] 高考试题力求以角度新、情境新、设问方式新的形式呈现．提高难度主要在于“新”，而不在“难”，“新”本身就已蕴涵“难”．把“新”作为关键，能够考查思维的灵活性和创造性，体现高考的选拔功能，本题很好地体现了这一特征．
三、数列与向量交汇
(2019·南京四校第一学期联考)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(xy ，x －y )，若a ⊥b ，y
＝f (x )．
(1)求f (x )的表达式；
(2)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝13，a 2n ＋1＝2a n f (a n )(n ∈N *
)，求数列{a n }的通项公式；
(3)在(2)的条件下，设b n ＝1a 2n －1，S n 为数列{b n }的前n 项和，求使S n ＞127
8成立的n 的最
小值．
【解】 (1)由a ⊥b ，得x 2y ＋(－1)(x －y )＝0，
所以y ＝x
x 2＋1
，
则f (x )的表达式为f (x )＝x
x 2＋1．
(2)由(1)知f (x )＝x
x 2＋1
，
所以a 2n ＋1＝2a n f (a n )＝2a n ·a n a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋1， 因此1
a 2n ＋1＝a 2n ＋12a 2n ＝12a 2n ＋1
2
，
所以1a 2n ＋1－1＝12a 2n －12＝12⎝⎛⎭⎫1
a 2n －1． 又1
a 21
－1＝9－1＝8≠0， 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a 2n －1是以8为首项，1
2为公比的等比数列，
则1a 2n －1＝8×⎝⎛⎭⎫12n －1＝24－n ．
又a n ＞0，所以a n ＝
124－n ＋1
，
则数列{a n }的通项公式为a n ＝
1
24－n ＋1
．
(3)由(2)知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a 2n －1是以8为首项，12为公比的等比数列，而b n ＝1
a 2n －1，所以数列{
b n }
是以8为首项，1
2
为公比的等比数列，
因此数列{b n }的前n 项和S n ＝
8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n
1－12
＝16⎝⎛⎭
⎫1－1
2n ． 又S n ＞1278，所以16⎝⎛⎭⎫1－12n ＞127
8， 则12n ＜1
128，所以n ＞7． 所以正整数n 的最小值为8．
[名师点评] 由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，因此在向量与数列交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个亮点．
数列{a n }，{b n }都是等差数列，它们的前n 项和分别为S n ，T n ，如果S n T n ＝5n ＋13
4n ＋5
，
求
a 10
b 10
的值． 考查目标：(1)等差数列基本量的运算；(2)等差数列性质的运用；(3)相关的数学思想：如转化化归思想，函数与方程思想等．
解法探究：
法一：利用方程的思想，寻找a 1，b 1，d ，d ′的关系． 因为a 1b 1＝S 1
T 1＝2，2a 1＋d 2b 1＋d ′＝S 2T 2＝2313，3a 1＋3d 3b 1＋3d ′＝S 3T 3＝2817．
所以a 1＝2b 1，d ＝109b 1，d ′＝8
9b 1，
所以a 10b 10＝a 1＋9d b 1＋9d ′＝2b 1＋10b 1b 1＋8b 1＝4
3
．
一般地，a n b n ＝a 1＋（n －1）d
b 1＋（n －1）d ′＝2b 1
＋109（n －1）b 1b 1＋89（n －1）b 1
＝8＋10n 1＋8n ．
法二：利用前n 项和的函数特征．
由题意知两等差数列的公差均不为0，由于S n ＝An 2＋Bn ，S n 是关于n 的二次函数且没有常数项，因此可根据题意将其设为S n ＝kn (5n ＋13)＝5kn 2＋13kn ，T n ＝kn (4n ＋5)＝4kn 2＋5kn (k 是常数)，
因为a n ＝S n －S n －1＝k (5n 2＋13n )－k [5(n －1)2＋13(n －1)]＝k (10n ＋8)． b n ＝T n －T n －1＝k (4n 2＋5n )－k [4(n －1)2＋5(n －1)] ＝k (8n ＋1)． 所以a n b n ＝10n ＋88n ＋1，
所以a 10b 10＝10×10＋88×10＋1＝43
．
法三：利用性质，从一般到特殊．
a n
b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1
b 1＋b 2n －1＝（a 1＋a 2n －1
）1
2（2n －1）（b 1＋b 2n －1）1
2（2n －1）＝S 2n －1T 2n －1
＝5（2n －1）＋134（2n －1）＋5＝10n ＋88n ＋1(n ∈N *)， 所以a 10b 10＝10×10＋88×10＋1＝43．
[方法提炼与启示]
性质1 若{a n }是等差数列， 它的前n 项和为S n ，则S 2n －1S 2m －1＝（2n －1）a n
（2m －1）a m
．
证明：
S 2n －1S 2m －1
＝
（2n －1）a 1＋
（2n －1）（2n －2）d
2
（2m －1）a 1＋
（2m －1）（2m －2）d
2
＝
（2n －1）[a 1＋（n －1）d ]
（2m －1）[a 1＋（m －1）d ]＝（2n －1）a n
（2m －1）a m
．
性质2 若{a n }是等差数列，它的前n 项和为S n ，则S m S n ＝am 2＋bm
an 2＋bn ．
证明：S m S n ＝d 2
m 2＋⎝⎛
⎭⎫a 1－d 2m d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n
＝am 2＋bm an 2＋bn ．
⎝
⎛⎭⎫其中a ＝d 2，b ＝a 1－d 2
[例题变式]
若{a n }是等差数列，且S m S n ＝m 2－2m n 2－2n ， 求a 5
a 6．
[解] 法一 ：利用性质1， 得a 5a 6＝11S 99S 11＝7
9． 法二：利用性质2，
得S m S n ＝d 2
m 2＋⎝⎛
⎭⎫a 1－d 2m d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n
＝m 2－2m n 2－2n ．
设d 2＝
k ，a 1－d 2 ＝－2k (k ≠0)， 则a 1＝－k ，d ＝2k ．
所以a 5a 6＝a 1＋4d a 1＋5d ＝－k ＋8k －k ＋10k ＝79
