江山市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

江山市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
2． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）
A ．y=1
B ．y=
C ．x=1
D ．x=
3． 以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（
，），则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞0
B ．﹣1＜a ＜0
C ．a ＞1
D ．0＜a ＜1
5． 如图，程序框图的运算结果为（ ）
A ．6
B ．24
C ．20
D ．120
6． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞
7． 设函数y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（ ）
A ．T=π，
B ．T=π，A=2
C ．T=2π，
D ．T=2π，A=2
8． “x ≠0”是“x ＞0”是的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A ．y=x ﹣1
B ．y=（）x
C ．y=x+
D ．y=ln （x+1）
10．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6
B ．3
C ．
3
8
D ．
3
4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
11．函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =
A 、22
B 、23
C 、24
D 、25
二、填空题
13．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，
在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *
）中，
经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．
14．1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆
______________.
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
15．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．
16．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．
17．设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．
18
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
升．
三、解答题
19．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C 的方程为ρθ=． Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；
Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P 的坐标为(3,，求PA PB ．
20．已知函数f （x ）=xlnx ，求函数f （x ）的最小值．
21．已知函数f （x ）=log 2（x ﹣3）， （1）求f （51）﹣f （6）的值； （2）若f （x ）≤0，求x 的取值范围．
22．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos （θ﹣
）+6=0． （1）将极坐标方程化为普通方程；
（2）若点P 在该圆上，求线段OP 的最大值和最小值．
23．已知函数f （x ）=﹣x 2+ax ﹣lnx （a ∈R ）．
（I ）当a=3时，求函数f （x ）在[，2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）函数f （x ）既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
选修41-：几何证明选讲 如图，,,A B C 为
O 上的三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交O 于
点D ，过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ． （Ⅰ）证明：BD 平分EBC ∠； （Ⅱ）证明：AE DC AB BE ⨯=⨯．
江山市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，
则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，
解得：a m=0或a m=2，
若a m等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，
∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
2．【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y2即为
y2=﹣x，
可得准线方程为x=．
故选：D．
3．【答案】D
【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数，
由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，
故这种分数是可约分数的共有个，
则分数是可约分数的概率为P==，
故答案为：D
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．【答案】A
【解析】解：∵函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3
）的递减区间为（
，）
∴f ′（x ）≤0，x ∈
（
，）恒成立
即：﹣a （1﹣3x 2
）≤0，，x ∈
（
，
）恒成立
∵1﹣3x 2
≥0成立
∴a ＞0 故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．
5． 【答案】 B
【解析】解：∵循环体中S=S ×n 可知程序的功能是： 计算并输出循环变量n 的累乘值，
∵循环变量n 的初值为1，终值为4，累乘器S 的初值为1， 故输出S=1×2×3×4=24， 故选：B ．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．
6． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方
程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 7． 【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（
）
=2（sin2xcos +cos2xsin
）=2sin （2x+
），
∴T=
=π，A=2
故选：B
8． 【答案】B
【解析】解：当x=﹣1时，满足x ≠0，但x ＞0不成立． 当x ＞0时，一定有x ≠0成立， ∴“x ≠0”是“x ＞0”是的必要不充分条件． 故选：B ．
9． 【答案】 D
【解析】解：①y=x ﹣1
在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（）x是减函数，
③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A，B，C不正确，D正确，
故选：D
【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．
10．【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82=的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，
设P （a ，﹣2），B （m ，），则
=（﹣a ，4），
=（m ，
﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
11．【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=y=2x 2
﹣e |x|
，
∴f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x|=2x 2﹣e |x|
，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e 2
∈（0，1），故排除A ，B ；
当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x 2﹣e x
， ∴f ′（x ）=4x ﹣e x
=0有解，
故函数y=2x 2﹣e |x|
在[0，2]不是单调的，故排除C ，
故选：D
12．【答案】A
【解析】1237k a a a a a =++++176
72
a d ⨯=+
121(221)d a d ==+-， ∴22k =．
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】设A （1，1），B （﹣1，﹣1），则直线AB 过原点，且阴影面积等于直线AB 与圆弧所
围成的弓形面积S 1，由图知，
，又
，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
14．1
【解析】
15．【答案】．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P2==，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
16．【答案】﹣2≤a≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，
则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．
故答案为：﹣2≤a≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
17．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()
()3322
12121210x x a x x a x x ++++++≤,即
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,由于
()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故
()12122133x x a a x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，代入前面不等式,并化简得()1a +()2
2520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数，令()'0f x =考虑判别式大于零，根据韦达定理求出1212,x x x x +的值，代入不等式12()()0f x f x +≤，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 18．【答案】 8 升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8． 故答案是：8．
三、解答题
19．【答案】
【解析】Ⅰ∵:C ρ
θ= ∴2:
sin C ρθ= ∴22:0
C x y +-=，即圆C 的标准方程为22(5x y
+=． 直线的普通方程为30x y +=． 所以，圆C
=
．
Ⅱ由22(53
x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩
，解得12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
或21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以
20．【答案】
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得f ′（x ）=1+lnx 令f ′（x ）=1+lnx=0
，可得
∴0＜x
＜时，f ′（x ）＜0，x
＞时，f ′（x ）＞0
∴
时，函数取得极小值，也是函数的最小值
∴f （x ）min =
=
=
﹣．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=log 2（x ﹣3）， ∴f （51）﹣f （6）=log 248﹣log 23=log 216=4； （2）若f （x ）≤0，则0＜x ﹣3≤1，
解得：x ∈（3，4] 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，解答时要时时注意真数大于0，以免
出错．
22．【答案】
【解析】解：（1）ρ2
﹣
4ρcos （θ
﹣
）+6=0，展开为：ρ2
﹣
4
×
ρ（cos θ+sin θ）+6=0．
化为：x 2+y 2
﹣4x ﹣4y+6=0．
（2）由x 2+y 2﹣4x ﹣4y+6=0可得：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
=2．
圆心C （2，2），半径
r=．
|OP|=
=2．
∴线段OP 的最大值为2
+
=3
．
最小值为
2
﹣
=
．
||||PA PB +==
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）a=3时，f ′（x ）=﹣2x+3﹣=﹣
=﹣
，
函数f （x ）在区间（，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[，2]最大值是f （1）=2，
又f （2）﹣f （）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f （2）＜f （），
故函数在[，2]上的最小值为f （2）=2﹣ln2．
（Ⅱ）若f （x ）既有极大值又有极小值，则必须f ′（x ）=0有两个不同正根x 1，x 2，即2x 2
﹣ax+1=0有两个不
同正根．
故a 应满足
⇒
⇒
，
∴函数f （x ）既有极大值又有极小值，实数a 的取值范围是．
24．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE 是⊙O 的切线，所以BAD EBD ∠=∠…………2分
又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,………………4分 所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知BAD EBD ∠=∠，且BED BED ∠=∠，
BDE ∆∽ABE ∆,所以
AB
BD
AE BE =
,……………………7分 又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,
所以DBC BCD ∠=∠，CD BD =．……………………8分
所以AB
CD
AB BD AE BE =
=，……………………9分 所以BE AB DC AE ⋅=⋅．……………………10分。