2022-2023学年河北省石家庄市栾城区石门实验学校九年级(上)开学数学试卷(word版含解析)

2022-2023学年河北省石家庄市栾城区石门实验学校九年级（上）
开学数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.为了了解2013年昆明市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学
生的数学成绩．下列说法正确的是( )
A. 2013年昆明市九年级学生是总体
B. 每一名九年级学生是个体
C. 1000名九年级学生是总体的一个样本
D. 样本容量是1000
2.点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，则点P坐标为( )
A. (0,−2)
B. (2，0)
C. (4，0)
D. (0,−4)
3.已知x=3是关于x的一元二次方程x2−x−2a=0的一个解，则a的值为( )
A. −6
B. −3
C. 6
D. 3
4.如图，矩形ABCD的对角线AC=10，∠BOC=120°，则AB的长
度是( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 5√3
5.一次函数y=kx+b，经过(1,1)，(2,4)，则k与b的值为( )
A. {k=3
b=−2B. {k=−3
b=4
C. {k=−5
b=6
D. {k=6
b=−5
6.用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是( )
A. x2−2x=5
B. 2x2−4x=5
C. x2+4x=5
D. x2+2x=5
7.菱形的周长为20，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为( )
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
8.某超市一月份的营业额为25万元，三月份时因新冠疫情下降到16万元，若平均每月下降率为x，则由题意列方程应为( )
A. 25(1+x)2=16
B. 25(1−x)2=16
C. 16(1+x)2=25
D. 25[1+(1−x)+(1−x)2]=16
9. 如图，有一张四边形纸片ABCD ，AD//BC ，将它沿GH 折叠，使
点D 落在AB 边上的点E 处，点C 落在点Q 处，若∠GHB =80°，则∠AGE
的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D.
40° 10. 已知正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，那么这个正多边形的边数为( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
11. 直线l 1：y =k 1x +b 与直线l 2：y =k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x +b >k 2x 的解为( )
A. x >−1
B. x <−1
C. x <−2
D. x >−2
12. 若关于x 的一元二次方程(k −2)x 2−2kx +k =6有实数根，则k 的取值范围为( )
A. k ≥32且k ≠2
B. k ≥0且k ≠2
C. k ≥32
D. k ≥0
13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，下列
结论：①OA =OC ，②∠BAD =∠BCD ，③∠BAD +∠ABC =
180°，④AC ⊥BD ，⑤AB =CD ，正确结论的个数是( )
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个 14. 对于函数y =−12
x +3，下列说法：①函数图象经过点(2,2)；②y 随着x 的增大而减小；③函数图象与x 轴的交点是(6,0)；④函数图象与坐标轴围成的三角形面积是9.其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
15. 如图，在正方形ABCD 中，
E ，
F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP +EP 最小值的是( )
A. AB
B. DE
C. BD
D. AF
16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设运动
的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
17.函数y=x+1
中，自变量x的取值范围是______．
√x+1
18.如图所示，直线AB是一次函数y=kx+b的图象．若AB=√5，
则函数解析式为______．
19.已知▱ABCD，三个顶点坐标为A(−1,2)、B(−2,−2)、C(3,−4)，
则D点坐标为______ ．
20.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以
不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲
先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米．
三、解答题（本大题共6小题，共40.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21.解方程：
(1)5x+2=3x2；
(2)(x+1)2+2=3(x+1)．
22.在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位：m)，绘制出
如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题
(1)参加比赛有名运动员，图1中a的值是______，补全条形统计图；
(2)统计的这组初赛成绩数据的众数是______，中位数是______，平均数是______；
(3)根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能
否进入复赛．
23.如图，直线AB与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0,−2)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
24.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动
点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：
①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．