．
1．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是________． [解析] 根据题意并结合二次函数的性质可得： a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n 2－29
2n ＋3 ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942
＋3＋841
8
， 所以n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108． [答案] 108
2．(2019·南京、盐城高三模拟)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝a 22
，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等于________．
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，a 2＝0或3．又由S 1，S 2
，S 4成等比数列可得S 22＝S 1S 4．若a 2＝0，则S 1＝S 2＝a 1≠0．S 2＝S 4＝a 1，a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝0，a 3＝0，则d ＝0，故a 2＝0舍去；若a 2＝3，则S 1＝3－d ，S 2＝6－d ，S 4＝12＋2d ，(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )(d ≠0)，得d ＝2，此时a 10＝a 2＋8d ＝19．
[答案] 19
3．已知log 3x ＝－1log 23，则x ＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝________．
[解析] 由log 3x ＝－1log 23⇒log 3x ＝－log 32⇒x ＝1
2．
由等比数列求和公式得
x ＋x 2＋x 3＋…＋x n
＝x （1－x n
）1－x ＝12⎝⎛
⎭⎫1－12n 1－12
＝1－12n ．
[答案] 1－1
2
n
4．(2019·淮阴质检改编)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝1
2，则该数列的前2 016项的和为________．
[解析] 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12
＋
a n －a 2n ，
所以a 2＝1，从而a 3＝12
，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12
，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 016项
的和等于S 2 016＝1 008×⎝⎛⎭
⎫1＋1
2＝1 512． [答案] 1 512
5．(2019·盐城市高三第三次模拟考试)已知正项数列{a n }满足a n ＋1＝
1a 1＋a 2＋1
a 2＋a 3
＋1a 3＋a 4＋…＋1
a n ＋a n ＋1
＋1，其中n ∈N *，a 4＝2，则a 2 019＝______． [解析] a n ＋1＝1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1a n ＋a n ＋1＋1，所以n ≥2时，a n ＝1a 1＋a 2＋1
a 2＋a 3
＋…＋
1a n －1＋a n ＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝1a n ＋1＋a n (n ≥2)，所以a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ≥2)，a 22 019＝a 24＋(2 019－4)×1＝2 019，所以a 2 019＝ 2 019．
[答案] 2 019
6．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋n
n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．
[解析] a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋1
2
，
1a n a n ＋1＝4（n ＋1）（n ＋2）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫
1n ＋1－1n ＋2， 所求的前n 项和为
4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝2n n ＋2
． [答案]
2n
n ＋2
7．秋末冬初，流感盛行．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已
知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为________．
[解析] 由于a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ， 所以a 1＝a 3＝…＝a 29＝1，
a 2，a 4，…，a 30构成公差为2的等差数列，
所以a 1＋a 2＋…＋a 29＋a 30＝15＋15×2＋15×14
2×2＝255．
[答案] 255
8．(2019·辽宁五校协作体联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________．
[解析] 依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋
30×29
2
×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15．因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480．
[答案] 480
9．(2019·苏锡常镇四市高三调研)设公差为d (d 为奇数，且d >1)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－9，S m ＝0，其中m >3，且m ∈N *，则a n ＝________．
[解析] 由条件得(m －1)a 1＋（m －1）（m －2）2d ＝－9，ma 1＋（m －1）m 2d ＝0，消去a 1
得，m －1m ＝－9－（m －1）（m －2）
2
d －m （m －1）
2d
，整理得(m －1)d ＝18，因为d 为奇数，且d >1，m >3，
