【精选+详解】高三数学名校试题汇编(第3期)专题11 概率与统计 文

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题11 概
率与统计 文
一．基础题
1.【安徽省2013届高三开年第一考文】右图是甲、乙两名运动员某赛季6个场次得分的茎
叶图，用x 甲，x 乙分别表示甲乙得分的平均数，则下列说法正确的是（ ）
A ．x 甲>x 乙且甲得分比乙稳定
B ．x 甲=x 乙且乙得分比甲稳定
C ．x 甲=x 乙且甲得分比乙稳定
D ．x 甲<x 乙且乙得分比甲稳定
2.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】某地区共有10万户居民,该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查 了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户 中无冰箱的总户数约为
A. 0. 24万户 B 1. 6万户 C. 1. 76万户 D. 4. 4万户 【答案】B
【解析】由分层抽样按比例抽取可得
160
100000160001000
⨯=户 3.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A 给出的分数的茎 叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A 得分的中位数是
(A)93 (B)92 (C)91 (D) 90
4.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标
4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 【解析】
13
【潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】某校有4000名学生，各年级男、女生
人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，
二．能力题
1.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
6万元时销售额为( )．
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B
【解析】由题，计算得：5.3=x ，42=y ，代入回归方程a bx y +=1.9=⇒a 。

所以，当5.651.964.96=+⨯=⇒=y x ，选B. 2.【潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】
已知回归直线的斜率的估计值是23.1，样本中心点为(4,5)，若解释变量的值为10，则 预报变量的值约为
A ．163.
B ．173.
C ．1238.
D ．203.
3.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考].一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xoy 中，以（x,y ）为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为 【答案】
112
【解析】(),x y 为坐标的点落在直线28x y +=上的的情形有(1,6),(2,4),(3,2)共3种，所
以概率是
31.3612
=
4.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】.为促进社会和谐发展，儿童的健康已经引起人们的高度重视，某幼儿园对本园“大班”的100名儿童的体重重做了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则体重在18—20千克的儿童人数为（ ）
A.15
B.25
C.30
D.75 【答案】A
【解析】：设体重在18—20千克的儿童人数为x ，则x =0.075210015⨯⨯= 5.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为m n 、，如果m n +是偶数，则把1a 乘以2后再减去2；如果m n +是奇数，则把1a 除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数2a ，对2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a .当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为34，
则1a 的值不可能．．．
是 A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C
【解析】根据题意可知，3a 的取值有四类结果：
6.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】
以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相
关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程0.412y x =-+中，当解释变量x 每增加1个单位时，则预报变量y 减少0.4个单位； ④对分类变量X 与Y 来说，它们的随机变量2
K 的观测值k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ⑤在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.
其中正确．．的命题是： （填上你认为正确．．
的命题序号）.
7.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）某学校对高一新生的体重进行了抽样调查．右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg ）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg 的有36，则被调查的高一新生体重在50kg 至65kg 的人数是．（ ）
=120
学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为 ．
不等于0,且分别为()2P A a =-，()34P B a =-,则实数z 的取值范围为____.
三．拔高题
1．[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）已知一组样本点（x i ，y i ）其中i=1，2，3，…，30根据最小二乘法求得的回归方程是=bx+a 则下若所有样本点都在=bx+a
=bx+a
=bx+a
=bx+a
若所有的样本点都在=bx+a
=bx+a
获胜）的概率是，比赛至少打满场的概率为
（Ⅰ）由题意可得：
p=q=
（，）=3×=
）=6×=．
为了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B,C区中分别有16,24,16个工厂.
（1）求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数；
（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这两个工厂中至少有1个来自A区的概率。

4.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对
4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求选取的两件日用品中恰有一件等级系数
，…（
件，所以
．…（
x，则中位数的估计值为：
+⨯-=，解得
0.06(75)0.5
x
（本小题满分12分）
在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图，据此回答以下问题：
(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80，90)之间的矩形的高，并完成直方图； (2)若要从分数在[80，100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．
(2)将[8090)，之间的4个分数编号为
1,2,3,4[90,100]；之间的2个分数编号为56和.则在[80100]，
之间任取两份的基本事件为：(12),(13),(14),(15),(16),(23),(24),(25),(26),，，，，，，，，，
(34),(35),(36),(45),(46),(56)，，，，，，共15个，其中至少有一个在[90,100]之间的基本事
件为:(15),(1
6),(25),(26),(35),(36),(45),(46),(56)，，，，，，，，，共9个. ………………………10分
故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是93
155
.……………………………………12分
0．
图3
6
2
5
x 06
11y 119
889
67乙甲7.【广州市2013届高三年级1月调研测试】 （本小题满分12分）
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差2
s ；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率.
参考公式：方差()(
)()
2222
121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣
⎦， 其中12n
x x x x n
++
+=
.
（本小题满分12分）
(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识
)
（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D
()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件M ，则()710
P M =
. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710
. ……………12分
8.（潮州市2013届高三上学期期末）设事件A 表示“关于x 的方程2220x ax b ++=有实
数根”．
（1）若a 、{1,2,3}b ∈，求事件A 发生的概率()P A ； （2）若a 、[1,3]b ∈，求事件A 发生的概率()P A ．
9、（佛山市2013届高三上学期期末）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他
图3
6
2
5
x 06
11y 119
88967乙甲们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）：
（（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． 解析： （1）1(2.527.5612.5417.5222.51)15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1
157.5=10.515
=⨯min ．--------3分
（2）候车时间少于10分钟的概率为
368
1515
+=， ----4分 所以候车时间少于10分钟的人数为8
603215
⨯=人． ---------6分 （3）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ，
23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ， 343132(,),(,),(,)a a a b a b ， 4142(,),(,)a b a b ，
12(,)b b ， ----10
分
其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为
8
15
． -------12分 10、（广州市2013届高三上学期期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
（1）求x 和y 的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差2
s ；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式：方差()(
)()
2222
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-+⋅⋅⋅+-⎢
⎥⎣⎦，
其中12n
x x x x n
++
+=
.
11、（惠州市2013届高三上学期期末）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均
为小学的概率．
（1）解：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1. …………3分
（2）解：在抽取到得6所学校中，3所小学分别记为123,,A A A ,
2所中学分别记为45,,A A 大学记为6A ，则抽取2所学校的所有可能结果为
{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,
{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A .共
15
种。