25.小米手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年销售总额为50000元，今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
(1)今年A款手机每部售价多少元？
(2)该店计划新进一批A款手机和B款手机共60部，且B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？
A，B两款手机的进货和销售价格如表：
A款手机B款手机
进货价格(元)11001400
销售价格(元)今年的销售价格2000
26.如图，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，点O以每秒1cm的速度由点A向点C运动(不与点C重合)，过点O作直线MN//BC，∠BCA的外角平分线CF于点F，∠ACB的平分线CE于点E.设运动时间为t秒．
发现：(1)在点O的运动过程中，OE与OF的关系是______，请写出理由．
(2)当t=2时，EF=______cm．
探究：当t=______时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论．
拓展：若点O在运动过程中，能使四边形AECF是正方形，试写出线段AB的长度．(直接写出结论即可)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、2013年昆明市九年级学生的数学成绩是总体，原说法错误，故A选项错误；
B、每一名九年级学生的数学成绩是个体，原说法错误，故B选项错误；
C、1000名九年级学生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误，故C选项错误；
D、样本容量是1000，该说法正确，故D选项正确．
故选D．
根据总体、个体、样本、样本容量的概念结合选项选出正确答案即可．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的知识，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
2.【答案】B
【解析】解：∵点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，
∴m+1=0，
解得m=−1，
所以，m+3=−1+3=2，
所以，点P的坐标为(2,0)．
故选：B．
根据x轴上点的纵坐标为0列式求出m，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵x=3是方程的解，
∴9−3−2a=0
∴a=3．
故选：D．
把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值．
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA =12
AC =5，OB =OD ，AC =BD =10，
∴OA =OB =5，
∵∠BOC =120°，
∴∠AOB =60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AB =OA =5；
故选：A ．
由矩形的性质得出OA =OB =4，证明△AOB 是等边三角形，得出AB =OA 即可．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证出△AOB 是等边三角形是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：把(1,1)，(2,4)代入一次函数y =kx +b ，
得{k +b =12k +b =4
， 解得：{k =3b =−2
． 故选：A ．
由于一次函数y =kx +b 经过(1,1)，(2,4)，应用待定系数法即可求出函数的解析式．
本题考查用待定系数法求解函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.由x 2−2x =5得x 2−2x +1=5+1，不符合题意；
B .由2x 2−4x =5得x 2−2x =52，所以x 2−2x +1=52
+1，不符合题意； C .由x 2+4x =5得x 2+4x +4=5+4，符合题意；
D .由x 2+2x =5得x 2+2x +1=5+1，不符合题意；
故选：C．
将二次项系数化为1，再两边都加上一次项系数一半的平方即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：
∵四边形ABCD是菱形，周长是20，
∴AB=AD=CD=BC=5，BO=DO，AO=OC，AC⊥BD，
即∠AOB=90°，
∵BD=6，
∴BO=3，
由勾股定理得：AO=√AB2−BO2=√52−32=4，
即CO=AO=4，
∴AC=AO+CO=4+4=8，
故选：A．
根据菱形的性质得出AB=AD=CD=BC=5，BO=DO，AO=OC，AC⊥BD，求出BO，根据勾股定理求出AO即可．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直且平分．
8.【答案】B
【解析】解：∵一月份的营业额为25万元，平均每月下降率为x，
∴二月份的营业额为25×(1−x)万元，
∴三月份营业额为25×(1−x)×(1−x)，
∴可列方程为25(1−x)2=16，
故选：B．
三月份营业额=一月份的营业额×(1−平均每月下降率)2，把相关数值代入即可求解．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
9.【答案】A
【解析】解：∵AD//BC，∠GHB=80°，
∴∠DGH=∠GHB=80°，
由折叠的性质可得，∠EGH=∠DGH=80°，
∴∠AGE=180°−∠EGH−∠DGH=180°−80°−80°=20°．
故选：A．
根据平行线的性质可得∠DGH=∠GHB=80°，再根据折叠的性质可得∠EGH=∠DGH=80°，然后根据平角的定义求解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，则其一个内角的度数为3x，
所以x+3x=180°，x=45°，
该正多边形的边数是：360°÷45°=8．
故选：C．
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征以及在同一顶点处的内角与外角的和是180°．
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识，此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：由图象知：x<−1时，直线l1在直线l2的上方，
所以x的不等式k1x+b>k2x的解为x<−1，
故选：B．
根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握利用图象获取信息的能力．