m ∈N *，故d ＝3，m ＝7，从而a 1＝－9，故a n ＝3n －12．
[答案] 3n －12
10．(2019·高三年级第一次模拟考试)若数列{a n }满足a 1＝0，a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3，a 4n a 4n －1＝a 4n ＋1a 4n ＝12
，其中n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m 成立，则m 的最小值为______． [解析] 在a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3中令n ＝1，得a 3－a 2＝a 2－a 1＝3，因为a 1＝0，
所以a 2＝3，a 3＝6．又a 4n a 4n －1＝12，所以a 4＝1
2a 3＝3．由a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3得a 4n ＋3
－a 4n ＋2＝a 4n ＋2－a 4n ＋1＝3，又由已知得a 4n ＋1＝12a 4n ，所以a 4n ＋2＝1
2a 4n ＋3，所以a 4n ＋3＝a 4n ＋2
＋3＝12a 4n ＋6，a 4n ＋4＝12a 4n ＋3＝14a 4n ＋3，所以a 4n ＋4－4＝1
4(a 4n －4)，所以{a 4n －4}是首项为－1，
公比为14的等比数列，所以a 4n ＝4－14n －1<4，a 4n －1＝2a 4n ＝8－24n －1<8，a 4n －2＝a 4n －1－3＝5－24n －1
<5，a 4n －3＝a 4n －2－3＝2－2
4n －1<2．综上，a n <8，因为对任意n ∈N *都有a n <m ，所以m ≥8，所
以m 的最小值为8．
[答案] 8
11．(2019·淮安质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＋S n ＝An 2＋Bn ＋1(A ≠0)． (1)已知数列{a n }是等差数列，求B －1A
的值；
(2)若a 1＝32，a 2＝9
4，求证：数列{a n －n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．
[解] (1)因为{a n }是等差数列， 所以可设a n ＝a 1＋(n －1)d ， a n ＋S n ＝d
2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1＋d 2n ＋(a 1－d )， 可得A ＝d 2，B ＝a 1＋d
2，a 1－d ＝1，
所以B －1A ＝a 1＋d 2－1d 2＝3d 2
d
2
＝3．
(2)分别令n ＝1，2得⎩
⎪⎨⎪⎧2a 1＝A ＋B ＋1＝3，
2a 2＋a 1＝4A ＋2B ＋1＝6，
解得⎩
⎨⎧A ＝1
2
，
B ＝32
．
于是a n ＋S n ＝12n 2＋3
2
n ＋1，
a n ＋1＋S n ＋1＝12(n ＋1)2＋3
2
(n ＋1)＋1，
相减得a n ＋1－(n ＋1)＝12(a n －n )．又a 1－1＝1
2
≠0，故数列{a n －n }是等比数列．
所以a n －n ＝⎝⎛⎭⎫12n
，则a n
＝n ＋1
2n
． 12．(2019·镇江市高三调研考试)已知n ∈N *，数列{a n }的各项均为正数，前n 项的和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a 2n －1＋a 2n ．
(1)如果数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n ； (2)如果对任意
n ∈N *，S
n
＝a 2n ＋n
2
恒成立，求数列{a n }的通项公式； (3)如果S 2n ＝3(2n －1)，数列{a n a n ＋1}为等比数列，求数列{a n }的通项公式． [解] (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，
S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3（1－3n ）1－3
＝3（3n －1）
2．
(2)由2S n ＝a 2n ＋n 得，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋n －1，
则2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n ＋n －(a 2n －1＋n －1)＝a 2n －a 2
n －1＋1，
(a n －1)2－a 2n －1＝0，(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1－1)＝0， 故a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1．(*)
下面证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立． 事实上，因为a 1＋a 2＝3，所以a n ＋a n －1＝1不恒成立；
若存在n ∈N *，使a n ＋a n －1＝1，设n 0是满足上式的最小正整数，即an 0＋an 0－1＝1，显然n 0＞2，且an 0－1∈(0，1)，则an 0－1＋an 0－2≠1，
则由(*)式知，an 0－1－an 0－2＝1，则an 0－2＜0，矛盾．故a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *
恒不成立，
所以a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立．
因此{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ． (3)因为数列{a n a n ＋1}为等比数列，设公比为q ，则当n ≥2时，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q ．
即{a 2n －1}，{a 2n }分别是以1，2为首项，q 为公比的等比数列，故a 3＝q ，a 4＝2q ．
令n ＝2，有S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋q ＋2q ＝9，则q ＝2．
当q ＝2时，a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2×2n －1＝2n ，b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝3×2n －1，此时 S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3（1－2n ）
