6.备课资料(3.4.1 基本不等式 的证明)

备课资料 一、课外阅读
算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)
(1)设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即
n
a a a A n +++...21＝，,...21n n a a a G =即A ≥G ,当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，A ＝G.特别地当n ＝2时，a
b b a ≥+2,当n ＝3时，33ab
c c b a ≥++. (2)用局部调整法证明均值不等式A ≥G .设这n 个正数不全相等.不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，…，a n －1，a 1＋a n －A .这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝n
A a a a a a A n n -+++++-1132...＋=A ,②两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G 1，则G 1＝),(...1132A a a a a Aa n n -+-∵A (a 1＋a n －A )－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A ),由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A )＞0,则A (a 1＋a n －A )＞a 1a n .∴Aa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A )＞a 1a 2…a n －1＋a n .G 1＞G.若第二组数全相等，则A 1＝G 1，于是A ＝A 1＝G 1＞G 证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b 1和最大数b n ，分别用A 1(即A )和b 1＋b n －A 代替，因为有b 1＜A 1＜b n 且A 1＝
A .因而第二组数中的A 不是最小数b 1，也不是最大数b n ，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A ，经过n －2次替换，新数中至少出现n －2个A ，最多经过n －1次替换，得到一个全部是A 的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A ，而几何平均值不断增大，即G ＜G 1＜G 2＜…＜G k ，而G k ＝A k ＝A ，因而G≤A 成立. 二、课外拓展
平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，应用极其广泛，如能灵活运用，将产生意想不到的效果，这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料，阅读此四个不等式的证明过程.
平均值定理：设n 个正数a 1，a 2，…，a n ，记 调和平均n n a a a n
H 1...1121+++
= 几何平均n n n a a a G ∙∙∙=...21， 算术平均n
a a a A n n +++= (21)
， 平方平均n
a a a Q n n 22221...+++=
. 这4个平均有如下关系：H n ≤G n ≤A n ≤Q n ,等号成立的充要条件都是a 1=a 2=…=a n .。