12.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式b 2−4ac ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围． 【解答】
解：∵关于x 的方程(k −2)x 2−2kx +k =6有两个实数根， ∴{k −2≠0(−2k)2−4(k −2)(k −6)≥0， 解得：k ≥32
且k ≠2， 故选：A ．
13.【答案】B
【解析】解：根据平行四边形的性质可知：
①平行四边形的对角线互相平分，则OA =OC ，故①正确； ②平行四边形的对角相等，则∠BAD =∠BCD ，故②正确； ③平行四边形的邻角互补，则∠BAD +∠ABC =180°，故③正确； ④平行四边形的对角线互相平分，不一定垂直，故④错误； ⑤平行四边形对边相等，则AB =CD ，故⑤正确； 故选：B ．
根据平行四边形的边、角、对角线的性质对各个选项分别进行判定即可． 本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14.【答案】D
【解析】解：①当x =2时，y =−1
2×2+3=2，
∴函数y =−1
2x +3的图象经过点(2,2)，说法①正确；
②∵k =−12<0，
∴y 随x 的增大而减小，说法②正确；
③当y=0时，−1
2
x+3=0，
解得：x=6，
∴函数y=−1
2
x+3的图象与x轴的交点是(6,0)，说法③正确；
④当x=0时，y=−1
2
×0+3=0，
∴函数y=−1
2
x+3的图象与y轴的交点是(0,3)，
∴函数y=−1
2x+3的图象与坐标轴围成的三角形面积=1
2
×6×3=9，说法④正确．
综上，正确的说法有4个．
故选：D．
①利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数y=−1
2
x+3的图象经过点(2,2)；②利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小；③利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数y=
−1
2
x+3的图象与x轴的交点是(6,0)；④利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数y=
−1 2x+3的图象与y轴的交点是(0,3)，再利用三角形的面积计算公式，可求出函数y=−1
2
x+3的
图象与坐标轴围成的三角形面积是9．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析4个说法的正误是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：如图，连接CP，
由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，
∴AP=CP，
∴AP+PE=CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长，
故选：D．
连接CP ，当点E ，P ，C 在同一直线上时，AP +PE 的最小值为CE 长，依据△ABF≌△CDE ，即可得到AP +EP 最小值等于线段AF 的长．
本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A 关于BD 的对称点C 是解答此题的关键．
16.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
由题意当0≤x ≤3时，y =3，当3<x <5时，y =1
2
×3×(5−x)=−32
x +15
2
.由此即可判断． 【解得】
解：由题意当0≤x ≤3时，y =3，
当3<x <5时，y =1
2×3×(5−x)=−3
2x +15
2．
故选：D ．
17.【答案】x >−1
【解析】解：根据题意得：x +1>0， 解得：x >−1． 故答案为：x >−1．
根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围． 本题考查了函数自变量的取值范围．
18.【答案】y =2x +2
【解析】解：在Rt △AOB 中，OB =√AB 2−OA 2=√(√5)2−22=1，则B(−1,0)， 把A(0,2)，B(−1,0)代入y =kx +b 得{b =2−k +b =0，解得{k =2
b =2，
所以函数解析式为y =2x +2． 故答案为y =2x +2．
先利用勾股定理计算出OB 的长，从而得到B 点坐标，然后把A 点和B 点坐标代入y =kx +b 得到关于k 、b 的方程组，再解方程组求出k 、b 即可得到一次函数解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
19.【答案】(4,0)
【解析】解：如图所示：设点D的坐标为(x,y)
∵▱ABCD，点A(−1,2)，点B(−2,−2)，点C(3,−4)，
∴AB=CD=√12+42=√(3−x)2+(−4−y)2，AD=BC√(2+3)2+(4−2)2=
√(x+1)2+(2−y)2
可得：x=4，y=0，
∴点D(4,0)
故答案为：(4,0)．
作出图形，设设点D的坐标为(x,y)，根据平行四边形的性质和已知点的坐标表示出平行四边形的四条边，从而求得答案．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质画出图形解答．
20.【答案】175
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．
根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程−甲所走的路程即可得出答案．
【解答】
解：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，
设乙的速度为m米/秒，则(m−2.5)×(180−30)=75，
解得：m=3米/秒，
则乙的速度为3米/秒，
=500(秒)，
乙到终点时所用的时间为：1500
3
此时甲走的路程是：2.5×(500+30)=1325(米)，
甲距终点的距离是1500−1325=175(米)．
故答案为：175．
21.【答案】解：(1)∵5x+2=3x2，
∴3x2−5x−2=0，
∴(x−2)(3x+1)=0，
则x−2=0或3x+1=0，
；
解得x1=2，x2=−1
3
(2)∵(x+1)2−3(x+1)+2=0，
∴(x+1−2)(x+1−1)=0，
则x(x−1)=0，
∴x=0或x−1=0，
解得x1=0，x2=1．
【解析】(1)先移项化为一般式，再利用因式分解法求解即可；
(2)先移项化为一般式，再利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22.【答案】25 1.65 1.60 1.61
【解析】解：(1)a%=1−10%−20%−
30%−15%=25%，
即a 的值是25， 故答案为：25，
男子跳高运动员有：2÷10%=20(人)， 则1.55m 的有：20×20%=4(人)， 补全的条形统计图如右图所示； (2)由条形统计图可知，
