2019-2020学年浙江省名校数学高二第二学期期末经典试题含解析

2019-2020学年浙江省名校数学高二第二学期期末经典试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．22
83C A B ．26
86C A
C ．22
86C A
D ．22
85C A
【答案】C 【解析】
试题分析：第一步从后排8人中选2人有2
8C 种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有2
6A 种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是2
2
86C A 考点：排列组合
点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法
2．已知8
2x x ⎛+ ⎪⎝⎭的二项展开式中含52x -项的系数为m ，则1
1m
x dx x +=⎰( ) A ．154ln2－ B ．164ln 2- C ．15? 4ln2+ D ．16?41n2+
【答案】C 【解析】
分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.
详解：因为8
2x x ⎛+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中3
8882
188(2)()(2)r r r r r r r T C x C x x ---+==，
所以787835
8721622
r r m C --
=-∴=∴==, 因此16
1
161(ln )16ln161154ln 2.1x dx x x x +=+=+-=+⎰ 选C.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 3．如图所示，函数
的图象在点P 处的切线方程是
，则
（ ）
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．0
【答案】B 【解析】
分析：由切线方程确定切点坐标，然后结合导数的几何意义整理计算即可求得最终结果. 详解：由切线方程可知，当3x =时，52y x =-+=，切点坐标为()3,2，即()32f =， 函数在3x =处切线的斜率为1k =-，即()'31f =-， 据此可知：()()3'31f f +=. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查切线的几何意义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．双曲线2
212
y x -=的渐近线方程为（ ）
A ．22
y x =± B ．2y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据,a b 的值直接写出渐近线方程. 【详解】
因为双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的渐近线方程为a
y x b
=±， 又因为2,1a b ==，所以渐近线方程为2y x =.
故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，若焦点在x 轴上，则
渐近线方程为b y x a =±
，若焦点在y 轴上，则渐近线方程为a
y x b
=±；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方程中的1变为0，由此得到的,x y 关系式即为渐近线方程.
5．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p q ≠，不等式
(1)(1)
1f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[15,)+∞
B ．[6,)+∞
C ．(6,15]
D ．(15,)+∞
【答案】A 【解析】 分析：首先，由
()()
11f p f q p q
+-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间()1,2内
任意两点连线的斜率大于1，从而得到()211
a
f x x x =
->+'在()1,2内恒成立，分离参数后，转化成2231a x x >++在()1,2内恒成立，从而求解得到a 的取值范围.
详解：Q
()()
11f p f q p q
+-+-的几何意义为：
表示点()()
1,1p f p ++与点()()
1,1q f q ++连线的斜率，
Q 实数p ，q 在区间()0,1，故1p +和1q +在区间()1,2内，
不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，
∴函数图象上在区间()1,2内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在()1,2内恒成立， 由函数的定义域知1x >-，
()211
a
f x x x ∴=
->+'在()1,2内恒成立， 即2231a x x >++在()1,2内恒成立，
由于二次函数2
231y x x =++在()1,2上是单调增函数，
故2x =时，2
231y x x =++在()1,2上取最大值为15，
15a ∴≥.
故选：A.
点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题.
6．已知命题p ：若复数()()12,.,z a bi a b R z c di c d R +∈=+∈，则“a c
b d
=⎧⎨
=⎩”是“12z z =”的充要条
件；命题q ：若函数()f x 可导，则“()0'0f x =”是“x 0是函数()f x 的极值点”的充要条件．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数相等和函数极值点的概念可判断p ，q 的真假；利用真值表判断复合命题的真假． 【详解】
由复数相等的概念得到p ：真；若函数()f x 可导，则“()0'0f x =”是“x 0是函数()f x 的极值点”是错误的，当0x 是导函数的变号零点，即在这个点附近，导函数的值异号，此时才是极值点，故q ：假，q ⌝为真. ∴由真值表知，()p q ∧⌝为真， 故选C ． 【点睛】
本题考查真值表，复数相等的概念，求极值的方法．由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少有一个假．
7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，22AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π
C ．20π
D ．24π
【答案】C 【解析】
由题意得PC 为球O 的直径,而222425PC =+=,即球O 的半径5R =
;所以球O 的表面积
24π20πS R ==.
本题选择C 选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
8．下列命题中真命题的个数是（ ）
①若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为16，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为64； ②“平面向量a v ，b v 夹角为锐角，则0a b ⋅>v v
”的逆命题为真命题；
③命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，32
0010x x -+>”；
④若p ：1x ≤，q ：1
1x
<，则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】
分析：对四个命题逐一分析即可.
详解：对于①，由方差的性质得：则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为2221664s =⨯=，故正确；
对于②，逆命题为平面向量a v ，b v 满足0a b ⋅>v v ，则向量a v ，b v 夹角为锐角，是假命题，故错误；
对于③，命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，32
0010x x -+>”，正确；
对于④，:1p x ⌝>，:10q x x ><或，∴p ⌝是q 的充分不必要条件，故正确. 故选C.
点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大.
9．学校选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有 A ．540种 B ．240种 C ．180种 D ．150种
【答案】D 【解析】
分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解．
详解：由题意不同方法数有122333
5425
3
31502!
C C C C A A +⨯=．
故选D ．
点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2
分组属于均匀分组，因此组数为22422!
C C ，不是22
42C C ，否则就出错．
10．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80
【答案】C 【解析】
分析：写出103152r r r
r T C x -+=n n ，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315522r
r
r
r r r
r T C x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
n n 令103r 4-=,则r 2=
所以22
552240r r C C n =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

