高考数学复习课件 8.1 直线与方程 距离公式 理 新人教版

距离 d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
7 ． 平 面 上 两 点 P1(x1 ， y1) 、 P2(x2 ， y2) 的 中 点 坐 标 为 (x1＋2 x2，y1＋2 y2) ．
8．已知平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝
___x_1－___x_2_2＋___y_1_－__y_2_2.特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，
5．求两相交直线的交点坐标，一般通过联立方程组求解．
6．点到直线的距离：点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0
的距离：d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.特别地，点
P(x0，y0)到直线
x
＝a 的距离为：d＝_|_x_0－__a_|_.
两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0、l2：Ax＋By＋C2＝0 间的
＋p)，故选 A. 答案：A
4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边 的边长，则直线x·sin A＋ay＋c＝0与bx－y·sin B＋sin C＝ 0的位置关系是________．
解析：在△ABC 中，由正弦定理得sina A＝sinb B，
所以 asin B－bsin A＝0，所以两直线垂直． 答案：垂直
(1)AB所在的直线方程； (2)AC和BC所在的直线方程； (3)AC，BC所在直线与y轴的交点间的距离．
解：(1)因为 kAB＝15－－11＝0， 所以 AB 所在直线方程为 y＝1. (2)kAC＝tanπ3＝ 3， 所以 AC 所在直线方程为 y－1＝ 3(x－1)， 即 3x－y＋1－ 3＝0. 又 kBC＝tanπ－π4＝－1， 所以 BC 所在直线方程为 y－1＝－(x－5)， 即 x＋y－6＝0.
点 P 处切线的倾斜角为 α，则 α 的取值范围是
()
A．[0，π2]
B．[0，π2)∪[34π，π]
C．[34π，π)
D．(π2，34π]
解析：斜率k＝y′＝3x2－1≥－1，即tan α≥－1，故选
B. 答案：B
考点二 直线方程的几种形式 【案例2】 过点(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标 轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.求该直线l的方程． 关键提示：直线l应满足的两个条件是：(1)直线l过点 (－5，－4)；(2)直线l与两坐标轴相交且与两轴所围成 的三角形面积为5.可利用条件(1)设出直线l的方程(点斜式)， 利用条件(2)确定k；也可利用条件(2)设出直线l的方程(截距 式)，结合条件(1)确定截距的值． 解：方法一：设直线 l 的方程为 y＋4＝k(x＋5)，
4．两直线的平行与垂直：
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1∥l2 ⇔__k_1＝__k_2_且_b_1_≠_b_2；直线l1⊥l2⇔__k_1k_2_＝__－__1_.
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 直线l1∥l2⇔_A__1B__2＝__A__2B__1 且_A_1_C_2_≠_A_2_C_；直线 l1⊥l2⇔_(_A_1_A_2_＋__B_1_B_2_＝__0_.
y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
9．对于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1＝x2，则P1P2与x 轴垂直，此时|P1P2|＝_|_y2_－__y_1_| ；若y1＝y2，则P1P2与y轴垂 直，此时|P1P2|＝ _|x_2_－__x_1_| .显然，上述两种情形都适合两点 间的距离公式．
由 8×(－1)－n·m≠0，得mn≠＝－4，2 或mn≠＝2－. 4，
所以 m＝4，n≠－2 或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2.
(3)当且仅当 m·2＋8·m＝0，即 m＝0 时，l1⊥l2.
又因为－n8＝－1，所以 n＝8，所以 m＝0，n＝8. 点评：若直线l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0与 A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的必要条件是A1B2－A2B1＝0， l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
因为 l 经过点(－5，－4)，则有：－a5＋－b4＝1. ①
又因为 ab＝±10，
②
联 立 ① 、 ② ， 得 方 程 组 －a5＋－b4＝1， ab＝±10，
解得
a＝－25， b＝4
或 ab＝ ＝－5，2.
因此，所求直线方程为：8x－5y＋20＝0 或 2x－5y－
10＝0.
【即时巩固 2】 已知△ABC 在第一象限，A(1,1)， B(5,1)，∠A＝π3，∠B＝π4，如图．求：
ysin θ＋p＝0(p<－1)的距离分别为m、n，则m、n的大小
关系是
()
A．m≥n
B．m≤n
C．m>n
D．m<n
解析：m＝|sin
θcos θ＋cos θsin cos2θ＋sin2θ
θ＋p|＝
|sin
2θ＋p|＝
－(sin 2θ＋p)，n＝|cosc2oθs＋2θs＋ins2iθn＋2θp|＝－(1＋p)≤－(sin 2θ
1．用待定系数法求直线方程的步骤 (1)设所求直线方程的某种形式； (2)由条件建立所求参数的方程(组)； (3)解这个方程(组)求参数； (4)把所求的参数值代入所设直线方程． 2．求直线方程的主要方法是待定系数法，在使用 待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择． 3．要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注 意x和y的系数中一个为零的情况的讨论．
2．若 ab＜0，则过点 P0，－1b与 Q1a，0的直线 PQ
的倾斜角的取值范围是
()
A.0，π2 B.πFra bibliotek，πC.－π，－π2
D.－π2，0
1 解析：kPQ＝b1＝ab，因为 ab＜0，所以ab＜0，即 k＜0，
a
所以直线 PQ 的倾斜角的取值范围是π2，π. 答案：B
3．若A(sin θ，cos θ)、B(cos θ，sin θ)到直线xcos θ＋
(即时巩固详解为教师用书独有) 考点一 直线的倾斜角和直线的斜率
【案例 1】 求直线 xsin θ＋ 3y＋2＝0(θ∈R)的倾斜角
的取值范围． 关键提示：直线倾斜角的取值范围为[0°，180°)，而
这个区间不是正切函数的单调区间，因此在由斜率的范围求 倾斜角的范围时，一般要分成[0°，90°)与(90°，180°) 或(－∞，0)与[0，＋∞)两种情况讨论．
要想求出直线倾斜角的范围，必须先求出直线斜率的 范围．
解：由已知，直线的斜率
k＝－
3 3 sin
θ.