这组数据的众数是1.65，中位数是1.60，平均数是：1.50×2+1.55×4+1.60×5+1.65×6+1.70×3
20
=1.61，
故答案为：1.65，1.60，1.61；
(3)初赛成绩为1.65m 的运动员能进入复赛，
理由：由条形统计图可知前9名的成绩，最低是1.65m ，故初赛成绩为1.65m 的运动员能进入复赛． (1)根据扇形统计图中的数据可以求得a 的值，根据1.50的人数和所占的百分比可以求得本次参加初赛的人数，从而可以求得1.55m 的人数，进而可以将条形统计图补充完整； (2)根据条形统计图中的数据可以得到该组数据的众数、中位数和平均数； (3)根据条形统计图中的数据可以解答本题．
本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：(1)设直线AB 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，
∵直线AB 过点A(1,0)、点B(0,−2)， ∴{
k +b =0
b =−2
，
解得{k =2b =−2
，
∴直线AB 的解析式为y =2x −2．
(2)设点C 的坐标为(x,y)， ∵S △BOC =2， ∴1
2×2·x =2， 解得x =2，
∴y =2×2−2=2，
∴点C的坐标是(2,2)．
【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A(1,0)、点B(0,−2)分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
(2)设点C的坐标为(x,y)，根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
24.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND//AM，
∴∠NDE=∠MAE，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
在△NDE与△MAE中
{∠NDE=∠MAE ∠DNE=∠AME DE=AE
,
∴△NDE≌△MAE(AAS)，
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
(2)①1；
②2．
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定及性质．
(1)利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；
(2)①有(1)可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即
∠DMA=90°，所以AM=1
2
AD=1时即可；
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵平行四边形AMDN是矩形，
∴∠AMD=90°，
∵∠DAM=60°，
∴∠ADM=30°，
又∵菱形ABCD，
∴AD=AB=2，
∴AM=1
2
AD=1．
故答案为1；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵平行四边形AMDN是菱形，
∴DM=AM，
又∵∠DAB=60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM=AD=2．
故答案为2．
25.【答案】解：(1)设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为(x+400)元，
由题意，得，50000
x+400=50000(1−20%)
x
解得：x=1600．
经检验，x=1600是原方程的根，且符合题意．
答：今年A款手机每部售价1600元；
(2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(60−a)部，获利y元，
由题意，得y=(1600−1100)a+(2000−1400)(60−a)=−100a+36000．∵B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，
∴a≥20，
∵y=−100a+36000．
∴k=−100<0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=34000元．
∴B款手机的数量为：60−20=40部．
答：当新进A款手机20部，B款手机40部时，这批手机获利最大．
【解析】(1)设今年A款手机的每部售价x元，则去年售价每部为(x+400)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
(2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(60−a)部，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关健．
26.【答案】OE=OF83
【解析】解：(1)OE=OF，
理由如下：∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE，
∵EF//BC，
∴∠BCE=∠OEC，
∴∠OEC=∠ACE，
∴OE=OC，
同理可得，∠ACF=∠OFC，
∴OF=OC，
∴OE=OF，
故答案为：OE=OF；
(2)由题意得，当t=2时，OA=2cm，
则OC=AC−OA=4cm，
∵∠BCE=∠ACE，∠GCF=∠ACF，
∵OE=OF，
∴EF=2OC=8(cm)，
故答案为：8；
探究：当t=3时，四边形AECF是矩形，
理由如下：∵∠ECF=90°，OE=OF，
∴当OA=OC时，四边形AECF是矩形，
此时，OA=OC=3cm，
∴t=3时，四边形AECF是矩形，
故答案为：3；
拓展：当四边形AECF是正方形时，∠ACE=45°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACE=90°，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10(cm)．
(1)根据角平分线的定义、平行线的性质分别得到∠OEC=∠ACE，∠ACF=∠OFC，根据等腰三角形的判定定理得到OE=OC，OF=OC，等量代换证明结论；
(2)根据直角三角形斜边上的中线的性质解答；
探究：根据矩形的判定定理得到OA=OC时，四边形AECF是矩形，进而求出OA，求出t；
拓展：根据正方形的对角线平分一组对角得到∠ACE=45°，进而得到∠ACB=90°，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是正方形的性质、矩形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握矩形的判定定理、正方形的性质是解题的关键．。