11．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若4610a a +=，则9S = A ．20 B ．35
C ．45
D ．90
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列的前n 项和的性质得到S 9=()()194699
22
a a a a +=+，直接求解． 【详解】
∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 6=10， ∴S 9=
()()194699
45.22
a a a a +=+= 故选：C ． 【点睛】
这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知n S 和
n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；
数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

12．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1x y e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）
A ．
2
3
e - B ．
1
3
e - C ．
43
e
- D ．
53
e
- 【答案】D 【解析】 【分析】
通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】
由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()1
1001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，
故所求概率为25133
e e
---=，故选D. 【点睛】
本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在空间四边形OABC 中，若,E F 分别是,AB BC 的中点，H 是EF 上点，且1
3
EH EF =
，记OH xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，则(,,)x y z =_____.
【答案】111,,326⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】 由条件可得
()
1133
EH EF OH O O E
OE O E OE F =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()
212111333232
OE OF OA OB OB OC =+=⨯++⨯+u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 【详解】
因为1
3
EH EF =
，,E F 分别是,AB BC 的中点 所以()
1133
EH EF OH O O E OE O E OE F =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()
212111333232OE OF OA OB OB OC =+=⨯++⨯+u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111326
OA OB OC =++u u u
r u u u r u u u r 所以(,,)x y z =111,,326⎛⎫
⎪⎝⎭
故答案为：111,,326⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查的是空间向量的线性运算，较简单.
14．若x R ∀∈，210mx mx ++>，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[0,4) 【解析】
当m=0时，符合题意．
当m≠0时,2
040m m m >⎧
⎨=-<⎩
V ，则0<m<4， 则0⩽m<4 答案为：[
)0,4.
点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上大于0的恒成立问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究： 一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； 三是，判别式，决定于x 轴的交点个数； 四是，区间端点值.
15．有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取2张，则抽到的牌中至少有1张红心的概率是_________． 【答案】
910
【解析】 【分析】
先由题意，求出“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率，再根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.
【详解】
由题意，从5张扑克牌中，任意抽取2张，所包含的基本事件的个数为：2
510
C=；“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”只有一种情况；
则“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率为：
1
10 P=
；
因此，抽到的牌中至少有1张红心的概率是
9
1
10
P
-=.
故答案为：
9
10
.
【点睛】
本题主要考查对立事件概率的相关计算，以及古典概型的概率计算，属于基础题型.
16．已知函数
1
21,0
()1
lg,0
x x
f x
x
x
+
⎧-
⎪
=⎨
>
⎪
⎩
，
，
…
若函数()()
g x f x a
=-有3个零点，则实数a的取值范围为____. 【答案】{|01}
a a
<…
【解析】
【分析】
将函数()()
g x f x a
=-有3个零点转化为()
y f x
=与y a
=有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数a的取值范围．
【详解】
作出()
f x的函数图象如图所示：
画出函数
1
21,0
()1
lg,0
x x
f x
x
x
+
⎧-
⎪
=⎨
>
⎪
⎩
，
，
…
的图象，
由图象可知当10
a
-<<时，()()
g x f x a
=-有1零点，
当01
a
<…时，()()
g x f x a
=-有3个零点；
当1a >或0a =时，()()g x f x a =-有2个零点。

故答案为{|01}a a <…. 【点睛】
本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数()()g x f x a =-有3个零点转化为()y f x =与y a =有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C o ）的数据，如下表：
（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+；
（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C o ，请用所求回归方程预测该店当日的营业额；
附: 回归方程y b x a ∧∧∧
=+中, 1
22
1
()()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ∧
==-=
-∑∑,a y b x ∧∧
=-.
【答案】(1) 0.5612.92y x ∧
=-+，(2)9.56 【解析】 试题分析：
（1）根据公式求出线性回归直线方程的系数，可得方程；
（2）由回归方程中x 的系数的正负确定正相关还是负相关，把6x =代入回归直线方程可得估值． 试题解析：
(1) ∵令5n =,则113575n i i x x n ===
=∑，1145
95n i i y y n ====∑ ，()1
287.n
i i i x y ==∑ ∴
()1
28757928.n
i i i x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ ∴()
2
221
2955750n
i i x n x =-=-⨯=∑,
∴28
0.5650
b ∧
-=
=- ，∴()90.56712.92.a y b x ∧∧=-=--⨯= ∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧
=-+ (2) 由0.560b ∧
=-<知y 与x 之间是负相关;
将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售额0.56612.92y ∧=-⨯+ 9.56=（千克）
18．已知
（1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在其定义域上不单调，求实数的取值范围； 【答案】（1）单增区间为，单减区间为（2） 【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间； （2）在定义域内有零点，且在零点两侧符号相反．由此可求参数的取值范围．
【详解】
（1）定义域，
单增区间为，单减区间为 （2） 在
上不单调. 在
上必有解。