…………8分
从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件A ）的所有可能结果为
{}12,A A ,{}13,A A ，{}23,A A 共3种，所以31
()155P A == …………12分
12、（江门市2013届高三上学期期末）某班几位同学组成研究性学习小组，从[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查．若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”。

得到如下统计表：
组数
分组
环保族人数 占本组的频率 本组占样本的频率
第一组 [25，30) 120 0.6
0.2
第二组 [30，35) 195 p
q
第三组 [35，40) 100
0.5 0.2 第四组 [40，45) a
0.4 0.15 第五组 [45，50) 30 0.3 0.1 第六组 [50，55) 15
0.3
0.05
⑴求q 、n 、p 、a 的值；
⑵从年龄段在[40，50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在 [40，45)的概率
13、（汕头市2013届高三上学期期末）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从—批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等
级
1 2 3 4 5
频率
.05
m
.15
.35
n
(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n的值；
(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件
等级不相同的概率．
14、（增城市2013届高三上学期期末）某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品．
（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？；
（2）质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格的概率多大？
15.（肇庆市2013届高三上学期期末）2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。

某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：
[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),
[85,90)后得到如图5的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率.
解：（1）系统抽样 (2分) （2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 (4分)
设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：
0.0150.0250.0450.06(75)0.5
x
⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5
x=
即中位数的估计值为77.5 (6分)
（3）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：
10.015402
m=⨯⨯=（辆）， (7分)
车速在[65,70)的车辆数为：
20.025404
m=⨯⨯=（辆） (8分) 设车速在[60,65)的车辆设为,a b，车速在[65,70)的车辆设为,,,
c d e f，则所有基本
事件有：
(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)
a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种 (10分)
其中车速在[65,70)的车辆至少有一辆的事件有：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)
(,),(,),(,),(,),(,),(,)
a c a d a e a f
b
c b
d b
e b
f c d c e c f d e d f e f 共14种 (12分)
所以，车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为14
15
P =
. (13分) 16.（中山市2013届高三上学期期末）某中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ （Ⅲ）已知245≥y ，245≥z ，求高三年级中女生比男生多的概率．
17、（珠海市2013届高三上学期期末）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一
批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：
（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零
件等级恰好相同的概率. 参考答案：
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,x x x ；等级为5的零件有2个，
记作12,y y .
从12312,,,,x x x y y 中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：
12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y
共计10种. ………………9分 记事件A 为“从零件12312,,,,x x x y y 中任取2件，其等级相等”.
则A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x x x x x x y y 共4个. ………………11分 故所求概率为 4
()0.410P A ==.
………………12分
18.（东莞市2013届高三上学期期末）
某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织
学生给食堂打分（分数为整数，满分为 100分），
从中随机抽取—个容量为120的样本，发现所有
40,100内．现将这些分数分成以下6
数据均在[]
组：[40，50），[50，60），[60，70），［70，80），
[80，90），［90，100]，并画出了样本的频率分布
直方图，部分图形如图所示．观察图形，回答下
列问题：
(l)算出第三组[60,70）的频数，并补全
频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的
众数和平均数，
（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分. ……………8分
又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为:
65
(
015
)
55
.0
005
45
(
10
.0
)
10
(
⨯
⨯
⨯
+
⨯
+
.0
+
015
10
⨯)
⨯
75=
⨯
(
.0
03
10
⨯（分）. ………11分⨯
)
+
⨯
+
⨯
⨯
95
01
.0
)
73
5.
10
(
10
(
85
.0
025
)
所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分. ………12分
图3
6
2
5
x 06
11y 119
88967乙甲 19、（广州市2013届高三上学期期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
（1）求x 和y 的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差2
s ；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率.
参考公式：方差()(
)()
2222
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-+⋅⋅⋅+-⎢
⎥⎣⎦， 其中12n
x x x x n
++
+=
.
（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D
()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件M，则()
7 10
P M=.
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为
7 10
.
……………12分20.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．
位同学被甲考官面试的概率为
21.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 (
本题满分14分)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤6060y x 表示的区域为P ，不等式组⎩⎨⎧≥-≤≤0
26
0y x x 表示的区域为Q ．
22.【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均不低于49分的整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100)后得到如图的频率分布直方图.
(1)求图中实数a 的值；
(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分 的人数；
(3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
第17题图
)
……12分
23.【河北省唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试】
（本小题满分12分）
从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．
（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；
（II）为了分析使用寿命差异较大的产品，从使用寿命低于200天和高于350天的产品中用分层抽样的方法共抽取6件，求样品A被抽到的概率。

解：
（Ⅰ）样本数据的平均数为：
175×0.05＋225×0.15＋275×0.55＋325×0.15＋375×
0.1＝280．
因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280
天．…5分
（Ⅱ）使用寿命低于200天的一组中应抽取6×
5
5＋15
＝2．
…7分
记使用寿命低于200天的5件产品A，B，C，D，E．从中选出2件的不同情形为：
AB，AC，AD，AE，
BC，BD，BE，
CD，CE，DE，
共10种可能．
其中某产品A被抽到的概率为P＝4
10
＝
2
5
．…12分。