1－2
＝3(2n －1)．
综上所述，a n
＝⎩⎨⎧2n －12
，当n 为奇数，
2n 2
，当n 为偶数．
13．(2019·南京、盐城高三模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)．
(1)求p 的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ．若b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n ．
[解] (1)由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p 2，
由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p
2＝－p 2．
又p ≠0，所以p ＝－1
2．
(2)由a n ＝(－1)n
S n ＋⎝⎛⎭
⎫－1
2n
， 得
⎩⎨
⎧a n ＝（－1）n
S n ＋⎝⎛⎭
⎫－1
2n
，①a
n ＋1＝－（－1）n
S n ＋1＋⎝⎛⎭
⎫－12n ＋1
，② ①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n
(－a n ＋1)＋12×⎝⎛⎭⎫－12n
．
当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×⎝⎛⎭⎫12n
，
所以a n ＝－⎝⎛⎭
⎫
12n ＋1
，
当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12
×⎝⎛⎭⎫12n
，
所以a n ＝－2a n ＋1＋12×⎝⎛⎭⎫12n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n ＋2＋12
×⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n ．
所以a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧－1
2n ＋1
，n 为奇数，n ∈N *
，
12n
，n 为偶数，n ∈N *
．
(3)证明：A n ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－1
4n ，14n ，由于b 1≠c 1，则b 1与c 1一正一负，
不妨设b 1>0，则b 1＝14，c 1＝－1
4，
则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥1
4－⎝⎛⎭⎫242
＋343＋…＋n 4n ． 设S ＝242＋343＋…＋n
4n ，则
14S ＝243＋…＋n －14n ＋n
4n ＋
1， 两式相减得34S ＝242＋143＋…＋14n －n 4n ＋
1
＝
116＋116
×1－⎝⎛⎭
⎫14n －1
1－14
－n 4n ＋
1 ＝
748－112×14n －1－n 4n ＋1<748
． 所以S <748×43＝7
36
，
所以P n ≥1
4－⎝⎛⎭⎫242＋343
＋…＋n 4n >14－736＝118>0． 因为Q n ＝c 1＋2c 2＋3c 3＋…＋nc n ≤－14＋S <－14＋736＝－1
18<0，
所以P n ≠Q n ．
14．(2019·苏锡常镇四市高三调研) 已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2
n <52a n ＋1a n ，n ∈N *．
(1)若a 2＝3
2
，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；
(2)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和，若1
2S n <S n ＋1<2S n ，n ∈N *，
求q 的取值范围；
(3)若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k (k ≥3)的公差．
[解] (1)由题意得，1
2a n <a n ＋1<2a n ，
所以34<x <3，x
2
<4<2x ，得x ∈(2，3)．
(2)因为1
2a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，
所以12
q n －1<q n <2q n －1
，所以⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝⎛⎭⎫q －12>0，q n －1（q －2）<0，
所以q ∈⎝⎛⎭⎫
12，2．
又1
2
S n <S n ＋1<2S n ，而当q ＝1时，S 2＝2S 1，不满足题意； 当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－q n ＋
1
1－q <2·1－q n 1－q
，
①当q ∈⎝⎛⎭⎫
12，1时，
⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）>－1，q n
（2q －1）<1，即⎩⎪⎨⎪⎧q （q －2）>－1，q （2q －1）<1，得q ∈⎝⎛⎭⎫
12，1， ②当q ∈(1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧q n
（q －2）<－1，
q n （2q －1）>1，
即⎩
⎪⎨⎪⎧q （q －2）<－1，q （2q －1）>1，无解，所以q ∈⎝
⎛⎭⎫
12，1． (3)设数列a 1，a 2，…，a k 的公差为d ，因为1
2a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差
数列，a 1＝1，
所以1
2[1＋(n －1)d ]<1＋nd <2[1＋(n －1)d ]，
n ＝1，2，…，k －1．
所以⎩
⎪⎨⎪⎧d （n ＋1）>－1，d （2－n ）<1，
所以d ∈⎝⎛⎭⎫－1
k ，1． 因为a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，
所以S k ＝d 2k 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2k ＝d
2k 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2k ＝120， 所以d ＝240－2k k 2－k ，所以240－2k k 2－k ∈⎝⎛⎭⎫－1
k ，1， 得k ∈(15，239)，k ∈N *．
所以k 的最小值为16，此时公差d ＝13
15．。