得， 即
【点睛】 本题考查用导数研究函数的单调性．函数的导函数是，一般由确定增区间，由确定减区间，若在区间内有零点，且在零点两侧符号相反，则在上不单调． 19．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为直角梯形，90ABC ∠=︒，PA BD ⊥，12BC CD AB ==，PA PD =.
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角为45︒，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）3 【解析】
分析：（1）根据题意，设法证明BD ⊥平面PAD ，即可证得平面PAD ⊥平面ABCD ；；
（2） 如图以D 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值. 详解：
（1）证明：因为ABCD 为直角梯形，90ABC ∠=o ，
又因为12
BC CD AB ==，所以2AD BD BC ==， 所以22224AD BD BC AB +==，所以AD BD ⊥,
又因为PA BD ⊥，AD PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAD ，
又因为BD ⊂平面ABCD ，
所以平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）作PE AD ⊥于E ，因为PA PD =，所以E 为AD 中点，
由（1）知平面PAD ⊥平面ABCD ，
且平面PAD ⋂平面=ABCD AD ，
所以PE ⊥平面ABCD ，
所以PAE ∠为直线PA 与平面ABCD 所成的角，
设1BC =，因为45PAE ∠=o ，
2AD BC =，所以22
PE =， 如图以D 为原点建立空间直角坐标系，则
22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()
B
，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，22PC ⎛=- ⎝⎭u u u r 9分
设平面PBD 法向量(),,n x y z =r
，则
0000n DP x z n DB ⎧⋅==⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩
u u u r r u u u r r ，取1x =，则1,0z y =-=， 所以平面PBD 一个法向量()1,0,1n =-r ，
设PA 与平面PBD 所成角为θ，则
sin PC n PC n
θ⋅==u u u r r u u u r r 所以直线PA 与平面ABD
点睛：
本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数学结合思想，化归与转化思想 20．已知双曲线2
213
x y -=的右焦点是抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线y kx m =+与该抛物线相交于A 、B 两个不同的点，点(2,2)M 是AB 的中点，求AOB ∆(O 为坐标原点)的面积.
【答案】【解析】
分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为
2k =，联立直线方程，可得y 的二次方程，解得12y y ，，利用割补法表示AOB ∆的面积为12112
y y ⨯⨯-，带入即可得到结果. 详解：∵ 双曲线2
213
x y -=的左焦点的坐标为()2,0 ∴22y px =的焦点坐标为()2,0，∴
22p =，4p = 因此抛物线的方程为2
8y x =
设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x ≠，则2118y x =，2228y x =
∴121212
8y y k x x y y -==-+ ∵()2,2M 为AB 的中点，所以124y y +=，故2k =
∴直线AB 的方程为2y x m =+
∵ 直线过点()2,2M ， ∴2m =-，
故直线AB 的方程为22y x =-，其与x 轴的交点为()1,0C
由2228y x y x
=-⎧⎨=⎩得：2480y y --=
，2y =± ∴AOB ∆
的面积为12112
y y ⨯⨯-=. 点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为3x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABO V 的面积．
【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=；直线l
的普通方程为30x --=；（2
. 【解析】
【分析】
（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出曲线C 的直角坐标方程；根据直线l 的参数方程，消去参数，即可得到普通方程； （2）先由题意，先设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t
，将直线的参数方程化为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入224x y x +=，根据参数下的弦长公式求出AB ，再由点到直线距离公式，求出点O
到直线
:30l x --=的距离，进而可求出三角形的面积.
【详解】
（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，即224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=；
由3x y t
⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去t
可得：30x --=，即直线l
的普通方程为30x --=；
（2）因为直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，
由3x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
可化为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入224x y x +=
得，230t +-=，
则有12t t +=123t t =-， 因此
12AB t t =-===
又点O 到直线:30l x --=
的距离为32d =
=， 因此ABO V
的面积为12ABO S AB d =
⨯⨯=V 【点睛】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数下的弦长问题，属于常考题型.
22．已知复数z 满足：||13z i z =+-，求22(1)(34)2i i z
++的值． 【答案】34i +
【解析】
【分析】
先根据复数相等解得z ，再根据复数运算法则求解
【详解】
设,(,)z a bi a b R =+∈，而||13z i z =+
-
130i a bi -++=
则410{,43330
a a z i
b b =--=⇒=-+=-= 所以2222
(1)(34)2(34)2(34)3422(43)2(34)
i i i i i i i z i i i ++++===+-++ 【点睛】
本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.。