所以－
33≤k≤
3 3.
当 0≤k≤ 33时，直线的倾斜角 α 满足：0≤α≤π6；
当－ 33≤k<0 时，直线的倾斜角 α 满足：56π≤α<π.
所以直线倾斜角的取值范围为0，π6∪56π，π.
【即时巩固 1】 点 P 是曲线 y＝x3－x＋23上的动点，设
4．在运用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求平行直线间的距离时，
一定要把 x、y 项的系数化成相等的系数． 5．点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝
对值、直线垂直、最小值等内容． 6．对称问题要利用两直线垂直的性质和中点坐标公
式．注意对称变换在解题中的作用．此外，通过求点关于 直线的对称点，还可解决以下两类问题：①两点在直线同 侧，在直线上求一点，使该点与这两点的距离之和最小； ②两点在直线同侧，在直线上求一点，使该点与这两点的 距离之差的绝对值最大．
(3)由直线 AC 的方程 3x－y＋1－ 3＝0， 令 x＝0，则 y＝1－ 3. 由直线 BC 的方程 x＋y－6＝0， 令 x＝0，则 y＝6. 所以两交点间的距离为|6－1＋ 3|＝5＋ 3.
考点三 两条直线的平行与垂直
【案例3】 已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋ my－1＝0.
分别令 y＝0，x＝0，
得 l 在 x 轴，y 轴上的截距为：a＝－5kk＋4，b＝5k－4.
由条件(2)得 ab＝±10，所以－5kk＋4·(5k－4)＝±10. 故 25k2－30k＋16＝0，无实数解； 或 25k2－50k＋16＝0，解得 k1＝85，k2＝52， 故所求的直线方程为：8x－5y＋20＝0 或 2x－5y－10＝0. 方法二：设 l 的方程为ax＋by＝1，
【即时巩固 3】 “m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0
与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0 相互垂直”的
()
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：两直线垂直⇔(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得
第八章 平面解析几何
1．直线与方程 (1) 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位 置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率的计算公式． (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． (4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种 形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的 关系． (5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求 两条平行直线间的距离．
1．直线的倾斜角：直线向上的_向__上__与x轴的正方向所成的 最小正角叫做直线的倾斜角．规定：直线与_x_轴__平行或重 合时，倾斜角为0°.倾斜角的范围是__[0_，__π_)_．
2．直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角α的 _正__切__值__叫做直线的斜率，即k＝_t_a_n_α_；当α＝90°时直线的
(1)若l1与l2相交于点P(m，－1)，求m与n的值； (2)若l1∥l2，求m与n的值； (3)若l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1，求m与n的值． 关键提示：考查两直线的位置关系与方程系数的关系．
解：(1)因为m2－8＋n＝0，且2m－m－1＝0， 所以m＝1，n＝7. (2)因为m·m－8×2＝0，所以m＝±4.
2．圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一 般方程． (2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位 置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关 系． (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
3．圆锥曲线与方程 (1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用． (2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几 何性质． (3)了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方 程，知道它们的简单几何性质． (4)理解数形结合的思想． (5)了解圆锥曲线的简单应用． (6)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
斜率不存在．经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的
直线的斜率公式为 k＝xy11－－yx22 (其中 x1≠x2)． 3．直线的方程：
(1)点斜式：直线经过点(x1，y1)且斜率为k，方程为： _y_－__y_1_＝__k_(x_－__x_1_)_；
(2)斜截式：直线在y轴上的截距为b且斜率为k，方程为： _y_＝__k_x_＋__b_；
1．已知直线l过点(m,1)，(m＋1，tan α＋1)，则 ( ) A．α一定是直线l的倾斜角 B．α一定不是直线l的倾斜角 C．α不一定是直线l的倾斜角 D．180°－α一定是直线l的倾斜角 解析：设 θ 为直线 l 的倾斜角，则
tan θ＝tamn＋α＋1－1－m1＝tan α，
所以 α＝kπ＋θ，k∈Z，当 k≠0 时，θ≠α. 答案：C
(3)两点式：直线经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)且 x1≠x2、 y1≠y2，方程为：yy2－－yy11＝xx2－－xx11 ； (4)截距式：直线在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，方程为：xa＋by＝1 .
(5)一般式：_A_x_＋__B__y_＋__C_＝__0_(其中A、B不全为0)．
10．A(a，b)关于x轴的对称点为_(_a_，__－__b_) ；关于y轴的对称 点为_(_－__a_，__b_) ；关于直线y＝x的对称点为_(_b_，__a_)；关于直
线y＝－x的对称点为_(_－__b_，__－__a_)；关于直线x＝m的对称点 为(2m－a，b)；关于直线y＝n的对称点为_(a_,_2_n_－__b_)．